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resultante necessária para manter a lâmina na velocidade dada. O plano x-y é horizontal.
ρ =62,4 lb /ft^3
Figura 5.8 Jato de fluido se chocando contra uma lâmina em movimento.
Solução:
Figura 5.9 Jato de fluido através das duas superfícies permeáveis nos pontos 1 e 2.
BGM (1) e (2): w 1 = w 2 ⇒ u 1 =u 2
A velocidade relativa com a lâmina se movendo a 70 ft/s é dada por:
1 L
1
u 110 u
u 110 70 40 ft /s
BGQM (1) e (2): Direção x :
∆ wu R
w u u R
w u u R
x x
x x x
x
( − ) =
(− − ) =
2 1
2 cos^301
w u u R
wu R
w u A
w
x
x
b
( −^ − ) =
(− − ) =
=
= (^) ( ) (
1 1
1
cos
cos
ρ
π (^) )) (^) =
( ) −( − ) =
= −
2 4
, cos
lb s
R
R
x
x
ppoundal lbf
lbf poundal
Direção y:
∆ wu R
w u u R
w u sen R
sen
y y
y y y
y
( − ) =
( − ) =
( ) =
2 1
122 522 40, 30 RR
R poundal lbf
R
R
y
y
2 2 2
, 6 680 lbf
Figura 5.10 Composição da força de resistência R
a partir de Rx
e de Ry
.
θ = 14,9999
BGEM (1) e (2): ∆^ u^ b g ∆ z ∆ p^ l (^) wf pW S
2 2 +^ +^ ρ +^ +^ η =^0
, sem atrito
, atmosfera
2 1
2 1
b^2 0 wf^ p^ S (^0 )
b^2 S
b^2 2 b (^2 1) S
2 2 0 b b (^2 ) S
u (^) g z p l W 0 2
u p (^) W 0 2
u u (^) p p 2 W^0
u u (^) p p W 0 2
= (^) = (^) =
=
∆ (^) + ∆ + ∆ + + η = ρ
ρ
ρ
BGQM (2) e (3): Direção x:
wu F F F R
wu R
w u u R
w u
x xp xd xg x
x x
x x x
x
( − ) =
=
3 2
3 0,
, fo
bateu na placa
x x
x x
x
u R
wu R
wu kgf
2
2
2 150 rrça da placa sobre a água
− = − (^) ( ) = −
=
wu N
w u A
w
x
b
2
2
2 2
ρ
== ρ u (^) b 2 A 2
( ) 2
2
2 b
b
w 1000u 0, 4
w 17,6714u
=^ π
logo
- 17,6714u (^) b 2 ux 2 = - 1470
Vale lembrar que u b 2 e u x 2 são iguais. Portanto
ux 2 =9,1205 m/s
BGM (1) e (2): w dM 0 d
θ
w w dM d
w w
u A u A
u A u A
u u A A
b b
b b
b b
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 2
θ
ρ ρ
uu u
D
D
u u D D
u
b b
b b
b
1 2
1 2
1
22
12
22 12
2 2
π
π
,, 2801m s/
UNIDADE 6
Camada limite
Figura 6.2 Formação das camadas limites laminar e turbulenta.
Em um pequeno trecho, a partir do bordo de ataque, a variação de velocida- de é considerável em vista da viscosidade. À medida que o escoamento progride, a viscosidade influencia um maior número de partículas do fluido e a camada limite aumenta de espessura. Nessa região, temos a camada limite laminar. O ponto da placa é chamado de ponto crítico, porque, a partir dele, o escoamento se torna instável com um brusco aumento de espessura. Essa região é a zona de transição, onde o escoamento é laminar junto à superfície da placa e se torna turbulento ao afastar-se dela. Junto à placa há uma camada extremamente del- gada chamada de subcamada laminar, onde o escoamento permanece laminar. Entre a subcamada laminar e a camada limite, o escoamento é turbulento, essa região é a camada limite turbulenta.
A sequência laminar-transição-turbulento ocorre em todos os escoamentos se a superfície for suficientemente longa, independentemente de ser a corrente livre laminar ou turbulenta, mas com o aumento do grau de turbulência na corren- te livre a transição ocorre mais cedo.
Para o escoamento sobre uma placa plana, define-se o número de Reynolds local do escoamento ao longo da superfície da placa como:
Re x = ρ u x μ
0
Lembrando que ρ
v =μ, temos: (^) Re x
u x v
=^0
A transição de escoamento laminar para turbulento, em uma placa lisa, ocorre na faixa de número de Reynolds entre 2 × 10 5 e 3 × 10 6. O número crítico de Reynolds Re c para a transição numa placa plana é geralmente tomado como 5 × 10 5. Esse valor, na prática, é fortemente dependente das condições de rugo- sidade superficial e do “nível de turbulência” da corrente livre.
Como 0
x
u
u se aproxima de 1,0 apenas quando y →∞, é costume escolher
a espessura da camada limite δ como sendo o ponto em que u x = 0 99, u 0.
6 2 1 Perfil de velocidade na camada limite laminar
Para o escoamento laminar sobre uma placa plana, as equações de ca- mada limite podem ser resolvidas exatamente. A solução foi obtida em 1908 por
Blasius, quando mostrou que o perfil de velocidade adimensional 0
x
u
u é função apenas
de uma única variável adimensional composta y u^0. x
η = ν
. Após muita álgebra, as
equações de camada limite podem ser reduzidas a uma única equação diferencial não linear de terceira ordem para:
f η f^ η f η
η ( ) (^) η
d ( ) + ( ) = d
d d
2 2
3 2 3 0 (6.1)
com as seguintes condições de contorno:
y = 0 u (^) x = uy = 0 ⇒ η = 0 f = f’= 0
y = ∞u (^) x = u 0 ⇒ η =∞ f’ = 1
f (^) (η ) é chamada de função corrente adimensional e relaciona-se com as veloci-
dades ux e u ydentro da camada limite por:
f’
f’ f
= (^) ( − )
u u
u u x
x
y
0
(^10) 2
ν (^) η
A solução da equação 6.1 é dada por:
f = 0 16603, η^2^ − 4 5943, × 10 −^^4 η^5^ + 2 4972, × 10 −^^6 η^8^ − 1 4277, × 10 −^8 η^11 + (6.2)
A solução gráfica para obtenção de u (^) x é dada na Figura 6.3.
Dado ( x y, ) ⇒ η⇒ u (^) y
gráfico
f = 0 16603, η^2^ − 4 5943, × 10 −^^4 η^5^ + 2 4972, × 10 −^^6 η^8^ − 1 4277, × 10 −^8 η^11 +
x 0
x 0
x 0 0
x 0 0
x 0 0 y 0
u u f
u u 0,
u u 0,332y u x
u (^) u 0,332 u y x
u (^) 0,332u u y (^) = x
= η -
ν
∂ (^) ≅ ∂ ν
∂ (^) ≅ ∂ ν
(6.3)
6.3 Coeficiente de resistência
Sempre que um objeto for colocado em um fluido móvel, experimentará uma força na direção do movimento do fluido em relação ao objeto (força de
resistência FD ) e uma força normal à direção relativa do escoamento (susten-
tação FL ). Definem-se o coeficiente de resistência C D e o de sustentação CL.
Em geral, esses coeficientes são determinados experimentalmente e dependem do número de Reynolds.
FD = C (^) D ρ u^^ A
2 2 F^ C^
u (^) A D = D coeficiente de resistência^
ρ^2 2
FL = C (^) L ρ u^^ A
2 2
FL = C (^) L u^ A coeficiente de sustentação^
ρ^2 2
A = área característica
6 3 1 Resistência em escoamento sobre uma placa plana
Em qualquer ponto a uma distância x do bordo de ataque
y 0
s x
y
u
=
∂
τ μ ∂ τ
s = tensão de cisalhamento em^ y^ =^0
Substituindo a equação 6.3, então:
x
0 , 332 u u^0
τ (^) s=μ (^0) ν
A resistência total para uma placa de largura b e comprimento L
d s
d s b L d 0 0 s
L d 0 s
0 L d (^0 )
d 0 0
d 03
dF dA
dF dxdz
F b dxdz
F b dx
F 0,332 bu u^ dx x
F 0,664bu Lu
F 0,664b Lu
= τ
= τ
= τ
= τ
= μ (^) ν
= μρ
= μρ
∫ ∫
∫
∫
(6.4)
O coeficiente de resistência relacionado à resistência total sobre a placa de comprimento L , para escoamento sobre um lado, é dado por:
C F
u A
D^ =^ 1 d 2 0
(^2) ρ
A = bL
Substituindo a equação 6.4, tem-se:
d^ (^ )^03 D (^2 ) 0 0
2F 2 0,664 b^ Lu C 1,328 (^) Lu u A u bL
μρ (^) ν = = = ρ ρ
ν = μρ= 1 52, × 10 −^2 cm 2 /s
a) Re , x^ =^ u x =^ (^ ) , ×
0 − 2 = × 3
ν 3 95^10
Rex < 5 × 10 5 ∴camada limite laminar
b) y ux^0 1 32 3, 1,52 10 - ( 20 )
η = (^) ν = × = ×
Pela Figura 6.3, temos: ⇒ = ∴
gráfico η× uu x
x u u
0 0
0 85, u (^) x = 2 55, cm s/
Pela Figura 6.4, temos: ⇒^ =^ ∴^ =^ ×
× −
gráfico η (^) ν ν
u u
u x y y
y u u
(^0) u x (^) u cm s
0
0
c) y = δ u x = u 0 ⇒ f’ = 1
f'
gráfico = 1 ⇒ η= 5
η ν
= y u ⇒ x
× − ( )
δ ,
δ = 1 59, cm
6.4 Exercício resolvido
Ar a 20°C e velocidade de 1 m/s escoa sobre uma placa. Calcule a es- pessura da camada limite em um ponto distante 0,3 m do bordo de ataque e o coeficiente de atrito superficial médio.
ν
ν
= ×
= = (^ ) ×
−
−
6 2
(^06)
Re , ,
m s
u x x
δ = = (^ )^ δ=
x (^) cm
C
x
D L
Re
Re
, , 44 × 10 − 3
UNIDADE 7
Escoamento turbulento
