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This document refere to a little bit about transportation phenomena number one.
Typology: Lecture notes
1 / 56
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resultante necessária para manter a lâmina na velocidade dada. O plano x-y é horizontal.
ρ =62,4 lb /ft^3
Figura 5.8 Jato de fluido se chocando contra uma lâmina em movimento.
Solução:
Figura 5.9 Jato de fluido através das duas superfícies permeáveis nos pontos 1 e 2.
A velocidade relativa com a lâmina se movendo a 70 ft/s é dada por:
1 L
1
u 110 u
u 110 70 40 ft /s
BGQM (1) e (2): Direção x :
∆ wu R
w u u R
w u u R
x x
x x x
x
( − ) =
(− − ) =
2 1
2 cos^301
w u u R
wu R
w u A
w
x
x
b
( −^ − ) =
(− − ) =
=
= (^) ( ) (
1 1
1
cos
cos
ρ
π (^) )) (^) =
( ) −( − ) =
= −
2 4
, cos
lb s
x
x
ppoundal lbf
lbf poundal
Direção y:
∆ wu R
w u u R
w u sen R
sen
y y
y y y
y
( − ) =
( − ) =
( ) =
2 1
R poundal lbf
R
R
y
y
2 2 2
, 6 680 lbf
.
θ = 14,9999
BGEM (1) e (2): ∆^ u^ b g ∆ z ∆ p^ l (^) wf pW S
2 2 +^ +^ ρ +^ +^ η =^0
, sem atrito
, atmosfera
2 1
2 1
b^2 0 wf^ p^ S (^0 )
b^2 S
b^2 2 b (^2 1) S
2 2 0 b b (^2 ) S
u (^) g z p l W 0 2
u p (^) W 0 2
u u (^) p p 2 W^0
u u (^) p p W 0 2
= (^) = (^) =
=
∆ (^) + ∆ + ∆ + + η = ρ
ρ
ρ
BGQM (2) e (3): Direção x:
wu F F F R
wu R
w u u R
w u
x xp xd xg x
x x
x x x
x
( − ) =
=
3 2
3 0,
, fo
bateu na placa
x x
x x
x
u R
wu R
wu kgf
2
2
2 150 rrça da placa sobre a água
− = − (^) ( ) = −
=
wu N
w u A
w
x
b
2
2
2 2
ρ
== ρ u (^) b 2 A 2
( ) 2
2
2 b
b
w 1000u 0, 4
w 17,6714u
=^ π
logo
ux 2 =9,1205 m/s
BGM (1) e (2): w dM 0 d
θ
w w dM d
w w
u A u A
u A u A
u u A A
b b
b b
b b
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 2
θ
ρ ρ
uu u
u u D D
u
b b
b b
b
1 2
1 2
1
22
12
22 12
2 2
π
π
,, 2801m s/
Figura 6.2 Formação das camadas limites laminar e turbulenta.
Em um pequeno trecho, a partir do bordo de ataque, a variação de velocida- de é considerável em vista da viscosidade. À medida que o escoamento progride, a viscosidade influencia um maior número de partículas do fluido e a camada limite aumenta de espessura. Nessa região, temos a camada limite laminar. O ponto da placa é chamado de ponto crítico, porque, a partir dele, o escoamento se torna instável com um brusco aumento de espessura. Essa região é a zona de transição, onde o escoamento é laminar junto à superfície da placa e se torna turbulento ao afastar-se dela. Junto à placa há uma camada extremamente del- gada chamada de subcamada laminar, onde o escoamento permanece laminar. Entre a subcamada laminar e a camada limite, o escoamento é turbulento, essa região é a camada limite turbulenta.
A sequência laminar-transição-turbulento ocorre em todos os escoamentos se a superfície for suficientemente longa, independentemente de ser a corrente livre laminar ou turbulenta, mas com o aumento do grau de turbulência na corren- te livre a transição ocorre mais cedo.
Para o escoamento sobre uma placa plana, define-se o número de Reynolds local do escoamento ao longo da superfície da placa como:
Re x = ρ u x μ
0
Lembrando que ρ
v =μ, temos: (^) Re x
u x v
A transição de escoamento laminar para turbulento, em uma placa lisa, ocorre na faixa de número de Reynolds entre 2 × 10 5 e 3 × 10 6. O número crítico de Reynolds Re c para a transição numa placa plana é geralmente tomado como 5 × 10 5. Esse valor, na prática, é fortemente dependente das condições de rugo- sidade superficial e do “nível de turbulência” da corrente livre.
Como 0
x
6 2 1 Perfil de velocidade na camada limite laminar
Para o escoamento laminar sobre uma placa plana, as equações de ca- mada limite podem ser resolvidas exatamente. A solução foi obtida em 1908 por
Blasius, quando mostrou que o perfil de velocidade adimensional 0
x
de uma única variável adimensional composta y u^0. x
η = ν
. Após muita álgebra, as
equações de camada limite podem ser reduzidas a uma única equação diferencial não linear de terceira ordem para:
f η f^ η f η
η ( ) (^) η
d ( ) + ( ) = d
d d
2 2
3 2 3 0 (6.1)
com as seguintes condições de contorno:
y = 0 u (^) x = uy = 0 ⇒ η = 0 f = f’= 0
y = ∞u (^) x = u 0 ⇒ η =∞ f’ = 1
f (^) (η ) é chamada de função corrente adimensional e relaciona-se com as veloci-
f’
f’ f
= (^) ( − )
u u
u u x
x
y
0
(^10) 2
ν (^) η
A solução da equação 6.1 é dada por:
f = 0 16603, η^2^ − 4 5943, × 10 −^^4 η^5^ + 2 4972, × 10 −^^6 η^8^ − 1 4277, × 10 −^8 η^11 + (6.2)
A solução gráfica para obtenção de u (^) x é dada na Figura 6.3.
Dado ( x y, ) ⇒ η⇒ u (^) y
gráfico
f = 0 16603, η^2^ − 4 5943, × 10 −^^4 η^5^ + 2 4972, × 10 −^^6 η^8^ − 1 4277, × 10 −^8 η^11 +
x 0
x 0
x 0 0
x 0 0
x 0 0 y 0
u u f
u u 0,
u u 0,332y u x
u (^) u 0,332 u y x
u (^) 0,332u u y (^) = x
= η -
ν
∂ (^) ≅ ∂ ν
∂ (^) ≅ ∂ ν
(6.3)
6.3 Coeficiente de resistência
Sempre que um objeto for colocado em um fluido móvel, experimentará uma força na direção do movimento do fluido em relação ao objeto (força de
Em geral, esses coeficientes são determinados experimentalmente e dependem do número de Reynolds.
FD = C (^) D ρ u^^ A
2 2 F^ C^
u (^) A D = D coeficiente de resistência^
ρ^2 2
FL = C (^) L ρ u^^ A
2 2
FL = C (^) L u^ A coeficiente de sustentação^
ρ^2 2
A = área característica
6 3 1 Resistência em escoamento sobre uma placa plana
Em qualquer ponto a uma distância x do bordo de ataque
y 0
s x
=
∂
τ μ ∂ τ
Substituindo a equação 6.3, então:
τ (^) s=μ (^0) ν
d s
d s b L d 0 0 s
L d 0 s
0 L d (^0 )
d 0 0
d 03
dF dA
dF dxdz
F b dxdz
F b dx
F 0,332 bu u^ dx x
F 0,664bu Lu
F 0,664b Lu
= τ
= τ
= τ
= τ
= μ (^) ν
= μρ
= μρ
∫ ∫
∫
∫
(6.4)
O coeficiente de resistência relacionado à resistência total sobre a placa de comprimento L , para escoamento sobre um lado, é dado por:
u A
D^ =^ 1 d 2 0
(^2) ρ
A = bL
Substituindo a equação 6.4, tem-se:
d^ (^ )^03 D (^2 ) 0 0
2F 2 0,664 b^ Lu C 1,328 (^) Lu u A u bL
μρ (^) ν = = = ρ ρ
ν = μρ= 1 52, × 10 −^2 cm 2 /s
a) Re , x^ =^ u x =^ (^ ) , ×
ν 3 95^10
Rex < 5 × 10 5 ∴camada limite laminar
b) y ux^0 1 32 3, 1,52 10 - ( 20 )
η = (^) ν = × = ×
Pela Figura 6.3, temos: ⇒ = ∴
gráfico η× uu x
x u u
0 0
0 85, u (^) x = 2 55, cm s/
Pela Figura 6.4, temos: ⇒^ =^ ∴^ =^ ×
× −
gráfico η (^) ν ν
u u
u x y y
y u u
(^0) u x (^) u cm s
0
0
f'
gráfico = 1 ⇒ η= 5
η ν
= y u ⇒ x
× − ( )
δ ,
δ = 1 59, cm
6.4 Exercício resolvido
Ar a 20°C e velocidade de 1 m/s escoa sobre uma placa. Calcule a es- pessura da camada limite em um ponto distante 0,3 m do bordo de ataque e o coeficiente de atrito superficial médio.
ν
ν
= = (^ ) ×
−
−
6 2
(^06)
Re , ,
m s
u x x
δ = = (^ )^ δ=
x (^) cm
x
D L
Re
Re