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Leitura de fenômenos cort, Lecture notes of Mechanics

This document refere to a little bit about transportation phenomena number one.

Typology: Lecture notes

2020/2021

Uploaded on 03/15/2021

margo-silva-h19
margo-silva-h19 🇨🇦

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bg1
99
resultante necessária para manter a lâmina na velocidade dada. O plano x-y
é horizontal.
3
62,4 lb/ftρ=
Figura 5.8 Jato de fluido se chocando contra uma lâmina em movimento.
Solução:
Figura 5.9 Jato de fluido através das duas superfícies permeáveis nos pontos 1 e 2.
BGM (1) e (2):
21 ww =
21 uu =
A velocidade relativa com a lâmina se movendo a 70 ft/s é dada por:
1L
1
u 110 u
u 110 70 40 ft / s
=-
= -=
BGQM (1) e (2):
Direção x :
wu R
wu uR
wu
uR
xx
xx x
x
=
()
=
−−
()
=
21
21
30cos
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17
pf18
pf19
pf1a
pf1b
pf1c
pf1d
pf1e
pf1f
pf20
pf21
pf22
pf23
pf24
pf25
pf26
pf27
pf28
pf29
pf2a
pf2b
pf2c
pf2d
pf2e
pf2f
pf30
pf31
pf32
pf33
pf34
pf35
pf36
pf37
pf38

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resultante necessária para manter a lâmina na velocidade dada. O plano x-y é horizontal.

ρ =62,4 lb /ft^3

Figura 5.8 Jato de fluido se chocando contra uma lâmina em movimento.

Solução:

Figura 5.9 Jato de fluido através das duas superfícies permeáveis nos pontos 1 e 2.

BGM (1) e (2): w 1 = w 2 ⇒ u 1 =u 2

A velocidade relativa com a lâmina se movendo a 70 ft/s é dada por:

1 L

1

u 110 u

u 110 70 40 ft /s

BGQM (1) e (2): Direção x :

wu R

w u u R

w u u R

x x

x x x

x

( − ) =

(− − ) =

2 1

2 cos^301

w u u R

wu R

w u A

w

x

x

b

( −^ − ) =

(− − ) =

=

= (^) ( ) (

1 1

1

cos

cos





ρ

π (^) )) (^) =

( ) −( − ) =

= −

2 4

, cos

lb s

R

R

x

x

ppoundal lbf

lbf poundal

Direção y:

wu R

w u u R

w u sen R

sen

y y

y y y

y

( − ) =

( − ) =

( ) =





2 1

122 522 40, 30 RR

R poundal lbf

R

R

y

y

2 2 2

, 6 680 lbf

Figura 5.10 Composição da força de resistência R

a partir de Rx

e de Ry

.

θ = 14,9999

BGEM (1) e (2): ∆^ u^ b gzp^ l (^) wf pW S

2 2 +^ +^ ρ +^ +^ η =^0

, sem atrito

, atmosfera

2 1

2 1

b^2 0 wf^ p^ S (^0 )

b^2 S

b^2 2 b (^2 1) S

2 2 0 b b (^2 ) S

u (^) g z p l W 0 2

u p (^) W 0 2

u u (^) p p 2 W^0

u u (^) p p W 0 2

= (^) = (^) =

=

∆ (^) + ∆ + ∆ + + η = ρ

ρ

  • (^) -
    • (^) ρ + =

ρ

BGQM (2) e (3): Direção x:

wu F F F R

wu R

w u u R

w u

x xp xd xg x

x x

x x x

x

( − ) =

=

3 2

3 0,

, fo

bateu na placa

x x

x x

x

u R

wu R

wu kgf

2

2

2 150 rrça da placa sobre a água

− = − (^) ( ) = −

=

wu N

w u A

w

x

b

2

2

2 2

ρ

== ρ u (^) b 2 A 2

( ) 2

2

2 b

b

w 1000u 0, 4

w 17,6714u

=^ π

logo

  • 17,6714u (^) b 2 ux 2 = - 1470

Vale lembrar que u b 2 e u x 2 são iguais. Portanto

ux 2 =9,1205 m/s

BGM (1) e (2): w dM 0 d

θ

w w dM d

w w

u A u A

u A u A

u u A A

b b

b b

b b

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

1 2

θ

ρ ρ

uu u

D

D

u u D D

u

b b

b b

b

1 2

1 2

1

22

12

22 12

2 2

π

π

,, 2801m s/

UNIDADE 6

Camada limite

Figura 6.2 Formação das camadas limites laminar e turbulenta.

Em um pequeno trecho, a partir do bordo de ataque, a variação de velocida- de é considerável em vista da viscosidade. À medida que o escoamento progride, a viscosidade influencia um maior número de partículas do fluido e a camada limite aumenta de espessura. Nessa região, temos a camada limite laminar. O ponto da placa é chamado de ponto crítico, porque, a partir dele, o escoamento se torna instável com um brusco aumento de espessura. Essa região é a zona de transição, onde o escoamento é laminar junto à superfície da placa e se torna turbulento ao afastar-se dela. Junto à placa há uma camada extremamente del- gada chamada de subcamada laminar, onde o escoamento permanece laminar. Entre a subcamada laminar e a camada limite, o escoamento é turbulento, essa região é a camada limite turbulenta.

A sequência laminar-transição-turbulento ocorre em todos os escoamentos se a superfície for suficientemente longa, independentemente de ser a corrente livre laminar ou turbulenta, mas com o aumento do grau de turbulência na corren- te livre a transição ocorre mais cedo.

Para o escoamento sobre uma placa plana, define-se o número de Reynolds local do escoamento ao longo da superfície da placa como:

Re x = ρ u x μ

0

Lembrando que ρ

v =μ, temos: (^) Re x

u x v

=^0

A transição de escoamento laminar para turbulento, em uma placa lisa, ocorre na faixa de número de Reynolds entre 2 × 10 5 e 3 × 10 6. O número crítico de Reynolds Re c para a transição numa placa plana é geralmente tomado como 5 × 10 5. Esse valor, na prática, é fortemente dependente das condições de rugo- sidade superficial e do “nível de turbulência” da corrente livre.

Como 0

x

u

u se aproxima de 1,0 apenas quando y →∞, é costume escolher

a espessura da camada limite δ como sendo o ponto em que u x = 0 99, u 0.

6 2 1 Perfil de velocidade na camada limite laminar

Para o escoamento laminar sobre uma placa plana, as equações de ca- mada limite podem ser resolvidas exatamente. A solução foi obtida em 1908 por

Blasius, quando mostrou que o perfil de velocidade adimensional 0

x

u

u é função apenas

de uma única variável adimensional composta y u^0. x

η = ν

. Após muita álgebra, as

equações de camada limite podem ser reduzidas a uma única equação diferencial não linear de terceira ordem para:

f η f^ η f η

η ( ) (^) η

d ( ) + ( ) = d

d d

2 2

3 2 3 0 (6.1)

com as seguintes condições de contorno:

y = 0 u (^) x = uy = 0 ⇒ η = 0 f = f’= 0

y = ∞u (^) x = u 0 ⇒ η =∞ f’ = 1

f (^) (η ) é chamada de função corrente adimensional e relaciona-se com as veloci-

dades ux e u ydentro da camada limite por:

f’

f’ f

= (^) ( − )

u u

u u x

x

y

0

(^10) 2

ν (^) η

A solução da equação 6.1 é dada por:

f = 0 16603, η^2^ − 4 5943, × 10 −^^4 η^5^ + 2 4972, × 10 −^^6 η^8^ − 1 4277, × 10 −^8 η^11 + (6.2)

A solução gráfica para obtenção de u (^) x é dada na Figura 6.3.

Dado ( x y, ) ⇒ η⇒ u (^) y

gráfico

f = 0 16603, η^2^ − 4 5943, × 10 −^^4 η^5^ + 2 4972, × 10 −^^6 η^8^ − 1 4277, × 10 −^8 η^11 +

x 0

x 0

x 0 0

x 0 0

x 0 0 y 0

u u f

u u 0,

u u 0,332y u x

u (^) u 0,332 u y x

u (^) 0,332u u y (^) = x

= η -

ν

∂ (^) ≅ ∂ ν

∂ (^) ≅ ∂ ν

(6.3)

6.3 Coeficiente de resistência

Sempre que um objeto for colocado em um fluido móvel, experimentará uma força na direção do movimento do fluido em relação ao objeto (força de

resistência FD ) e uma força normal à direção relativa do escoamento (susten-

tação FL ). Definem-se o coeficiente de resistência C D e o de sustentação CL.

Em geral, esses coeficientes são determinados experimentalmente e dependem do número de Reynolds.

FD = C (^) D ρ u^^ A

2 2 F^ C^

u (^) A D = D coeficiente de resistência^ 

ρ^2 2

FL = C (^) L ρ u^^ A

2 2

FL = C (^) L u^ A coeficiente de sustentação^ 

ρ^2 2

A = área característica

6 3 1 Resistência em escoamento sobre uma placa plana

Em qualquer ponto a uma distância x do bordo de ataque

y 0

s x

y

u

=

τ μ ∂ τ

s = tensão de cisalhamento em^ y^ =^0

Substituindo a equação 6.3, então:

x

0 , 332 u u^0

τ (^) s=μ (^0) ν

A resistência total para uma placa de largura b e comprimento L

d s

d s b L d 0 0 s

L d 0 s

0 L d (^0 )

d 0 0

d 03

dF dA

dF dxdz

F b dxdz

F b dx

F 0,332 bu u^ dx x

F 0,664bu Lu

F 0,664b Lu

= τ

= τ

= τ

= τ

= μ (^) ν

= μρ

= μρ

∫ ∫

(6.4)

O coeficiente de resistência relacionado à resistência total sobre a placa de comprimento L , para escoamento sobre um lado, é dado por:

C F

u A

D^ =^ 1 d 2 0

(^2) ρ

A = bL

Substituindo a equação 6.4, tem-se:

d^ (^ )^03 D (^2 ) 0 0

2F 2 0,664 b^ Lu C 1,328 (^) Lu u A u bL

μρ (^) ν = = = ρ ρ

ν = μρ= 1 52, × 10 −^2 cm 2 /s

a) Re , x^ =^ u x =^ (^ ) , ×

0 − 2 = × 3

ν 3 95^10

Rex < 5 × 10 5 ∴camada limite laminar

b) y ux^0 1 32 3, 1,52 10 - ( 20 )

η = (^) ν = × = ×

Pela Figura 6.3, temos: ⇒ = ∴

gráfico η× uu x

x u u

0 0

0 85, u (^) x = 2 55, cm s/

Pela Figura 6.4, temos: ⇒^ =^ ∴^ =^ ×

× −

gráfico η (^) ν ν

u u

u x y y

y u u

(^0) u x (^) u cm s

0

0

c) y = δ u x = u 0 ⇒ f’ = 1

f'

gráfico = 1 ⇒ η= 5

η ν

= y ux

× − ( )

δ ,

δ = 1 59, cm

6.4 Exercício resolvido

Ar a 20°C e velocidade de 1 m/s escoa sobre uma placa. Calcule a es- pessura da camada limite em um ponto distante 0,3 m do bordo de ataque e o coeficiente de atrito superficial médio.

ν

ν

= ×

= = (^ ) ×

6 2

(^06)

Re , ,

m s

u x x

δ = = (^ )^ δ=

x (^) cm

C

x

D L

Re

Re

, , 44 × 10 − 3

UNIDADE 7

Escoamento turbulento