Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community for help and clear up your study doubts
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
laporan praktikum fisika komputasi
Typology: Lab Reports
1 / 25
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
On special offer
Modul 1 : Persamaan Non-Linier
Modul 1 : Persamaan non-linier
Tujuan : Untuk menemukan nilai akar sebuah persamaan non-linier dengan metode biseksi, metode regula falsi, metode Newton-Raphson, dan metode secant Manfaat : Dapat merumuskan coding ntuk menemukan nilai akar sebuah persamaan non-linier dengan metode biseksi, metode regula falsi, metode Newton- Raphson, dan metode secant
1.1 Persamaan non-linier Persamaan non linier dapat diartikan sebagai persamaan matematis dengan pangkat selain satu. Persamaan non linier merupakan persamaan yang memiliki output tidak proporsional dengan input yang dimasukkan ke dalam persamaan tersebut. Persamaan non linier umumnya memiliki variabel yang berpangkat banyak. Setiap persamaan non-linier pasti memiliki akar, akar merupakan suatu nilai yang apabila dimasukkan ke dalam persamaan akan menghasilkan angka nol. (Utomo, 2018
1.2 Metode Biseksi Dalam sains sering ditemukan persoalan dalam menentukan nilai akar dari suatu fungsi. Oleh karena itu, dirumuskan beberapa metode dalam menemukan akar sebuah fungsi. Pada dasarnya salah satu dari persoalan dasar dari metode komputasi adalah persoalan memperoleh akar dari suatu fungsi.
dengan menghampiri (2c) < epsilon naesin. c. Galat relatif hampiran akar |(๐^ ๐๐๐๐ข ๐ ๐๐๐๐ขโ๐^ ๐๐๐๐ )| < ฮด, dalam hal ini ฮด adalah galat relatif yang diinginkan.
1.3 Metode Regula Falsi Meskipun metode biseksi selalu konvergen dalam mencari akar, akan tetapi dalam beberapa penggunaannya diaggap kurang efektif. Metode mencari kar yang lebih efektif adalah metode Modifyed Bisection. Hal ini dikarenakan metode Bisection membagi daerahnya dengan faktor tetap (1/2-nya) tanpa memperhitungkan faktor fungsi bobotnya agar lebih efektif. Salah satu metode Bisection yang termodifikasi adalah metode Regula Falsi. Metode ini mirip dengan metode Bisection, hanya saja pembagian daerahnya tidak setengahnya seperti pada metode Bisection, tetapi berubah-ubah didasarkan pada metode segitiga. Dalam daerah lertentu [bn, an] memenuhi syarat f (mn) x f (an) < 0, yang berarti ada akar di daerah tersebut. Jika f (a 0 ) adalah nilai fungsi f (x) di a 0 dan f (b 0 ) adalah nilai fungsi f (x) di b 0 , maka dapatlah dibuat garis lurus penghubung titik f (a 0 ) dengan titik f(b 0 ). Perpotongan garis lurus penghubung dengan sumbu x, yaitufimo) = 0, menentukan titik mo. Terlihat pada Gambar 5, adanya perbandingan segitiga yang dibentuk olch garis penghubung titik f (a 0 ), f (b 0 )dengan sumbu x di daerah [bo, ao], sehingga ๐(b 0 ) b 0 โ m =^
๐(a 0 ) a 0 โ m
Gambar 1.1 langkah operasional pada metode regula falsi untuk mencari titik m sebagai titik tengah termodifikasi
1.4 Metode Newton-Raphson Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode Newton- Raphson), yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil. Metode Newton- Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya. Metode Newton merupakan metode iterasi untuk menyelesaikan persamaan f(x) = 0 dengan mengasumsikan f mempunyai turunan kontinu fโ. Metode ini menggunakan garis lurus sebagai hampiran fungsi pada suatu selang. Tapi garis lurus yang digunakan adalah garis singgung. Metode Newton-Raphson dapat diturunkan berdasarkan interpretasi geometrik ( sebuah metode alternatif yang didasarkan pada Deret Taylor ). Seperti pada gambar, turunan pertama pada xn adalah ekuivalen terhadap kemiringan : ๐โฒ(๐ฅ ๐) = ๐(๐ฅ ๐) โ 0 ๐ฅ ๐ โ ๐ฅ ๐+1 yang dapat
Metode secant merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linear. Dengan prinsip utama yaitu melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis secant yang ditentukan oleh 2 titik akhir. Nilai taksiran akar selanjutnya adalah titik potong antara garis secant dengan sumbu x Tujuan metode secant adalah untuk menyelesaikan masalah yang terdapat pada metode Newton-Raphson yang terkadang sulit mendapatkan turunan pertama yaitu fโ (x). Fungsi metode secant adalah untuk menaksirkan akar dengan menggunakan diferensi daripada turunan untuk memperkirakan kemiringan/slope. Metode secant dilakukan dengan mengambil dua titik awal, misal x0 dan x1. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x2 menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x1 dan x2 sebagai titik awal dan hitung x3. Kemudian ambil x2 dan x3 sebagai titik awal dan hitung x4. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil. Algoritma Metode Secant adalah sebagai berikut : a. Definisikan fungsi F(x) b. Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n) c. Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1,sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan. d. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y e. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xn)| Xn+1 = Xn โ Yn (Xn โ Xn-1 / Yn โ Yn-1) f. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
Carilah akar dari persamaan ๐ฆ = ๐ฅ^2 โ ๐ฅ + 34 dengan menggunakan metode biseksi, metode Regula Falsi, Metode Newton-Raphson, dan metode Secant. Gunakan nilai toleransi 10 โ^6 dan iterasi maksimum 25 serta nilai batas bawah 0 dan batas atas 10. Bandingkan hasil keempat metode yang digunakan.
b. Metode Regula Falsi
๐ฆ = ๐ฅ^2 + ๐ฅ - 34
i A B x f(x e f( A * f (B 1 0 10 3,0909090909091 - 21,3 10 - 2 3,0909090909091 10 4,6064516129032 - 8,1 6,909091 - 3 4,6064516129032 10 5,1302190988012 - 2,5 5,393548 - 4 5,1302190988012 10 5,2883467 028883 - 0,7 4,869781 - 5 5,2883467028883 10 5,3340875297968 - 0,2 4,711653 - 6 5,3340875297968 10 5,3471536220582 - 0,06 4,665912 - 7 5,3471536220582 10 5,3508725887638 - 0,01 4,652846 - 8 5,3508725887638 10 5,3519300216291 - 4 , 92 x 10 โ^3 4,649127 - 9 5,3 519300216291 10 5,3522305991114 - 1 , 4 x 10 โ^3 4,64807 - 10 5,3522305991114 10 5,3523160317877 (^) - 3,9x 10 โ^4 4,647769 - 11 5,3523160317877 10 5,3523403136130 - 1 , 1 x 10 โ^4 4,647684 - 12 5,3523403136130 10 5,3523472149897 - 3,2x 10 โ^5 4,64766 - 13 5,3523472 149897 10 5,3523491764942 (^) - 9,1x 10 โ^6 4,647653 - 14 5,3523491764942 10 5,3523497339913 - 2,6x 10 โ^6 4,647651 - 15 5,3523497339913 10 5,3523498924427 - 7,4x 10 โ^7 4,64765 - 16 5,3523498924427 10 5,3523499374776 - 2,1x 10 โ^7 4,64765 - 17 5,3523499374776 10 5,3523499502773 - 5,9x 10 โ^8 4,64765 - 18 5,3523499502773 10 5,3523499539153 (^) - 1,7x 10 โ^8 4,64765 - 19 5,3523499539153 10 5,3523499549493 - 4,8x 10 โ^9 4,64765 - 20 5,3523499549493 10 5,3523499552431 - 1,4x 10 โ^9 4,64765 - 21 5,3523499552431 10 5,35 (^23499553267) - 3,9x 10 โ^10 4,64765 - 22 5,3523499553267 10 5,3523499553504 - 1,1x 10 โ^10 4,64765 - 23 5,3523499553504 10 5,3523499553571 - 3,1x 10 โ^11 4,64765 - 24 5,3523499553571 10 5,3523499553591 (^) - 8,9x 10 โ^12 4,64765 - 25 5,3523499553591 10 5,352349 9553596 - 2,5x 10 โ^12 4,64765 -
Tabel 3.2 hasil perhitungan metode regula falsi
c. Metode Newton-Raphson
๐ฆ = ๐ฅ^2 + ๐ฅ - 34 i B x f(x) error 1 10 6,380952381 13,09750567 0, 2 6,380952381 5,429230516 0,905774509 0, 3 5,429230516 5,352848386 0,00583423 0, 4 5,352848386 5,352349977 2,48x 10 โ^7 9,3x 10 โ^5 5 5,352349977 5,352349955 0 3,9x 10 โ^9 Tabel 3.3 hasil perhitungan metode Newton-Raphson
d. Metode Secant
๐ฆ = ๐ฅ^2 + ๐ฅ - 34 i A B x fx error 1 0 10 3,090909 - 21,35 10 2 10 3,090909 4,606452 - 8,17 6, 3 3,090909 4,606452 5,546294 2,31 1, 4 4,606452 5,546294 5,339379 - 0,15 0, 5 5,546294 5,339379 5,352138 (^) - 2,4x 10 โ^3 0, 6 5,339379 5,352138 5,35235 2,75x 10 โ^6 0, 7 5,352138 5,35235 5,35235 - 4,9x 10 โ^11 2 , 1210 โ^4 8 5,35235 5,35235 5,35235 0 2,3x 10 โ^7 Tabel 3.4 hasil perhitungan metode secant
3.2 Listing Program
a. Flow Chart
Gambar 3.1 diagram alir metode biseksi Metode Regula Falsi Mulai
imax=25, i=
f(x)=x^2+x- 34
f(A)= 0 ^2+ 0 - 34 f(B)= 1 0 ^2+1 0 - 34
f(A)= 0 atau f(B=)=
Akar = A atau akar = B
f(A)*f(B)<
Iter = i+1, X(i)= ((f(B)A)-(f(A)B))/(f(B)-f(A)) f(X)=f(X(i))
Tol = |A-X| < e, iter<imax Iter <mak iter
f(X)= 0
A=X(i) B=X(i)
Tulis hasil X,f(X)
Akar = X f(A)*f(X)<
ya
ya
ya
ya
ya
Tidak Tidak
Tidak
Tidak^ Tidak
Tidak ada akar
Gambar 3.2 diagram alir metode regula falsi Metode Newton-Raphson
Gambar 3.3 diagram alir metode Newton Raphson
E= 10 โ^6 , B= 10 , imax=25, i=
f(x)=x^2+x- 34
f(B)= 1 0 ^2+1 0 - 34 df(B)= 2*10+
f(B=)=0 akar =^ B
Iter = i+1, X(i)= B-(f(B)-df(B)) f(X)=f(X(i))
Tol = |B-X(i)| < e, iter<imax Iter <mak iter
Tulis hasil X,f(X)
Tidak
Tidak
ya
ya
Gambar 3.4 diagram alir metode Secant
b. Script
