PD ORDE
-
N KOEFISIEN KONSTAN
@ATHARIHAFIZH
PD ORDE-N KOEFISIEN KONSTAN
PD ORDE Homogen_
Bentuk umum :
𝒅𝒏𝒚
𝒅𝒕𝒏+𝒑𝟏(𝒕) 𝒅𝒏𝟏𝒚
𝒅𝒕𝒏𝟏 +..+𝒑𝒏(𝒕)𝒚 =𝟎 …(𝒊)
atau
𝑎𝑦()+𝑎𝑦()+..+𝑎𝑦=0……….(𝑖𝑖)
Persamaan diferensial diatas dapat
diselesaikan dengan mensubtitusikan 𝑦=𝑒
ke persamaan (𝑖𝑖) sehingga diperoleh
𝑒(𝑎𝑟+𝑎𝑟 + . . +𝑎𝑟+𝑎)=0
Dari persamaan yang diperoleh, dapat
ditemukan suatu polinom karakteristik yaitu
𝑎𝑟+𝑎𝑟+⋯+𝑎𝑟+𝑎=0
𝑎(𝑟−𝑟)(𝑟−𝑟)…(𝑟−𝑟) = 0
Jika akar-akar persamaan polinom tersebut
adalah 𝑟,𝑟,𝑟,…𝑟 maka terdapat
beberapa kondisi yaitu :
Jika 𝒓𝟏,𝒓𝟐,𝒓𝟑,…,𝒓𝒏 merupakan akar
real yang berbeda
Maka solusi umumnya adalah
𝑦(𝑡)=𝐶𝑒+𝐶𝑒+⋯+𝐶𝑒
Jika 𝒓𝟏,𝒓𝟐,𝒓𝟑,…,𝒓𝒏 merupakan akar
kompleks
Misal , 𝑟=𝑟
Dengan,
𝑟= 𝑢+ 𝑤𝑖 𝑟=𝑢−𝑤𝑖
Maka solusi umumnya adalah
𝑦(𝑡)=𝐶𝑒cos𝑤𝑡+𝐶𝑒sin𝑤𝑡
Jika 𝒓𝟏,𝒓𝟐,𝒓𝟑,…,𝒓𝒏 merupakan akar
kompleks
Ketika mempunyai akar real 𝑟 berulang
sebanyak 𝑆 maka solusi umumnya menjadi:
𝑦(𝑡)=𝐶𝑒+𝐶𝑡𝑒+..+𝐶𝑡𝑒
Ketika mempunyai akar kompleks 𝑢±𝑤𝑖
berulang sebanyak 𝑆 maka solusi
umumnya menjadi:
𝑦(𝑡)=𝑒(𝐶cos𝑤𝑡+𝐶sin𝑤𝑡
+𝐶𝑡cos𝑤𝑡
+𝐶𝑡sin𝑤𝑡+…
+𝐶𝑡sin 𝑤𝑡
+𝐶𝑡cos𝑤𝑡
PD Orden-N nonHomogen_
Bentuk umum
𝑎𝑦()+𝑎𝑦()+..+𝑎𝑦=𝑔(𝑡)
Dalam menyelesaikan pd homogen temukan
terlebih dahulu penyelesaian homogen-nya
[𝑦(𝑡)] kemudian selesaikan 𝑔(𝑡) dengan
mencari Solusi partikulernya 𝑌(𝑡)
Metode Koefisien Tak tentu
Solusi partikuler disesuaikan dengan
fungsi 𝑔(𝑡) sebagai berikut
𝒈
(
𝒕
)
𝒀
(
𝒕
)
𝑒
𝐴
𝑒
𝑡
𝐴
𝑡
+
𝐴
𝑡
+
.
.
+
𝐴
𝑡
+
𝐴
sin
𝑤
𝑡
𝐴
cos
𝑤𝑡
+
𝐵
sin
𝑤𝑡
cos
𝑤𝑡
𝐴
cos
𝑤𝑡
+
𝐵
sin
𝑤𝑡
𝑒
sin
𝑤𝑡
𝑒
(
𝐴
cos
𝑤𝑡
+
𝐵
sin
𝑤𝑡
)
𝑒
cos
𝑤𝑡
𝑒
(
𝐴
cos
𝑤𝑡
+
𝐵
sin
𝑤𝑡
)
Solusi partikuler tidak boleh muncul
pada solusi homogennya jika hal ini
terjadi, kalikan solusi khusus
partikuler pada table dengan factor
𝑡 menyesuaikan dengan solusi yang
tidak dimuat pada solusi
homogennya.
Metode Koefisien Variasi Parameter
(Matriks Cramer)
Solusi partikuler disesuaikan dengan
solusi homogennya, misalkan
𝑦(𝑡)=𝑐𝑦(𝑡)+𝑐𝑦(𝑡)+..+𝑐𝑦(𝑡)
Kemudian misalkan solusi partikuler dari
persamaan diatas
𝑌(𝑡)=𝑢(𝑡)𝑦(𝑡)+𝑢(𝑡)𝑦(𝑡)+⋯+𝑢(𝑡)𝑦(𝑡)
Dengan 𝑢𝑦+⋯+𝑢
𝑦 = 0
𝑢𝑦+⋯+𝑢
𝑦 = 0
𝑢𝑦+⋯+𝑢
𝑦 = 0
.
.
𝑢𝑦()+⋯+𝑢
𝑦()=𝑔
