Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

Kalkulus - PD Orde ke N, Summaries of Calculus

Persamaan Diferensial (PD) adalah suatu persamaan yang memuat turunan fungsi dari satu atau lebih peubah tak bebas terhadap satu atau lebih peubah bebas.

Typology: Summaries

2021/2022

Available from 10/10/2022

thor.athari
thor.athari 🇮🇩

6 documents

1 / 2

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
PD ORDE
-
N KOEFISIEN KONSTAN
@ATHARIHAFIZH
PD ORDE-N KOEFISIEN KONSTAN
PD ORDE Homogen_
Bentuk umum :
𝒅𝒏𝒚
𝒅𝒕𝒏+𝒑𝟏(𝒕) 𝒅𝒏𝟏𝒚
𝒅𝒕𝒏𝟏 +..+𝒑𝒏(𝒕)𝒚 =𝟎 (𝒊)
atau
𝑎𝑦()+𝑎𝑦()+..+𝑎𝑦=0.(𝑖𝑖)
Persamaan diferensial diatas dapat
diselesaikan dengan mensubtitusikan 𝑦=𝑒
ke persamaan (𝑖𝑖) sehingga diperoleh
𝑒(𝑎𝑟+𝑎𝑟 + . . +𝑎𝑟+𝑎)=0
Dari persamaan yang diperoleh, dapat
ditemukan suatu polinom karakteristik yaitu
𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟+𝑎=0
𝑎(𝑟𝑟)(𝑟𝑟)(𝑟𝑟) = 0
Jika akar-akar persamaan polinom tersebut
adalah 𝑟,𝑟,𝑟,𝑟 maka terdapat
beberapa kondisi yaitu :
Jika 𝒓𝟏,𝒓𝟐,𝒓𝟑,,𝒓𝒏 merupakan akar
real yang berbeda
Maka solusi umumnya adalah
𝑦(𝑡)=𝐶𝑒+𝐶𝑒++𝐶𝑒
Jika 𝒓𝟏,𝒓𝟐,𝒓𝟑,,𝒓𝒏 merupakan akar
kompleks
Misal , 𝑟=𝑟
Dengan,
𝑟= 𝑢+ 𝑤𝑖 𝑟=𝑢𝑤𝑖
Maka solusi umumnya adalah
𝑦(𝑡)=𝐶𝑒cos𝑤𝑡+𝐶𝑒sin𝑤𝑡
Jika 𝒓𝟏,𝒓𝟐,𝒓𝟑,,𝒓𝒏 merupakan akar
kompleks
Ketika mempunyai akar real 𝑟 berulang
sebanyak 𝑆 maka solusi umumnya menjadi:
𝑦(𝑡)=𝐶𝑒+𝐶𝑡𝑒+..+𝐶𝑡𝑒
Ketika mempunyai akar kompleks 𝑢±𝑤𝑖
berulang sebanyak 𝑆 maka solusi
umumnya menjadi:
𝑦(𝑡)=𝑒(𝐶cos𝑤𝑡+𝐶sin𝑤𝑡
+𝐶𝑡cos𝑤𝑡
+𝐶𝑡sin𝑤𝑡+
+𝐶𝑡sin 𝑤𝑡
+𝐶𝑡cos𝑤𝑡
PD Orden-N nonHomogen_
Bentuk umum
𝑎𝑦()+𝑎𝑦()+..+𝑎𝑦=𝑔(𝑡)
Dalam menyelesaikan pd homogen temukan
terlebih dahulu penyelesaian homogen-nya
[𝑦(𝑡)] kemudian selesaikan 𝑔(𝑡) dengan
mencari Solusi partikulernya 𝑌(𝑡)
Metode Koefisien Tak tentu
Solusi partikuler disesuaikan dengan
fungsi 𝑔(𝑡) sebagai berikut
𝒈
(
)
𝒀
(
𝒕
)
𝑒

𝐴
𝑒
𝑡
𝐴
𝑡
+
𝐴
𝑡
+
.
.
+
𝐴
𝑡
+
𝐴
sin
𝑤
𝑡
𝐴
cos
𝑤𝑡
+
𝐵
sin
𝑤𝑡
cos
𝑤𝑡
𝐴
cos
𝑤𝑡
+
𝐵
sin
𝑤𝑡
𝑒
sin
𝑤𝑡
𝑒

(
𝐴
cos
𝑤𝑡
+
𝐵
sin
𝑤𝑡
)
𝑒

cos
𝑤𝑡
𝑒

(
𝐴
cos
𝑤𝑡
+
𝐵
sin
𝑤𝑡
)
Solusi partikuler tidak boleh muncul
pada solusi homogennya jika hal ini
terjadi, kalikan solusi khusus
partikuler pada table dengan factor
𝑡 menyesuaikan dengan solusi yang
tidak dimuat pada solusi
homogennya.
Metode Koefisien Variasi Parameter
(Matriks Cramer)
Solusi partikuler disesuaikan dengan
solusi homogennya, misalkan
𝑦(𝑡)=𝑐𝑦(𝑡)+𝑐𝑦(𝑡)+..+𝑐𝑦(𝑡)
Kemudian misalkan solusi partikuler dari
persamaan diatas
𝑌(𝑡)=𝑢(𝑡)𝑦(𝑡)+𝑢(𝑡)𝑦(𝑡)++𝑢(𝑡)𝑦(𝑡)
Dengan 𝑢󰆒𝑦++𝑢
󰆒𝑦 = 0
𝑢󰆒𝑦󰆒++𝑢
󰆒𝑦󰆒󰆒 = 0
𝑢󰆒𝑦󰆒󰆒++𝑢
󰆒𝑦󰆒󰆒 = 0
.
.
𝑢󰆒𝑦()++𝑢
󰆒𝑦()=𝑔
pf2

Partial preview of the text

Download Kalkulus - PD Orde ke N and more Summaries Calculus in PDF only on Docsity!

PD ORDE-N KOEFISIEN KONSTAN @ATHARIHAFIZH

PD ORDE-N KOEFISIEN KONSTAN

 PD ORDE Homogen_

Bentuk umum :

𝒏

𝒏

𝟏

𝒏 ି𝟏

𝒏ି 𝟏

𝒏

atau

(௡)

(௡ିଵ )

Persamaan diferensial diatas dapat

diselesaikan dengan mensubtitusikan 𝑦 = 𝑒

௥௧

ke persamaan (𝑖𝑖) sehingga diperoleh

௥௧

௡ିଵ

௡ିଵ

Dari persamaan yang diperoleh, dapat

ditemukan suatu polinom karakteristik yaitu

௡ିଵ

௡ିଵ

Jika akar-akar persamaan polinom tersebut

adalah 𝑟 ଵ

maka terdapat

beberapa kondisi yaitu :

Jika 𝒓

𝟏

𝟐

𝟑

𝒏

merupakan akar

real yang berbeda

Maka solusi umumnya adalah

Jika 𝒓

𝟏

𝟐

𝟑

𝒏

merupakan akar

kompleks

Misal ,

Dengan,

Maka solusi umumnya adalah

௨௧

cos 𝑤𝑡 + 𝐶

௨௧

sin 𝑤𝑡

Jika 𝒓

𝟏

𝟐

𝟑

𝒏

merupakan akar

kompleks

Ketika mempunyai akar real 𝑟

berulang

sebanyak 𝑆 maka solusi umumnya menjadi:

௦ିଵ

Ketika mempunyai akar kompleks 𝑢 ± 𝑤𝑖

berulang sebanyak 𝑆 maka solusi

umumnya menjadi:

௨௧

cos 𝑤𝑡 + 𝐶

sin 𝑤𝑡

𝑡 cos 𝑤𝑡

𝑡 sin 𝑤𝑡 + …

ଶ௦ିଵ

௦ିଵ

sin 𝑤𝑡

ଶ௦

௦ିଵ

cos 𝑤𝑡

 PD Orden-N nonHomogen_

Bentuk umum

(௡)

(௡ିଵ )

Dalam menyelesaikan pd homogen temukan

terlebih dahulu penyelesaian homogen-nya

[

)]

kemudian selesaikan 𝑔

dengan

mencari Solusi partikulernya 𝑌(𝑡)

Metode Koefisien Tak tentu

Solusi partikuler disesuaikan dengan

fungsi 𝑔(𝑡) sebagai berikut

௠௧

௠௧

௡ି ଵ

௡ି ଵ

sin 𝑤𝑡 𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝐵 sin 𝑤𝑡

cos 𝑤𝑡 𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝐵 sin 𝑤𝑡

௨௧

sin 𝑤𝑡 𝑒

௨௧

(𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝐵 sin 𝑤𝑡 )

௨௧

cos 𝑤𝑡 𝑒

௨௧

(𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝐵 sin 𝑤𝑡)

Solusi partikuler tidak boleh muncul

pada solusi homogennya jika hal ini

terjadi, kalikan solusi khusus

partikuler pada table dengan factor

menyesuaikan dengan solusi yang

tidak dimuat pada solusi

homogennya.

Metode Koefisien Variasi Parameter

(Matriks Cramer)

Solusi partikuler disesuaikan dengan

solusi homogennya, misalkan

Kemudian misalkan solusi partikuler dari

persamaan diatas

Dengan

ᇱᇱ

ᇱᇱ

(௡ିଵ )

(௡ିଵ )

PD ORDE-N KOEFISIEN KONSTAN @ATHARIHAFIZH

PD ORDE-N KOEFISIEN KONSTAN

Dengan aturan Cramer didapatkan

Dan

(௡ିଵ )

(௡ିଵ )

(௡ିଵ )

Dengan 𝑤

adalah determinan mengganti kolom ke-

k pada 𝑊(𝑡) dengan vector kolom (0, 0, …, 1)

Contoh :

(௡ିଵ )

(௡ିଵ )

Maka solusi partikuler dapat diperoleh dengan

௧ బ

௞ୀଵ