

Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community for help and clear up your study doubts
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
Persamaan Diferensial (PD) adalah suatu persamaan yang memuat turunan fungsi dari satu atau lebih peubah tak bebas terhadap satu atau lebih peubah bebas.
Typology: Summaries
1 / 2
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
PD ORDE-N KOEFISIEN KONSTAN @ATHARIHAFIZH
Bentuk umum :
𝒏
𝒏
𝟏
𝒏 ି𝟏
𝒏ି 𝟏
𝒏
atau
()
ଵ
(ିଵ )
Persamaan diferensial diatas dapat
diselesaikan dengan mensubtitusikan 𝑦 = 𝑒
௧
ke persamaan (𝑖𝑖) sehingga diperoleh
௧
ଵ
ିଵ
ିଵ
Dari persamaan yang diperoleh, dapat
ditemukan suatu polinom karakteristik yaitu
ଵ
ିଵ
ିଵ
ଵ
ଶ
Jika akar-akar persamaan polinom tersebut
adalah 𝑟 ଵ
ଶ
ଷ
maka terdapat
beberapa kondisi yaitu :
Jika 𝒓
𝟏
𝟐
𝟑
𝒏
merupakan akar
real yang berbeda
Maka solusi umumnya adalah
ଵ
భ
௧
ଶ
మ
௧
௧
Jika 𝒓
𝟏
𝟐
𝟑
𝒏
merupakan akar
kompleks
Misal ,
ଵ
ଶ
Dengan,
ଵ
ଶ
Maka solusi umumnya adalah
ଵ
௨௧
cos 𝑤𝑡 + 𝐶
ଶ
௨௧
sin 𝑤𝑡
Jika 𝒓
𝟏
𝟐
𝟑
𝒏
merupakan akar
kompleks
Ketika mempunyai akar real 𝑟
berulang
sebanyak 𝑆 maka solusi umumnya menjadi:
ଵ
௧
ଶ
௧
௦
௦ିଵ
௧
Ketika mempunyai akar kompleks 𝑢 ± 𝑤𝑖
berulang sebanyak 𝑆 maka solusi
umumnya menjadi:
௨௧
ଵ
cos 𝑤𝑡 + 𝐶
ଶ
sin 𝑤𝑡
ଷ
𝑡 cos 𝑤𝑡
ସ
𝑡 sin 𝑤𝑡 + …
ଶ௦ିଵ
௦ିଵ
sin 𝑤𝑡
ଶ௦
௦ିଵ
cos 𝑤𝑡
Bentuk umum
()
ଵ
(ିଵ )
Dalam menyelesaikan pd homogen temukan
terlebih dahulu penyelesaian homogen-nya
kemudian selesaikan 𝑔
dengan
mencari Solusi partikulernya 𝑌(𝑡)
Metode Koefisien Tak tentu
Solusi partikuler disesuaikan dengan
fungsi 𝑔(𝑡) sebagai berikut
௧
௧
ି ଵ
ି ଵ
ଵ
sin 𝑤𝑡 𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝐵 sin 𝑤𝑡
cos 𝑤𝑡 𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝐵 sin 𝑤𝑡
௨௧
sin 𝑤𝑡 𝑒
௨௧
(𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝐵 sin 𝑤𝑡 )
௨௧
cos 𝑤𝑡 𝑒
௨௧
(𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝐵 sin 𝑤𝑡)
Solusi partikuler tidak boleh muncul
pada solusi homogennya jika hal ini
terjadi, kalikan solusi khusus
partikuler pada table dengan factor
menyesuaikan dengan solusi yang
tidak dimuat pada solusi
homogennya.
Metode Koefisien Variasi Parameter
(Matriks Cramer)
Solusi partikuler disesuaikan dengan
solusi homogennya, misalkan
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
Kemudian misalkan solusi partikuler dari
persamaan diatas
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
Dengan
ଵ
ᇱ
ଵ
ᇱ
ଵ
ᇱ
ଵ
ᇱ
ᇱ
ᇱ
ᇱ
ଵ
ᇱ
ଵ
ᇱᇱ
ᇱ
ᇱᇱ
ଵ
ᇱ
ଵ
(ିଵ )
ᇱ
(ିଵ )
PD ORDE-N KOEFISIEN KONSTAN @ATHARIHAFIZH
Dengan aturan Cramer didapatkan
ᇱ
Dan
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
(ିଵ )
ଶ
(ିଵ )
(ିଵ )
Dengan 𝑤
adalah determinan mengganti kolom ke-
k pada 𝑊(𝑡) dengan vector kolom (0, 0, …, 1)
Contoh :
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
(ିଵ )
(ିଵ )
Maka solusi partikuler dapat diperoleh dengan
௦
௧
௧ బ
ୀଵ