PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
@ATHARIHAFIZH
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
PD Linear_
Bentuk umum
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
Maka diperoleh factor integrasi
𝑈 = 𝑒∫()
Sehingga diperoleh penyelesaian
𝑦𝑈 = 𝑄𝑈 𝑑𝑥 + 𝐶
Contoh soal 𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝑦
𝑥= 𝑥
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ
𝑑𝑦
𝑑𝑥 +1
𝑥𝑦 = 𝑥
𝑃(𝑥)=1
𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑄(𝑥)= 𝑥
𝑈 = 𝑒∫() = 𝑒∫
𝑈 = 𝑒
𝑈 = 𝑥
𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ
𝑦𝑈 = 𝑄𝑈 𝑑𝑥 + 𝐶
𝑦(𝑥)= 𝑥(𝑥)𝑑𝑥+𝐶
𝑦𝑥 = 𝑥
4+𝐶
𝑦 = 𝑥
4+𝐶
𝑥
PD Bernouli_
Bentuk Umum :
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑦𝑄(𝑥)
Cara penyelesaian
𝑧 = 1
𝑦
Ubah kedalam bentuk PD linear
𝑑𝑧
𝑑𝑥−𝑓(𝑥)𝑧 = 𝑔(𝑥)
Maka diperoleh foktor integrasi
𝑈 = 𝑒∫()
Sehingga diperoleh
𝑧𝑈 = 𝑔𝑈 𝑑𝑥 + 𝐶
Contoh soal :
2𝑥𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥−𝑦= 𝑥
𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖
𝑑𝑦
𝑑𝑥 −1
2𝑥 𝑦 = 1
2𝑥𝑦
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ
𝑃(𝑥)= − 1
2𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑄(𝑥)=1
2𝑥
𝑧 = 1
𝑦 =1
𝑦 = 𝑦 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑦 = √𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑧 =1
2√𝑧
Maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑧 ×𝑑𝑧
𝑑𝑥 =1
2√𝑧 𝑑𝑧
𝑑𝑥
Sehingga Persamaan dapat kita ubah
menjadi 𝑑𝑦
𝑑𝑥 −1
2𝑥 𝑦 = 1
2𝑥𝑦
1
2√𝑧 𝑑𝑧
𝑑𝑥−1
2𝑥 √𝑧 = 1
2𝑥( 1
√𝑧)
𝑘𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 2√𝑧 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ
𝑑𝑧
𝑑𝑥−1
𝑥𝑧 = 𝑥 (𝑃𝐷 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟)
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑓(𝑥)= − 1
𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥)= 𝑥
𝑈 = 𝑒∫() = 𝑒∫
= 𝑒 = 𝑒
𝑈 = 𝑥 =1
𝑥
Maka persamanan menjadi
𝑧𝑈 = 𝑔𝑈 𝑑𝑥 + 𝐶
𝑧1
𝑥= 𝑥 1
𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
𝑧 = 𝑥+ 𝐶𝑥
Subtitusikan hasil z ke 𝑦 = √𝑧
𝑦 = 𝑥+𝐶𝑥
PD Riccati_
Bentuk umum
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑃(𝑥)𝑦+𝑄(𝑥)𝑦+𝑅(𝑥)
Cara Penyelesaian
1. Ambil satu penyelesaian particular
𝑦= 𝑢(𝑥)
2. Subtitusikan penyelesaian kedalam
persamaan
𝑦 = 𝑢 + 1
𝑧
