Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

Kalkulus - Integral Lipat Tiga, Summaries of Calculus

Integral lipat tiga adalah integral untuk fungsi tiga peubah. biasa digunakan untuk mengitung volume dibawah suatu luasan.

Typology: Summaries

2021/2022

Available from 10/09/2022

thor.athari
thor.athari ๐Ÿ‡ฎ๐Ÿ‡ฉ

6 documents

1 / 2

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
๎˜ƒ
INTEGRAL LIPAT @ATHARIHAFIZH
๎˜ƒ
INTEGRAL LIPAT TIGA
๏‚ท Integral Lipat Tiga Atas Dalam
Koordinat Kartesius_
Integral Lipat Tiga Pada Balok
Jika sebuah fungsi ๐‘“ terintegralkan
pada sebuah balok ๐‘†๏Œ
๓ฐ‡ ๓ฐ‡›๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง๓ฐ‡œ ; ๐‘Ž๏‘๐‘ฅ๏‘๐‘;๐‘๏‘๐‘ฆ๏‘
๐‘‘ ; ๐‘’๏‘๐‘ง๏‘๐‘“;๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“ ๐œ– ๐‘…๓ฐ‡ž
maka integral fungsi ๐‘“ terhadap
bangun ๐‘† didefinisikan sebagai :
๏Žธ๐‘“๓ฐ‡›๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง๓ฐ‡œ๐‘‘๐‘‰
๏‡Œ
๏Œ ๏Žฑ๏Žฑ๏Žฑ
๐‘“
๓ฐ‡›
๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
๓ฐ‡œ
๐‘‘๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฆ
๐‘
๐‘Ž
๐‘‘
๐‘
๏‡™
๏‡˜
๐‘‘๐‘ง
Posisi dx dy dz dapat dirubah sesuai
selera ๐Ÿ˜Š(batas integral mengikuti).
Integral Lipat Tiga Pada Bangun
Sembarang
Jika sebuah fungsi ๐‘“ terintegralkan
pada sebuah balok ๐‘…๏Œ
๓ฐ‡ ๓ฐ‡›๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง๓ฐ‡œ ; ๐‘Ž๏‘๐‘ฅ๏‘๐‘;๐›ฟ
๏„ต
๓ฐ‡›๐‘ฅ๓ฐ‡œ ๏‘ ๐‘ฆ ๏‘
๐›ฟ
๏„ถ
๓ฐ‡›๐‘ฅ๓ฐ‡œ;๐›พ
๏„ต
๓ฐ‡›๐‘ฅ,๐‘ฆ๓ฐ‡œ๏‘๐‘ง๏‘ ๐›พ
๏„ถ
๓ฐ‡›๐‘ฅ,๐‘ฆ๓ฐ‡œ
;๐‘Ž,๐‘,๐œ– ๐‘…๓ฐ‡ž maka integral fungsi
๐‘“ terhadap bangun ๐‘… didefinisikan
sebagai :
๏Žธ๐‘“๓ฐ‡›๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง๓ฐ‡œ๐‘‘๐‘‰
๏‡‹
๏Œ ๏Žฑ๏Žฑ ๏Žฑ
๐‘“
๓ฐ‡›
๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
๓ฐ‡œ
๐‘‘๐‘ง ๐‘‘๐‘ฆ
๐›พ
2
๓ฐ‡›๐‘ฅ,๐‘ฆ๓ฐ‡œ
๐›พ
1
๓ฐ‡›๐‘ฅ,๐‘ฆ๓ฐ‡œ
๐›ฟ
2
๓ฐ‡›๐‘ฅ๓ฐ‡œ
๐›ฟ
1
๓ฐ‡›๐‘ฅ๓ฐ‡œ
๏‡•
๏‡”
๐‘‘๐‘ฅ
Posisi dx dy dz ditentukan dengan jumlah
variable dalam 1 fungsi. Fungsi dengan
variable terbanyak diletakan di paling
dalam, urutannya selanjutnya mengikuti.
๏‚ท Integral Lipat Dalam Koordinat
Tabung_
Dengan, ๐‘ฅ๏Œ๐‘Ÿcos ๐œƒ
๐‘ฆ๏Œ๐‘Ÿsin ๐œƒ
๐‘Ÿ
๏„ถ
๏Œ๐‘ฅ
๏„ถ
๏…๐‘ฆ
๏„ถ
tan ๐œƒ๏Œ๐‘ฆ
๐‘ฅ
๐‘Ÿ๏’0 ๐‘‘๐‘Ž๐‘› 0 ๏‘๐œƒ๏‘2๐œ‹
Koordinat tabung umumnya digunakan dalam
menghitung volume benda pejal yang punya
simetri.
Dari subtitusi persamaan-persamaan diatas
diperoleh integral lipat 3 dalam koordinat
tabung didefinisikan sebagai :
๏Žธ๐‘“๓ฐ‡›๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง๓ฐ‡œ๐‘‘๐‘‰
๏‡Œ
๏Œ ๏Žธ๐‘“๓ฐ‡›๐‘Ÿcos ๐œƒ,๐‘Ÿsin ๐œƒ,๐‘ง๓ฐ‡œ ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘Ÿ ๐‘‘๐œƒ ๐‘‘๐‘ง
๏‡Œ
Posisi ๐‘‘๐‘Ÿ ๐‘‘๐œƒ ๐‘‘๐‘ง ditentukan dengan jumlah
variable dalam 1 fungsi. Fungsi dengan
variable terbanyak diletakan di paling dalam,
urutannya selanjutnya mengikuti.
Sebagai contoh :
Jika sebuah fungsi ๐‘“ terintegralkan pada
sebuah balok ๐‘…๏Œ๓ฐ‡ ๓ฐ‡›๐‘Ÿ๐‘๐‘œ๐‘  ๐œƒ,๐‘Ÿsin ๐œƒ,๐‘ง๓ฐ‡œ ; ๐‘Ž๏‘
๐œƒ๏‘๐‘;๐›ฟ
๏„ต
๓ฐ‡›๐œƒ๓ฐ‡œ ๏‘ ๐‘Ÿ ๏‘ ๐›ฟ
๏„ถ
๓ฐ‡›๐œƒ๓ฐ‡œ; ๐›พ
๏„ต
๓ฐ‡›๐‘Ÿ,๐œƒ๓ฐ‡œ๏‘๐‘ง๏‘
๐›พ
๏„ถ
๓ฐ‡›๐‘Ÿ,๐œƒ๓ฐ‡œ ; ๐‘Ž,๐‘,๐œ– ๐‘…๓ฐ‡ž maka integral ๐‘“ terhadap
bangun R adalah
๏Žธ๐‘“๓ฐ‡›๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง๓ฐ‡œ๐‘‘๐‘‰
๏‡‹
๏Œ ๏Žฑ๏Žฑ ๏Žฑ
๐‘“
๓ฐ‡›
๐‘Ÿcos ๐œƒ,๐‘Ÿsin ๐œƒ,๐‘ง
๓ฐ‡œ
๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘ง ๐‘‘๐‘Ÿ
๐›พ
2
๓ฐ‡›๐‘Ÿ,๐œƒ๓ฐ‡œ
๐›พ
1
๓ฐ‡›๐‘Ÿ,๐œƒ๓ฐ‡œ
๐›ฟ
2
๓ฐ‡›๐œƒ๓ฐ‡œ
๐›ฟ
1
๓ฐ‡›๐œƒ๓ฐ‡œ
๏‡•
๏‡”
๐‘‘๐œƒ
pf2

Partial preview of the text

Download Kalkulus - Integral Lipat Tiga and more Summaries Calculus in PDF only on Docsity!

INTEGRAL LIPAT @ATHARIHAFIZH

INTEGRAL LIPAT TIGA

๏‚ท Integral Lipat Tiga Atas Dalam

Koordinat Kartesius_

Integral Lipat Tiga Pada Balok Jika sebuah fungsi ๐‘“ terintegralkan pada sebuah balok ๐‘† เตŒ แˆผ แˆบ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งแˆป ; ๐‘Ž เต‘ ๐‘ฅ เต‘ ๐‘; ๐‘ เต‘ ๐‘ฆ เต‘ ๐‘‘ ; ๐‘’ เต‘ ๐‘ง เต‘ ๐‘“; ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘, ๐‘‘, ๐‘’, ๐‘“ ๐œ– ๐‘…แˆฝ maka integral fungsi ๐‘“ terhadap bangun ๐‘† didefinisikan sebagai :

เถธ ๐‘“แˆบ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งแˆป๐‘‘๐‘‰ เฏŒ

เตŒ เถฑ เถฑ เถฑ ๐‘“ แˆบ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘ง แˆป ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฆ

๐‘

๐‘Ž

๐‘‘

๐‘

เฏ™

เฏ˜

๐‘‘๐‘ง

Posisi dx dy dz dapat dirubah sesuai selera ๐Ÿ˜Š(batas integral mengikuti).

Integral Lipat Tiga Pada Bangun Sembarang Jika sebuah fungsi ๐‘“ terintegralkan pada sebuah balok ๐‘… เตŒ แˆผ แˆบ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งแˆป^ ; ๐‘Ž เต‘ ๐‘ฅ เต‘ ๐‘; ๐›ฟเฌต แˆบ๐‘ฅแˆป เต‘ ๐‘ฆ เต‘ ๐›ฟเฌถ แˆบ๐‘ฅแˆป; ๐›พเฌต แˆบ๐‘ฅ, ๐‘ฆแˆป เต‘ ๐‘ง เต‘ ๐›พเฌถ แˆบ๐‘ฅ, ๐‘ฆแˆป ; ๐‘Ž, ๐‘, ๐œ– ๐‘…แˆฝ maka integral fungsi ๐‘“ terhadap bangun ๐‘… didefinisikan sebagai :

เถธ ๐‘“แˆบ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งแˆป๐‘‘๐‘‰ เฏ‹

เตŒ (^) เถฑ เถฑ เถฑ ๐‘“ แˆบ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘ง แˆป ๐‘‘๐‘ง ๐‘‘๐‘ฆ

๐›พ 2 แˆบ๐‘ฅ,๐‘ฆแˆป

๐›พ 1 แˆบ๐‘ฅ,๐‘ฆแˆป

๐›ฟ 2 แˆบ๐‘ฅแˆป

๐›ฟ 1 แˆบ๐‘ฅแˆป

เฏ•

เฏ”

๐‘‘๐‘ฅ

Posisi dx dy dz ditentukan dengan jumlah variable dalam 1 fungsi. Fungsi dengan variable terbanyak diletakan di paling dalam, urutannya selanjutnya mengikuti.

๏‚ท Integral Lipat Dalam Koordinat

Tabung_

Dengan, ๐‘ฅ เตŒ ๐‘Ÿ cos ๐œƒ ๐‘ฆ เตŒ ๐‘Ÿ sin ๐œƒ ๐‘Ÿ เฌถ^ เตŒ ๐‘ฅ เฌถ^ เต… ๐‘ฆ เฌถ tan ๐œƒ เตŒ

Koordinat tabung umumnya digunakan dalam menghitung volume benda pejal yang punya simetri. Dari subtitusi persamaan-persamaan diatas diperoleh integral lipat 3 dalam koordinat tabung didefinisikan sebagai :

เถธ ๐‘“แˆบ๐‘ฅ,^ ๐‘ฆ,^ ๐‘งแˆป๐‘‘๐‘‰ เฏŒ เตŒ เถธ ๐‘“แˆบ๐‘Ÿ cos ๐œƒ , ๐‘Ÿ sin ๐œƒ , ๐‘งแˆป ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘Ÿ ๐‘‘๐œƒ ๐‘‘๐‘ง เฏŒ Posisi ๐‘‘๐‘Ÿ ๐‘‘๐œƒ ๐‘‘๐‘ง ditentukan dengan jumlah variable dalam 1 fungsi. Fungsi dengan variable terbanyak diletakan di paling dalam, urutannya selanjutnya mengikuti.

Sebagai contoh : Jika sebuah fungsi ๐‘“ terintegralkan pada sebuah balok ๐‘… เตŒ แˆผ แˆบ๐‘Ÿ๐‘๐‘œ๐‘  ๐œƒ, ๐‘Ÿ sin ๐œƒ , ๐‘งแˆป ; ๐‘Ž เต‘ ๐œƒ เต‘ ๐‘; ๐›ฟเฌต แˆบ๐œƒแˆป เต‘ ๐‘Ÿ เต‘ ๐›ฟเฌถ แˆบ๐œƒแˆป; ๐›พเฌต แˆบ๐‘Ÿ, ๐œƒแˆป เต‘ ๐‘ง เต‘ ๐›พเฌถ แˆบ๐‘Ÿ, ๐œƒแˆป ; ๐‘Ž, ๐‘, ๐œ– ๐‘…แˆฝ maka integral ๐‘“ terhadap bangun R adalah

เถธ ๐‘“แˆบ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งแˆป๐‘‘๐‘‰ เฏ‹

เตŒ (^) เถฑ เถฑ เถฑ ๐‘“ แˆบ๐‘Ÿ cos ๐œƒ , ๐‘Ÿ sin ๐œƒ , ๐‘ง แˆป ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘ง ๐‘‘๐‘Ÿ

๐›พ 2 แˆบ๐‘Ÿ,๐œƒแˆป

๐›พ 1 แˆบ๐‘Ÿ,๐œƒแˆป

๐›ฟ 2 แˆบ๐œƒแˆป

๐›ฟ 1 แˆบ๐œƒแˆป

เฏ•

เฏ”

๐‘‘๐œƒ

INTEGRAL LIPAT @ATHARIHAFIZH

INTEGRAL LIPAT TIGA

๏‚ท Integral Lipat Tiga dalam Koordinat

Bola_

Dengan: ๐‘Ÿ เตŒ ๐œŒ sin ๐œ™ ๐‘ง เตŒ ๐œŒ cos ๐œ™ ๐‘ฅ เตŒ ๐‘Ÿ cos ๐œƒ เตŒ ๐œŒ sin ๐œ™ cos ๐œƒ ๐‘ฆ เตŒ ๐‘Ÿ sin ๐œƒ เตŒ ๐œŒ sin ๐œ™ sin ๐œƒ ๐‘ฅ เฌถ^ เต… ๐‘ฆ เฌถ^ เต… ๐‘ง เฌถ^ เตŒ ๐œŒ เฌถ ๐œŒ เต’ 0 , 0 เต‘ ๐œƒ เต‘ 2 ๐œ‹, ๐‘‘๐‘Ž๐‘› 0 เต‘ ๐œ™ เต‘ 2 ๐œ‹

Jika koordinat tabung digunakan dalam menghitung volume benda pejal yang memiliki sumbu simetri. Koordinat bola digunakan untuk menghitung volume benda pejal yang simetri terhadap satu titik.

เถธ ๐‘“แˆบ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งแˆป๐‘‘๐‘‰ เฎป

เตŒ เถธ ๐‘“แˆบ๐œŒ sin ๐œ™ cos ๐œƒ , ๐œŒ sin ๐œ™ ๐‘ ๐‘–๐‘›๐œƒ , ๐œŒ cos ๐œ™แˆป^ ๐œŒ เฌถ^ sin ๐œ™ ๐‘‘๐œŒ ๐‘‘๐œƒ ๐‘‘๐œ™ เฎป