Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

Kalkulus-Integral Lipat Dua, Summaries of Calculus

integral lipat (integral berulang atau integral ganda) itu adalah integral untuk fungsi lebih dari dua peubah.

Typology: Summaries

2021/2022

Available from 10/09/2022

thor.athari
thor.athari 🇮🇩

6 documents

1 / 2

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
INTEGRAL LIPAT @ATHARIHAFIZH
INTEGRAL LIPAT DUA
Integral Lipat Dua Atas Daerah
Persegi Panjang_
Jika sebuah fungsi 𝑓 terintegralkan pada
persegi panjang 𝑆󰇝󰇛𝑥,𝑦󰇜;𝑎𝑥𝑏,𝑐
𝑦𝑑;𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 𝜖 𝑅󰇞󰇟𝑎,𝑏󰇠󰇟𝑐,𝑑󰇠 maka
integral lipat dua dari 𝑓 pada 𝑆 dapat
dihitung sebagai integral berulang :
𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴 𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜 𝑑𝑥 𝑑𝑦
Atau
𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴 𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Terdapat beberapa sifat integral lipat dua
Linear
𝐶
𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴 𝐶 𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴
Dan,
𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜 𝑔󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴
𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴 𝑔󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴
Aditif
Jika 𝐶𝐷∪𝐸, maka
𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴
𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴 𝑔󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴
Monoton
Jika 𝐶𝐷∪𝐸
𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴
𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴 𝑔󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴
Integral Lipat Dua Atas Daerah
BUKAN Persegi Panjang_
Dalam menghitung integral 𝑓 terhadap
daerah 𝑆 yang bukan persegi, dibagi menjadi
2 perhitungan berdasarkan jenis daerah 𝑆
Daerah S sebagai “X-Simple”
Daerah-S disebut
sebagai “X-simple” jika S
dapat dituliskan sebagai
𝑆󰇝󰇛𝑥,𝑦󰇜;𝑔󰇛𝑥󰇜𝑥𝑔
󰇛𝑥󰇜,𝑐𝑦
𝑑 ; 𝑐,𝑑𝜖𝑅󰇞
Dengan 𝑔󰇛𝑥󰇜 dan 𝑔󰇛𝑥󰇜
kontinu, maka diperoleh
𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴 𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜 𝑑𝑥 𝑑𝑦
󰇛󰇜
󰇛󰇜
Daerah S sebagai “Y-Simple”
Daerah-S disebut sebagai
“Y-simple” jika S dapat
dituliskan sebagai
𝑆󰇝󰇛𝑥,𝑦󰇜;𝑔󰇛𝑦󰇜𝑦𝑔
󰇛𝑦󰇜,𝑎𝑥
𝑏 ; 𝑎,𝑏 𝜖𝑅󰇞
Dengan 𝑔󰇛𝑦󰇜 dan 𝑔󰇛𝑦󰇜
kontinu, maka diperoleh
𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜𝑑𝐴 𝑓󰇛𝑥,𝑦󰇜 𝑑𝑦 𝑑𝑥
󰇛󰇜
󰇛󰇜
Integral Lipat Dua dalam Koordinat
Polar_
Sistem koordinat polar terdiri dari sumbu
polar, yaitu berupa setngah garis yang
berhimpit dengan sumbu y pada bidang
lingkaran (bidang 𝑅
dan titik asal O).
Jika 𝑃𝑃
󰇛𝑟,𝜃󰇜, maka P dapat dinyatakan
dalam koodinat kartesius sebagai 𝑃󰇛𝑥,𝑦󰇜
dengan:
𝑥𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑎𝑛 𝑦𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃
Maka sebaliknya diperoleh
𝑟
𝑥
𝑦
𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑦
𝑥
Jika elemen luas dalam koordinat cartesius
dinyatakan dengan
𝑑𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑦
pf2

Partial preview of the text

Download Kalkulus-Integral Lipat Dua and more Summaries Calculus in PDF only on Docsity!

INTEGRAL LIPAT @ATHARIHAFIZH

INTEGRAL LIPAT DUA

 Integral Lipat Dua Atas Daerah

Persegi Panjang_

Jika sebuah fungsi 𝑓 terintegralkan pada persegi panjang 𝑆 ൌ ሼሺ𝑥, 𝑦ሻ; 𝑎 ൑ 𝑥 ൑ 𝑏, 𝑐 ൑ 𝑦 ൑ 𝑑; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝜖 𝑅ሽ ൌ ሾ𝑎, 𝑏ሿ ൈ ሾ𝑐, 𝑑ሿ maka integral lipat dua dari 𝑓 pada 𝑆 dapat dihitung sebagai integral berulang :

ௌ ௖ Atau

ඵ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ൌ න න 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ^ 𝑑𝑦 𝑑𝑥

ௌ ௔

Terdapat beberapa sifat integral lipat dua Linear

ඵ 𝐶 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ൌ 𝐶 ඵ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ௌ ௌ Dan,

ඵ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ േ 𝑔ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ௌ ൌ ඵ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 േ ඵ 𝑔ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ௌ ௌ Aditif Jika 𝐶 ൌ 𝐷 ∪ 𝐸, maka

஼ ൌ ඵ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ൅ ඵ 𝑔ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ஽ ா

Monoton Jika 𝐶 ൌ 𝐷 ∪ 𝐸

஼ ൌ ඵ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ൅ ඵ 𝑔ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ஽ ா

 Integral Lipat Dua Atas Daerah

BUKAN Persegi Panjang_

Dalam menghitung integral 𝑓 terhadap daerah 𝑆 yang bukan persegi, dibagi menjadi 2 perhitungan berdasarkan jenis daerah 𝑆

Daerah S sebagai “X-Simple” Daerah-S disebut sebagai “X-simple” jika S dapat dituliskan sebagai 𝑆 ൌ ሼሺ𝑥, 𝑦ሻ; 𝑔ଵ ሺ𝑥ሻ ൑ 𝑥 ൑ 𝑔ଶ ሺ𝑥ሻ, 𝑐 ൑ 𝑦 ൑ 𝑑 ; 𝑐, 𝑑𝜖𝑅ሽ Dengan 𝑔ଵ ሺ𝑥ሻ dan 𝑔ଶ ሺ𝑥ሻ kontinu, maka diperoleh

௚మ ሺ௫ሻ

௚భ ሺ௫ሻ

ௌ ௖

Daerah S sebagai “Y-Simple” Daerah-S disebut sebagai “Y-simple” jika S dapat dituliskan sebagai 𝑆 ൌ ሼሺ𝑥, 𝑦ሻ; 𝑔ଵ ሺ𝑦ሻ ൑ 𝑦 ൑ 𝑔ଶ ሺ𝑦ሻ, 𝑎 ൑ 𝑥 ൑ 𝑏 ; 𝑎, 𝑏 𝜖𝑅ሽ Dengan 𝑔ଵ ሺ𝑦ሻ dan 𝑔ଶ ሺ𝑦ሻ kontinu, maka diperoleh

௚మ ሺ௬ሻ

௚భ ሺ௬ሻ

ௌ ௔

 Integral Lipat Dua dalam Koordinat

Polar_

Sistem koordinat polar terdiri dari sumbu polar, yaitu berupa setngah garis yang berhimpit dengan sumbu y pada bidang lingkaran (bidang 𝑅 ଶdan titik asal O).

Jika 𝑃 ൌ 𝑃ሺ𝑟, 𝜃ሻ, maka P dapat dinyatakan dalam koodinat kartesius sebagai 𝑃ሺ𝑥, 𝑦ሻ dengan: 𝑥 ൌ 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ൌ 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 Maka sebaliknya diperoleh 𝑟 ଶ^ ൌ 𝑥 ଶ^ ൅ 𝑦 ଶ^ 𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛𝜃 ൌ

Jika elemen luas dalam koordinat cartesius dinyatakan dengan 𝑑𝐴 ൌ 𝑑𝑥 𝑑𝑦

INTEGRAL LIPAT @ATHARIHAFIZH

INTEGRAL LIPAT DUA

Maka, elemen luas dalam koordinat polar dinyatakan dengan 𝑑𝐴 ൌ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 Dengan mengsubtitusikan sumbu cartesius dengan sumbu polar, integral lipat dua dalam koordinat polar dinyatakan sebagai

ඵ 𝑓 𝑥ሺ ,^ 𝑦ሻ𝑑𝐴 ൌ ඵ 𝑓ሺ𝑟^ 𝑐𝑜𝑠𝜃,^ 𝑟^ 𝑠𝑖𝑛𝜃ሻ^ 𝑟^ 𝑑𝑟^ 𝑑𝜃 ோ ோ

Dengan catatan daerah seperti lingkaran/cincin dalam koordinat polar setara dengan “Persegi Panjang pada koordinat kartesius”