INTEGRAL LIPAT @ATHARIHAFIZH
INTEGRAL LIPAT DUA
Integral Lipat Dua Atas Daerah
Persegi Panjang_
Jika sebuah fungsi 𝑓 terintegralkan pada
persegi panjang 𝑆𝑥,𝑦;𝑎𝑥𝑏,𝑐
𝑦𝑑;𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 𝜖 𝑅𝑎,𝑏𝑐,𝑑 maka
integral lipat dua dari 𝑓 pada 𝑆 dapat
dihitung sebagai integral berulang :
𝑓𝑥,𝑦𝑑𝐴 𝑓𝑥,𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
Atau
𝑓𝑥,𝑦𝑑𝐴 𝑓𝑥,𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Terdapat beberapa sifat integral lipat dua
Linear
𝐶
𝑓𝑥,𝑦𝑑𝐴 𝐶 𝑓𝑥,𝑦𝑑𝐴
Dan,
𝑓𝑥,𝑦 𝑔𝑥,𝑦𝑑𝐴
𝑓𝑥,𝑦𝑑𝐴 𝑔𝑥,𝑦𝑑𝐴
Aditif
Jika 𝐶𝐷∪𝐸, maka
𝑓𝑥,𝑦𝑑𝐴
𝑓𝑥,𝑦𝑑𝐴 𝑔𝑥,𝑦𝑑𝐴
Monoton
Jika 𝐶𝐷∪𝐸
𝑓𝑥,𝑦𝑑𝐴
𝑓𝑥,𝑦𝑑𝐴 𝑔𝑥,𝑦𝑑𝐴
Integral Lipat Dua Atas Daerah
BUKAN Persegi Panjang_
Dalam menghitung integral 𝑓 terhadap
daerah 𝑆 yang bukan persegi, dibagi menjadi
2 perhitungan berdasarkan jenis daerah 𝑆
Daerah S sebagai “X-Simple”
Daerah-S disebut
sebagai “X-simple” jika S
dapat dituliskan sebagai
𝑆𝑥,𝑦;𝑔𝑥𝑥𝑔
𝑥,𝑐𝑦
𝑑 ; 𝑐,𝑑𝜖𝑅
Dengan 𝑔𝑥 dan 𝑔𝑥
kontinu, maka diperoleh
𝑓𝑥,𝑦𝑑𝐴 𝑓𝑥,𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
Daerah S sebagai “Y-Simple”
Daerah-S disebut sebagai
“Y-simple” jika S dapat
dituliskan sebagai
𝑆𝑥,𝑦;𝑔𝑦𝑦𝑔
𝑦,𝑎𝑥
𝑏 ; 𝑎,𝑏 𝜖𝑅
Dengan 𝑔𝑦 dan 𝑔𝑦
kontinu, maka diperoleh
𝑓𝑥,𝑦𝑑𝐴 𝑓𝑥,𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Integral Lipat Dua dalam Koordinat
Polar_
Sistem koordinat polar terdiri dari sumbu
polar, yaitu berupa setngah garis yang
berhimpit dengan sumbu y pada bidang
lingkaran (bidang 𝑅
dan titik asal O).
Jika 𝑃𝑃
𝑟,𝜃, maka P dapat dinyatakan
dalam koodinat kartesius sebagai 𝑃𝑥,𝑦
dengan:
𝑥𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑎𝑛 𝑦𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃
Maka sebaliknya diperoleh
𝑟
𝑥
𝑦
𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑦
𝑥
Jika elemen luas dalam koordinat cartesius
dinyatakan dengan
𝑑𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑦
