

Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community for help and clear up your study doubts
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
integral lipat (integral berulang atau integral ganda) itu adalah integral untuk fungsi lebih dari dua peubah.
Typology: Summaries
1 / 2
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
INTEGRAL LIPAT @ATHARIHAFIZH
Jika sebuah fungsi 𝑓 terintegralkan pada persegi panjang 𝑆 ൌ ሼሺ𝑥, 𝑦ሻ; 𝑎 𝑥 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝜖 𝑅ሽ ൌ ሾ𝑎, 𝑏ሿ ൈ ሾ𝑐, 𝑑ሿ maka integral lipat dua dari 𝑓 pada 𝑆 dapat dihitung sebagai integral berulang :
ௗ
ௌ Atau
ௗ
ௌ
Terdapat beberapa sifat integral lipat dua Linear
ඵ 𝐶 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ൌ 𝐶 ඵ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ௌ ௌ Dan,
ඵ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ േ 𝑔ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ௌ ൌ ඵ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 േ ඵ 𝑔ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ௌ ௌ Aditif Jika 𝐶 ൌ 𝐷 ∪ 𝐸, maka
ൌ ඵ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ඵ 𝑔ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ா
Monoton Jika 𝐶 ൌ 𝐷 ∪ 𝐸
ൌ ඵ 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ඵ 𝑔ሺ𝑥, 𝑦ሻ𝑑𝐴 ா
Dalam menghitung integral 𝑓 terhadap daerah 𝑆 yang bukan persegi, dibagi menjadi 2 perhitungan berdasarkan jenis daerah 𝑆
Daerah S sebagai “X-Simple” Daerah-S disebut sebagai “X-simple” jika S dapat dituliskan sebagai 𝑆 ൌ ሼሺ𝑥, 𝑦ሻ; 𝑔ଵ ሺ𝑥ሻ 𝑥 𝑔ଶ ሺ𝑥ሻ, 𝑐 𝑦 𝑑 ; 𝑐, 𝑑𝜖𝑅ሽ Dengan 𝑔ଵ ሺ𝑥ሻ dan 𝑔ଶ ሺ𝑥ሻ kontinu, maka diperoleh
మ ሺ௫ሻ
భ ሺ௫ሻ
ௗ
ௌ
Daerah S sebagai “Y-Simple” Daerah-S disebut sebagai “Y-simple” jika S dapat dituliskan sebagai 𝑆 ൌ ሼሺ𝑥, 𝑦ሻ; 𝑔ଵ ሺ𝑦ሻ 𝑦 𝑔ଶ ሺ𝑦ሻ, 𝑎 𝑥 𝑏 ; 𝑎, 𝑏 𝜖𝑅ሽ Dengan 𝑔ଵ ሺ𝑦ሻ dan 𝑔ଶ ሺ𝑦ሻ kontinu, maka diperoleh
మ ሺ௬ሻ
భ ሺ௬ሻ
ௌ
Sistem koordinat polar terdiri dari sumbu polar, yaitu berupa setngah garis yang berhimpit dengan sumbu y pada bidang lingkaran (bidang 𝑅 ଶdan titik asal O).
Jika 𝑃 ൌ 𝑃ሺ𝑟, 𝜃ሻ, maka P dapat dinyatakan dalam koodinat kartesius sebagai 𝑃ሺ𝑥, 𝑦ሻ dengan: 𝑥 ൌ 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ൌ 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 Maka sebaliknya diperoleh 𝑟 ଶ^ ൌ 𝑥 ଶ^ 𝑦 ଶ^ 𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛𝜃 ൌ
Jika elemen luas dalam koordinat cartesius dinyatakan dengan 𝑑𝐴 ൌ 𝑑𝑥 𝑑𝑦
INTEGRAL LIPAT @ATHARIHAFIZH
Maka, elemen luas dalam koordinat polar dinyatakan dengan 𝑑𝐴 ൌ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 Dengan mengsubtitusikan sumbu cartesius dengan sumbu polar, integral lipat dua dalam koordinat polar dinyatakan sebagai
ඵ 𝑓 𝑥ሺ ,^ 𝑦ሻ𝑑𝐴 ൌ ඵ 𝑓ሺ𝑟^ 𝑐𝑜𝑠𝜃,^ 𝑟^ 𝑠𝑖𝑛𝜃ሻ^ 𝑟^ 𝑑𝑟^ 𝑑𝜃 ோ ோ
Dengan catatan daerah seperti lingkaran/cincin dalam koordinat polar setara dengan “Persegi Panjang pada koordinat kartesius”