Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

Kalkulus - Bilangan Kompleks, Summaries of Calculus

bilangan kompleks didefinisikan sebagai pasangan terurut dua bilangan real. Namun demikian, ada beberapa penulisan lain yang mempunyai maksud atau arti yang sama dengan pendefinisian tersebut. Arti geometri dari bilangan kompleks dalam beberapa hal dapat dipahami sebagai vektor di bidang.

Typology: Summaries

2021/2022

Available from 10/09/2022

thor.athari
thor.athari šŸ‡®šŸ‡©

6 documents

1 / 2

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1

BILANGAN KOMPLEKS @ATHARIHAFIZH

BILANGAN KOMPLEKS
ļ‚· Bilangan Imajiner_
Bilangan imajiner adalah bilangan yang
dilambangkan dengan sebuah variable ó°‡›š‘–ó°‡œ
dengan definisi š‘–
ļ„¶
ļŒļ†1
Maka diperoleh, š‘–ļŒ āˆšļ†1
Dari implikasi diatas diperoleh konsep š‘–

sebagai berikut:
š‘–ļŒāˆšļ†1 š‘–
ļ„¶
ļŒļ†1 š‘–
ļ„·
ļŒļ†š‘– š‘–

ļŒ1
š‘–

ļŒš‘– š‘–

ļŒļ†1 š‘–
ļ„»
ļŒļ†š‘– š‘–

ļŒ1
Maka penyelesian
š‘–

ļŒš‘–

ļ‹˜ļ‹šļ‹

ļ‚· Bilangan Kompleks_
Bilangan Kompleks adalah bilangan yang
dinyatakan oleh ekspresi bilangan real dan
bilangan imajiner š‘§ļŒš‘„ļ…š‘–š‘¦
Dengan,
X = Bilangan Real [Re(z)]
Y= konstanta imajiner [lm(z)]
š‘–
ļ„¶
ļŒļ†1
Nilai z sebagai bilangan kompleks hanya
memiliki 1 nilai meskipun ada 2 bagian.
š‘§ļŒš‘…š‘’
ó°‡›š‘§ó°‡œļ…š‘– š‘™š‘šó°‡›š‘§ó°‡œ
ļ‚· Operasi Bilangan Kompleks_
Penjumlahan(+)
Jika š‘§

ļŒš‘„

ļ…š‘–š‘¦

dan š‘§
ļ„¶
ļŒš‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
dengan š‘§
ļ„·
ļŒš‘§

ļ…š‘§
ļ„¶
, maka
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„

ļ…š‘„
ļ„¶
ó°‡œļ…š‘–ó°‡›š‘¦

ļ…š‘¦
ļ„¶
󰇜
Pengurangan(-)
Jika š‘§

ļŒš‘„

ļ…š‘–š‘¦

dan š‘§
ļ„¶
ļŒš‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
dengan š‘§
ļ„·
ļŒš‘§

ļ†š‘§
ļ„¶
, maka
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„

ļ†š‘„
ļ„¶
ó°‡œļ…š‘–ó°‡›š‘¦

ļ†š‘¦
ļ„¶
󰇜
Postulat/Persamaan
Jika š‘§

ļŒš‘„

ļ…š‘–š‘¦

dan š‘§
ļ„¶
ļŒš‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
dengan š‘§

ļŒš‘§
ļ„¶
, maka
š‘„

ļŒš‘„
ļ„¶
š‘‘š‘Žš‘› š‘¦

ļŒš‘¦
ļ„¶
Perkalian
Jika š‘§

ļŒš‘„

ļ…š‘–š‘¦

dan š‘§
ļ„¶
ļŒš‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
dengan š‘§
ļ„·
ļŒš‘§

.š‘§
ļ„¶
, maka
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„

ļ…š‘–š‘¦

󰇜.ó°‡›š‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
󰇜
ļŒš‘„

š‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘„

š‘¦
ļ„¶
ļ…š‘–š‘„
ļ„¶
š‘¦

ļ…š‘¦

š‘¦
ļ„¶
š‘–
ļ„¶
ļŒš‘„

š‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘„

š‘¦
ļ„¶
ļ…š‘–š‘„
ļ„¶
š‘¦

ļ†š‘¦

š‘¦
ļ„¶
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„

š‘„
ļ„¶
ļ†š‘¦

š‘¦
ļ„¶
ó°‡œļ…š‘–ó°‡›š‘„

š‘¦
ļ„¶
ļ…š‘„
ļ„¶
š‘¦

󰇜
Konjugasi(š’›
)
Jika š‘§ļŒš‘„ļ…š‘–š‘¦ maka š‘§
ļŒ„ļŒš‘„ļ†š‘–š‘¦
maka diperoleh
š‘§.š‘§īŖ§ļŒš‘§
īŖ§.š‘§ļŒš‘„
ļ„¶
ļ…š‘¦
ļ„¶
Pembagian
Jika š‘§

ļŒš‘„

ļ…š‘–š‘¦

dan š‘§
ļ„¶
ļŒš‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
dengan š‘§
ļ„·
ļŒ




, maka
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„

ļ…š‘–š‘¦

󰇜
ó°‡›š‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
󰇜
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„

ļ…š‘–š‘¦

󰇜
ó°‡›š‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
󰇜 .ó°‡›š‘„
ļ„¶
ļ†š‘–š‘¦
ļ„¶
󰇜
ó°‡›š‘„
ļ„¶
ļ†š‘–š‘¦
ļ„¶
󰇜
š‘§
ļ„·
ļŒš‘„

š‘„
ļ„¶
ļ†š‘–š‘„

š‘¦
ļ„¶
ļ…š‘–š‘„
ļ„¶
š‘¦

ļ…š‘¦

š‘¦
ļ„¶
ó°‡›š‘„
ļ„¶
ļ„¶
ļ…š‘¦
ļ„¶
ļ„¶
󰇜
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„

š‘„
ļ„¶
ļ…š‘¦

š‘¦
ļ„¶
󰇜
ó°‡›š‘„
ļ„¶
ļ„¶
ļ…š‘¦
ļ„¶
ļ„¶
ó°‡œļ…š‘– ó°‡›š‘„
ļ„¶
š‘¦

ļ†š‘„

š‘¦
ļ„¶
󰇜
ó°‡›š‘„
ļ„¶
ļ„¶
ļ…š‘¦
ļ„¶
ļ„¶
󰇜
ļ‚· Analogi Bilangan Kompleks Sebagai
Geometris_
Bilangan Kompleks tidak dapat diekspresikan
seperti bilangan lain dalam bentuk garis
bilangan 1 dimensi saja. Karena memiliki
bilangan imajiner ó°‡›š‘–ó°‡œ yang terdefinisi berbeda
setiap 4 kali pengulangan pangkat bilangan
bulat(berbeda dengan bilangan lain yang
ekspresinya hanya ada berulang 2 kali setiap
pangkat bilangan bulat)
š‘–ļŒāˆšļ†1 š‘–
ļ„¶
ļŒļ†1 š‘–
ļ„·
ļŒļ†š‘– š‘–

ļŒ1
š‘–

ļŒš‘– š‘–

ļŒļ†1 š‘–
ļ„»
ļŒļ†š‘– š‘–

ļŒ1
Maka, bilangan imajiner jika didefinisikan
kedalam geometri diperoleh
pf2

Partial preview of the text

Download Kalkulus - Bilangan Kompleks and more Summaries Calculus in PDF only on Docsity!

BILANGAN KOMPLEKS @ATHARIHAFIZH

BILANGAN KOMPLEKS

ļ‚· Bilangan Imajiner_

Bilangan imajiner adalah bilangan yang dilambangkan dengan sebuah variable įˆŗš‘–įˆ» dengan definisi š‘– ଶ^ ൌ െ 1 Maka diperoleh,

š‘– ൌ āˆšąµ† 1

Dari implikasi diatas diperoleh konsep š‘– ௔ sebagai berikut: š‘– ൌ āˆšąµ† 1 š‘– ଶ^ ൌ െ 1 š‘– ଷ^ ൌ ąµ†š‘– š‘– ସ^ ൌ 1 š‘– ହ^ ൌ š‘– š‘– ଺^ ൌ െ 1 š‘– ଻^ ൌ ąµ†š‘– š‘–ą¬¼ ൌ 1 Maka penyelesian

š‘– ௔^ ൌ š‘– ௔^ ą³˜ą³šą³^ ସ

ļ‚· Bilangan Kompleks_

Bilangan Kompleks adalah bilangan yang dinyatakan oleh ekspresi bilangan real dan bilangan imajiner š‘§ ൌ š‘„ ąµ… š‘–š‘¦ Dengan, X = Bilangan Real [Re(z)] Y= konstanta imajiner [lm(z)] š‘– ଶ^ ൌ െ 1

Nilai z sebagai bilangan kompleks hanya memiliki 1 nilai meskipun ada 2 bagian. š‘§ ൌ š‘…š‘’įˆŗš‘§įˆ» ąµ… š‘– š‘™š‘šįˆŗš‘§įˆ»

ļ‚· Operasi Bilangan Kompleks_

Penjumlahan(+) Jika š‘§ą¬µ ൌ š‘„ą¬µ ąµ… š‘–š‘¦ą¬µ dan š‘§ą¬¶ ൌ š‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘¦ą¬¶ dengan š‘§ą¬· ൌ š‘§ą¬µ ąµ… š‘§ą¬¶, maka š‘§ą¬· ൌ įˆŗš‘„ą¬µ ąµ… š‘„ą¬¶ ሻ ąµ… š‘–įˆŗš‘¦ą¬µ ąµ… š‘¦ą¬¶ ሻ Pengurangan(-) Jika š‘§ą¬µ ൌ š‘„ą¬µ ąµ… š‘–š‘¦ą¬µ dan š‘§ą¬¶ ൌ š‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘¦ą¬¶ dengan š‘§ą¬· ൌ š‘§ą¬µ െ š‘§ą¬¶, maka š‘§ą¬· ൌ įˆŗš‘„ą¬µ െ š‘„ą¬¶ ሻ ąµ… š‘–įˆŗš‘¦ą¬µ െ š‘¦ą¬¶ ሻ Postulat/Persamaan Jika š‘§ą¬µ ൌ š‘„ą¬µ ąµ… š‘–š‘¦ą¬µ dan š‘§ą¬¶ ൌ š‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘¦ą¬¶ dengan š‘§ą¬µ ൌ š‘§ą¬¶, maka š‘„ą¬µ ൌ š‘„ą¬¶ š‘‘š‘Žš‘› š‘¦ą¬µ ൌ š‘¦ą¬¶ Perkalian Jika š‘§ą¬µ ൌ š‘„ą¬µ ąµ… š‘–š‘¦ą¬µ dan š‘§ą¬¶ ൌ š‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘¦ą¬¶ dengan š‘§ą¬· ൌ š‘§ą¬µ. š‘§ą¬¶, maka š‘§ą¬· ൌ įˆŗš‘„ą¬µ ąµ… š‘–š‘¦ą¬µ ሻ. įˆŗš‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘¦ą¬¶ ሻ ൌ š‘„ą¬µ š‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘„ą¬µ š‘¦ą¬¶ ąµ… š‘–š‘„ą¬¶ š‘¦ą¬µ ąµ… š‘¦ą¬µ š‘¦ą¬¶ š‘– ଶ

Konjugasi(š’›ą“¤) Jika š‘§ ൌ š‘„ ąµ… š‘–š‘¦ maka š‘§ą“„ ൌ š‘„ െ š‘–š‘¦ maka diperoleh š‘§. š‘§Ģ… ൌ š‘§Ģ…. š‘§ ൌ š‘„ ଶ^ ąµ… š‘¦ ଶ

Pembagian Jika š‘§ą¬µ ൌ š‘„ą¬µ ąµ… š‘–š‘¦ą¬µ dan š‘§ą¬¶ ൌ š‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘¦ą¬¶ dengan š‘§ą¬· ൌ ௭௭భ ą°®

, maka

š‘§ą¬· ൌ

įˆŗš‘„ą¬¶ą¬¶^ ąµ… š‘¦ą¬¶ą¬¶^ ሻ

įˆŗš‘„ą¬¶ą¬¶^ ąµ… š‘¦ą¬¶ą¬¶^ ሻ

įˆŗš‘„ą¬¶ą¬¶^ ąµ… š‘¦ą¬¶ą¬¶^ ሻ

ļ‚· Analogi Bilangan Kompleks Sebagai

Geometris_

Bilangan Kompleks tidak dapat diekspresikan seperti bilangan lain dalam bentuk garis bilangan 1 dimensi saja. Karena memiliki bilangan imajiner įˆŗš‘–įˆ» yang terdefinisi berbeda setiap 4 kali pengulangan pangkat bilangan bulat(berbeda dengan bilangan lain yang ekspresinya hanya ada berulang 2 kali setiap pangkat bilangan bulat) š‘– ൌ āˆšąµ† 1 š‘– ଶ^ ൌ െ 1 š‘– ଷ^ ൌ ąµ†š‘– š‘– ସ^ ൌ 1 š‘– ହ^ ൌ š‘– š‘– ଺^ ൌ െ 1 š‘– ଻^ ൌ ąµ†š‘– š‘–ą¬¼ ൌ 1 Maka, bilangan imajiner jika didefinisikan kedalam geometri diperoleh

BILANGAN KOMPLEKS @ATHARIHAFIZH

BILANGAN KOMPLEKS

Sehingga Bilangan Kompleks perlu analogi ruang 2 dimensi dengan gerak yang terjadi ketika operasi perkalian nilangan kompleks adalah ā€œrotasiā€

Konsep Penggambaran bilangan kompleks kedalam 2 dimensi dinamakan diagram Argand dengan

š‘Ÿ ଶ^ ൌ š‘„ ଶ^ ąµ… š‘¦ ଶ^ ൌ š‘§. š‘§Ģ… ൌ š‘§Ģ…. š‘§

š‘„ ൌ š‘Ÿ cos šœƒ š‘¦ ൌ š‘Ÿ sin šœƒ š‘”š‘Žš‘›šœƒ ൌ

Sehingga bilangan kompleks dapat didefinisikan sebagai š‘§ ൌ š‘Ÿįˆŗcos šœƒ ąµ… š‘– š‘ š‘–š‘›šœƒįˆ» ൌ š‘Ÿ š¶š‘–š‘† šœƒ Dari sifat bilangan natural diketahui bahwa š‘’ ąÆœą°^ ൌ cos šœƒ ąµ… š‘– sin šœƒ Maka bilangan kompleks dapat dinotasikan menjadi š‘§ ൌ š‘Ÿ š‘’ ąÆœą°

Dari persamaan diatas dapat diperoleh : Jika š‘§ą¬µ ൌ š‘Ÿą¬µ š‘’ ąÆœą°ą°­^ dan š‘§ą¬¶ ൌ š‘Ÿą¬¶ š‘’ ąÆœą°ą°®^ dengan š‘§ą¬· ൌ š‘§ą¬µ. š‘§ą¬¶, maka š‘§ą¬· ൌ š‘Ÿą¬µ š‘Ÿą¬¶ š‘’ ąÆœįˆŗą°ą°­^ ą¬¾ą°ą°®^ ሻ Maka benar bahwa gerak perkalian bilangan kompleks adalah rotasi

ļ‚· Menyederhanakan Bilangan Kompleks_

Jika diperoleh š‘§ ൌ š‘„ ąµ… š‘–š‘¦ maka

šœƒ ൌ arctan

š‘Ÿ ଶ^ ൌ š‘„ ଶ^ ąµ… š‘¦ ଶ

š‘§ ൌ š‘Ÿ š‘’ ąÆœą°^ ൌ š‘Ÿįˆŗcos šœƒ ąµ… š‘– sin šœƒįˆ» Sehingga š‘§ ௔^ ൌ š‘Ÿ ௔^ š‘’ ௜^ ąÆ”ą°^ ൌ š‘Ÿ ௔^ ሺcos š‘›šœƒ ąµ… š‘– sin š‘›šœƒįˆ»

Sebagai contoh

Sederhanakanlah bentuk bilangan kompleks ൫ 1 ąµ… š‘–āˆš 3 ൯

ଵଓ

Penyelesaian š‘šš‘–š‘ š‘Žš‘™š‘˜š‘Žš‘› š‘§ ൌ 1 ąµ… š‘–āˆš 3 š‘šš‘Žš‘˜š‘Ž š‘‘š‘–š‘š‘’š‘Ÿš‘œš‘™š‘’ā„Ž šœƒ ൌ arctan (^) √ 3 ൌ

š‘Ÿ ଶ^ ൌ 1 ଶ^ ąµ… 3 ൌ 4

ą°— ଷ Maka š‘§ ଵଓ^ ൌ 2 ଵଓ^ š‘’ ௜

ଵଓగ ଷ

൫ 1 ąµ… š‘–āˆš 3 ൯

ଵଓ ൌ 2 ଵଓ^ ൬cos

ąµ… š‘– sin

ൌ 1024 ሺcos ቀ 2 šœ‹ ąµ… ସగଷ ቁ ąµ… š‘– sin ቀ 2 šœ‹ ąµ… ସగଷ ቁ ൌ 1024 ቀcos ସగଷ ąµ… š‘– sin ସగଷ ቁ ൌ 1024 įˆŗąµ† ଵଶ ąµ… š‘– െ ଵଶ √ 3 ሻ ൌ െ 512 െ š‘– (^512) √ 3