Docsity
Log inSign up
Docsity
Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity

Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan

Guidelines and tips
Guidelines and tips
Sell on Docsity
Sell on Docsity
Log inSign up

Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity

Find documents

Prepare for your exams with the study notes shared by other students like you on Docsity

Search Store documents

The best documents sold by students who completed their studies

Search through all study resources
Docsity AINEW

Summarize your documents, ask them questions, convert them into quizzes and concept maps

Explore questions

Clear up your doubts by reading the answers to questions asked by your fellow students

Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan

Share documents
download point icon20 Points

For each uploaded document

Answer questions
download point icon5 Points

For each given answer (max 1 per day)

All the ways to get free points
Get points immediately

Choose a premium plan with all the points you need

Study Opportunities

Choose your next study program

Get in touch with the best universities in the world. Search through thousands of universities and official partners

Community

Ask the community

Ask the community for help and clear up your study doubts

University Rankings

Discover the best universities in your country according to Docsity users

Free resources

Our save-the-student-ebooks!

Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors

From our blog

Exams and Study
Go to the blog

Kalkulus - Bilangan Kompleks, Summaries of Calculus

Universitas Airlangga (UA)Calculus

bilangan kompleks didefinisikan sebagai pasangan terurut dua bilangan real. Namun demikian, ada beberapa penulisan lain yang mempunyai maksud atau arti yang sama dengan pendefinisian tersebut. Arti geometri dari bilangan kompleks dalam beberapa hal dapat dipahami sebagai vektor di bidang.

Typology: Summaries

2021/2022

Available from 10/09/2022

thor.athari
thor.athari šŸ‡®šŸ‡©

6 documents

1 / 2

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
ī˜ƒ
BILANGAN KOMPLEKS @ATHARIHAFIZH
ī˜ƒ
BILANGAN KOMPLEKS
ļ‚· Bilangan Imajiner_
Bilangan imajiner adalah bilangan yang
dilambangkan dengan sebuah variable 󰇛š‘–󰇜
dengan definisi š‘–
ļ„¶
ļŒļ†1
Maka diperoleh, š‘–ļŒ āˆšļ†1
Dari implikasi diatas diperoleh konsep š‘–
ļ‡”
sebagai berikut:
š‘–ļŒāˆšļ†1 š‘–
ļ„¶
ļŒļ†1 š‘–
ļ„·
ļŒļ†š‘– š‘–
ļ„ø
ļŒ1
š‘–
ļ„¹
ļŒš‘– š‘–
ļ„ŗ
ļŒļ†1 š‘–
ļ„»
ļŒļ†š‘– š‘–
ļ„¼
ļŒ1
Maka penyelesian
š‘–
ļ‡”
ļŒš‘–
ļ‡”
ļ‹˜ļ‹šļ‹
ļ„ø
ļ‚· Bilangan Kompleks_
Bilangan Kompleks adalah bilangan yang
dinyatakan oleh ekspresi bilangan real dan
bilangan imajiner š‘§ļŒš‘„ļ…š‘–š‘¦
Dengan,
X = Bilangan Real [Re(z)]
Y= konstanta imajiner [lm(z)]
š‘–
ļ„¶
ļŒļ†1
Nilai z sebagai bilangan kompleks hanya
memiliki 1 nilai meskipun ada 2 bagian.
š‘§ļŒš‘…š‘’
󰇛š‘§ó°‡œļ…š‘– š‘™š‘šó°‡›š‘§ó°‡œ
ļ‚· Operasi Bilangan Kompleks_
Penjumlahan(+)
Jika š‘§
ļ„µ
ļŒš‘„
ļ„µ
ļ…š‘–š‘¦
ļ„µ
dan š‘§
ļ„¶
ļŒš‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
dengan š‘§
ļ„·
ļŒš‘§
ļ„µ
ļ…š‘§
ļ„¶
, maka
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„
ļ„µ
ļ…š‘„
ļ„¶
󰇜ļ…š‘–󰇛š‘¦
ļ„µ
ļ…š‘¦
ļ„¶
󰇜
Pengurangan(-)
Jika š‘§
ļ„µ
ļŒš‘„
ļ„µ
ļ…š‘–š‘¦
ļ„µ
dan š‘§
ļ„¶
ļŒš‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
dengan š‘§
ļ„·
ļŒš‘§
ļ„µ
ļ†š‘§
ļ„¶
, maka
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„
ļ„µ
ļ†š‘„
ļ„¶
󰇜ļ…š‘–󰇛š‘¦
ļ„µ
ļ†š‘¦
ļ„¶
󰇜
Postulat/Persamaan
Jika š‘§
ļ„µ
ļŒš‘„
ļ„µ
ļ…š‘–š‘¦
ļ„µ
dan š‘§
ļ„¶
ļŒš‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
dengan š‘§
ļ„µ
ļŒš‘§
ļ„¶
, maka
š‘„
ļ„µ
ļŒš‘„
ļ„¶
š‘‘š‘Žš‘› š‘¦
ļ„µ
ļŒš‘¦
ļ„¶
Perkalian
Jika š‘§
ļ„µ
ļŒš‘„
ļ„µ
ļ…š‘–š‘¦
ļ„µ
dan š‘§
ļ„¶
ļŒš‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
dengan š‘§
ļ„·
ļŒš‘§
ļ„µ
.š‘§
ļ„¶
, maka
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„
ļ„µ
ļ…š‘–š‘¦
ļ„µ
󰇜.󰇛š‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
󰇜
ļŒš‘„
ļ„µ
š‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘„
ļ„µ
š‘¦
ļ„¶
ļ…š‘–š‘„
ļ„¶
š‘¦
ļ„µ
ļ…š‘¦
ļ„µ
š‘¦
ļ„¶
š‘–
ļ„¶
ļŒš‘„
ļ„µ
š‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘„
ļ„µ
š‘¦
ļ„¶
ļ…š‘–š‘„
ļ„¶
š‘¦
ļ„µ
ļ†š‘¦
ļ„µ
š‘¦
ļ„¶
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„
ļ„µ
š‘„
ļ„¶
ļ†š‘¦
ļ„µ
š‘¦
ļ„¶
󰇜ļ…š‘–󰇛š‘„
ļ„µ
š‘¦
ļ„¶
ļ…š‘„
ļ„¶
š‘¦
ļ„µ
󰇜
Konjugasi(š’›
ļŒ¤)
Jika š‘§ļŒš‘„ļ…š‘–š‘¦ maka š‘§
ļŒ„ļŒš‘„ļ†š‘–š‘¦
maka diperoleh
š‘§.š‘§īŖ§ļŒš‘§
īŖ§.š‘§ļŒš‘„
ļ„¶
ļ…š‘¦
ļ„¶
Pembagian
Jika š‘§
ļ„µ
ļŒš‘„
ļ„µ
ļ…š‘–š‘¦
ļ„µ
dan š‘§
ļ„¶
ļŒš‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
dengan š‘§
ļ„·
ļŒ
ļ‡­
ļˆ­
ļ‡­
ļˆ®
, maka
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„
ļ„µ
ļ…š‘–š‘¦
ļ„µ
󰇜
󰇛š‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
󰇜
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„
ļ„µ
ļ…š‘–š‘¦
ļ„µ
󰇜
󰇛š‘„
ļ„¶
ļ…š‘–š‘¦
ļ„¶
󰇜 .󰇛š‘„
ļ„¶
ļ†š‘–š‘¦
ļ„¶
󰇜
󰇛š‘„
ļ„¶
ļ†š‘–š‘¦
ļ„¶
󰇜
š‘§
ļ„·
ļŒš‘„
ļ„µ
š‘„
ļ„¶
ļ†š‘–š‘„
ļ„µ
š‘¦
ļ„¶
ļ…š‘–š‘„
ļ„¶
š‘¦
ļ„µ
ļ…š‘¦
ļ„µ
š‘¦
ļ„¶
󰇛š‘„
ļ„¶
ļ„¶
ļ…š‘¦
ļ„¶
ļ„¶
󰇜
š‘§
ļ„·
ļŒó°‡›š‘„
ļ„µ
š‘„
ļ„¶
ļ…š‘¦
ļ„µ
š‘¦
ļ„¶
󰇜
󰇛š‘„
ļ„¶
ļ„¶
ļ…š‘¦
ļ„¶
ļ„¶
󰇜ļ…š‘– 󰇛š‘„
ļ„¶
š‘¦
ļ„µ
ļ†š‘„
ļ„µ
š‘¦
ļ„¶
󰇜
󰇛š‘„
ļ„¶
ļ„¶
ļ…š‘¦
ļ„¶
ļ„¶
󰇜
ļ‚· Analogi Bilangan Kompleks Sebagai
Geometris_
Bilangan Kompleks tidak dapat diekspresikan
seperti bilangan lain dalam bentuk garis
bilangan 1 dimensi saja. Karena memiliki
bilangan imajiner 󰇛š‘–󰇜 yang terdefinisi berbeda
setiap 4 kali pengulangan pangkat bilangan
bulat(berbeda dengan bilangan lain yang
ekspresinya hanya ada berulang 2 kali setiap
pangkat bilangan bulat)
š‘–ļŒāˆšļ†1 š‘–
ļ„¶
ļŒļ†1 š‘–
ļ„·
ļŒļ†š‘– š‘–
ļ„ø
ļŒ1
š‘–
ļ„¹
ļŒš‘– š‘–
ļ„ŗ
ļŒļ†1 š‘–
ļ„»
ļŒļ†š‘– š‘–
ļ„¼
ļŒ1
Maka, bilangan imajiner jika didefinisikan
kedalam geometri diperoleh
pf2

Partial preview of the text

Download Kalkulus - Bilangan Kompleks and more Summaries Calculus in PDF only on Docsity!

BILANGAN KOMPLEKS @ATHARIHAFIZH

BILANGAN KOMPLEKS

ļ‚· Bilangan Imajiner_

Bilangan imajiner adalah bilangan yang dilambangkan dengan sebuah variable įˆŗš‘–įˆ» dengan definisi š‘– ą¬¶^ ąµŒ ąµ† 1 Maka diperoleh,

š‘– ąµŒ āˆšąµ† 1

Dari implikasi diatas diperoleh konsep š‘– ąÆ” sebagai berikut: š‘– ąµŒ āˆšąµ† 1 š‘– ą¬¶^ ąµŒ ąµ† 1 š‘– ą¬·^ ąµŒ ąµ†š‘– š‘– ą¬ø^ ąµŒ 1 š‘– ą¬¹^ ąµŒ š‘– š‘– ą¬ŗ^ ąµŒ ąµ† 1 š‘– ą¬»^ ąµŒ ąµ†š‘– š‘–ą¬¼ ąµŒ 1 Maka penyelesian

š‘– ąÆ”^ ąµŒ š‘– ąÆ”^ ą³˜ą³šą³^ ą¬ø

ļ‚· Bilangan Kompleks_

Bilangan Kompleks adalah bilangan yang dinyatakan oleh ekspresi bilangan real dan bilangan imajiner š‘§ ąµŒ š‘„ ąµ… š‘–š‘¦ Dengan, X = Bilangan Real [Re(z)] Y= konstanta imajiner [lm(z)] š‘– ą¬¶^ ąµŒ ąµ† 1

Nilai z sebagai bilangan kompleks hanya memiliki 1 nilai meskipun ada 2 bagian. š‘§ ąµŒ š‘…š‘’įˆŗš‘§įˆ» ąµ… š‘– š‘™š‘šįˆŗš‘§įˆ»

ļ‚· Operasi Bilangan Kompleks_

Penjumlahan(+) Jika š‘§ą¬µ ąµŒ š‘„ą¬µ ąµ… š‘–š‘¦ą¬µ dan š‘§ą¬¶ ąµŒ š‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘¦ą¬¶ dengan š‘§ą¬· ąµŒ š‘§ą¬µ ąµ… š‘§ą¬¶, maka š‘§ą¬· ąµŒ įˆŗš‘„ą¬µ ąµ… š‘„ą¬¶ įˆ» ąµ… š‘–įˆŗš‘¦ą¬µ ąµ… š‘¦ą¬¶ įˆ» Pengurangan(-) Jika š‘§ą¬µ ąµŒ š‘„ą¬µ ąµ… š‘–š‘¦ą¬µ dan š‘§ą¬¶ ąµŒ š‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘¦ą¬¶ dengan š‘§ą¬· ąµŒ š‘§ą¬µ ąµ† š‘§ą¬¶, maka š‘§ą¬· ąµŒ įˆŗš‘„ą¬µ ąµ† š‘„ą¬¶ įˆ» ąµ… š‘–įˆŗš‘¦ą¬µ ąµ† š‘¦ą¬¶ įˆ» Postulat/Persamaan Jika š‘§ą¬µ ąµŒ š‘„ą¬µ ąµ… š‘–š‘¦ą¬µ dan š‘§ą¬¶ ąµŒ š‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘¦ą¬¶ dengan š‘§ą¬µ ąµŒ š‘§ą¬¶, maka š‘„ą¬µ ąµŒ š‘„ą¬¶ š‘‘š‘Žš‘› š‘¦ą¬µ ąµŒ š‘¦ą¬¶ Perkalian Jika š‘§ą¬µ ąµŒ š‘„ą¬µ ąµ… š‘–š‘¦ą¬µ dan š‘§ą¬¶ ąµŒ š‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘¦ą¬¶ dengan š‘§ą¬· ąµŒ š‘§ą¬µ. š‘§ą¬¶, maka š‘§ą¬· ąµŒ įˆŗš‘„ą¬µ ąµ… š‘–š‘¦ą¬µ įˆ». įˆŗš‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘¦ą¬¶ įˆ» ąµŒ š‘„ą¬µ š‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘„ą¬µ š‘¦ą¬¶ ąµ… š‘–š‘„ą¬¶ š‘¦ą¬µ ąµ… š‘¦ą¬µ š‘¦ą¬¶ š‘– ą¬¶

Konjugasi(š’›ą“¤) Jika š‘§ ąµŒ š‘„ ąµ… š‘–š‘¦ maka š‘§ą“„ ąµŒ š‘„ ąµ† š‘–š‘¦ maka diperoleh š‘§. š‘§Ģ… ąµŒ š‘§Ģ…. š‘§ ąµŒ š‘„ ą¬¶^ ąµ… š‘¦ ą¬¶

Pembagian Jika š‘§ą¬µ ąµŒ š‘„ą¬µ ąµ… š‘–š‘¦ą¬µ dan š‘§ą¬¶ ąµŒ š‘„ą¬¶ ąµ… š‘–š‘¦ą¬¶ dengan š‘§ą¬· ąµŒ ąÆ­ąÆ­ą°­ ą°®

, maka

š‘§ą¬· ąµŒ

įˆŗš‘„ą¬¶ą¬¶^ ąµ… š‘¦ą¬¶ą¬¶^ įˆ»

įˆŗš‘„ą¬¶ą¬¶^ ąµ… š‘¦ą¬¶ą¬¶^ įˆ»

įˆŗš‘„ą¬¶ą¬¶^ ąµ… š‘¦ą¬¶ą¬¶^ įˆ»

ļ‚· Analogi Bilangan Kompleks Sebagai

Geometris_

Bilangan Kompleks tidak dapat diekspresikan seperti bilangan lain dalam bentuk garis bilangan 1 dimensi saja. Karena memiliki bilangan imajiner įˆŗš‘–įˆ» yang terdefinisi berbeda setiap 4 kali pengulangan pangkat bilangan bulat(berbeda dengan bilangan lain yang ekspresinya hanya ada berulang 2 kali setiap pangkat bilangan bulat) š‘– ąµŒ āˆšąµ† 1 š‘– ą¬¶^ ąµŒ ąµ† 1 š‘– ą¬·^ ąµŒ ąµ†š‘– š‘– ą¬ø^ ąµŒ 1 š‘– ą¬¹^ ąµŒ š‘– š‘– ą¬ŗ^ ąµŒ ąµ† 1 š‘– ą¬»^ ąµŒ ąµ†š‘– š‘–ą¬¼ ąµŒ 1 Maka, bilangan imajiner jika didefinisikan kedalam geometri diperoleh

BILANGAN KOMPLEKS @ATHARIHAFIZH

BILANGAN KOMPLEKS

Sehingga Bilangan Kompleks perlu analogi ruang 2 dimensi dengan gerak yang terjadi ketika operasi perkalian nilangan kompleks adalah ā€œrotasiā€

Konsep Penggambaran bilangan kompleks kedalam 2 dimensi dinamakan diagram Argand dengan

š‘Ÿ ą¬¶^ ąµŒ š‘„ ą¬¶^ ąµ… š‘¦ ą¬¶^ ąµŒ š‘§. š‘§Ģ… ąµŒ š‘§Ģ…. š‘§

š‘„ ąµŒ š‘Ÿ cos šœƒ š‘¦ ąµŒ š‘Ÿ sin šœƒ š‘”š‘Žš‘›šœƒ ąµŒ

Sehingga bilangan kompleks dapat didefinisikan sebagai š‘§ ąµŒ š‘Ÿįˆŗcos šœƒ ąµ… š‘– š‘ š‘–š‘›šœƒįˆ» ąµŒ š‘Ÿ š¶š‘–š‘† šœƒ Dari sifat bilangan natural diketahui bahwa š‘’ ąÆœą°^ ąµŒ cos šœƒ ąµ… š‘– sin šœƒ Maka bilangan kompleks dapat dinotasikan menjadi š‘§ ąµŒ š‘Ÿ š‘’ ąÆœą°

Dari persamaan diatas dapat diperoleh : Jika š‘§ą¬µ ąµŒ š‘Ÿą¬µ š‘’ ąÆœą°ą°­^ dan š‘§ą¬¶ ąµŒ š‘Ÿą¬¶ š‘’ ąÆœą°ą°®^ dengan š‘§ą¬· ąµŒ š‘§ą¬µ. š‘§ą¬¶, maka š‘§ą¬· ąµŒ š‘Ÿą¬µ š‘Ÿą¬¶ š‘’ ąÆœįˆŗą°ą°­^ ą¬¾ą°ą°®^ įˆ» Maka benar bahwa gerak perkalian bilangan kompleks adalah rotasi

ļ‚· Menyederhanakan Bilangan Kompleks_

Jika diperoleh š‘§ ąµŒ š‘„ ąµ… š‘–š‘¦ maka

šœƒ ąµŒ arctan

š‘Ÿ ą¬¶^ ąµŒ š‘„ ą¬¶^ ąµ… š‘¦ ą¬¶

š‘§ ąµŒ š‘Ÿ š‘’ ąÆœą°^ ąµŒ š‘Ÿįˆŗcos šœƒ ąµ… š‘– sin šœƒįˆ» Sehingga š‘§ ąÆ”^ ąµŒ š‘Ÿ ąÆ”^ š‘’ ąÆœ^ ąÆ”ą°^ ąµŒ š‘Ÿ ąÆ”^ įˆŗcos š‘›šœƒ ąµ… š‘– sin š‘›šœƒįˆ»

Sebagai contoh

Sederhanakanlah bentuk bilangan kompleks ąµ« 1 ąµ… š‘–āˆš 3 ąµÆ

ą¬µą¬“

Penyelesaian š‘šš‘–š‘ š‘Žš‘™š‘˜š‘Žš‘› š‘§ ąµŒ 1 ąµ… š‘–āˆš 3 š‘šš‘Žš‘˜š‘Ž š‘‘š‘–š‘š‘’š‘Ÿš‘œš‘™š‘’ā„Ž šœƒ ąµŒ arctan (^) āˆš 3 ąµŒ

š‘Ÿ ą¬¶^ ąµŒ 1 ą¬¶^ ąµ… 3 ąµŒ 4

ą°— ą¬· Maka š‘§ ą¬µą¬“^ ąµŒ 2 ą¬µą¬“^ š‘’ ąÆœ

ą¬µą¬“ą°— ą¬·

ąµ« 1 ąµ… š‘–āˆš 3 ąµÆ

ą¬µą¬“ ąµŒ 2 ą¬µą¬“^ ąµ¬cos

ąµ… š‘– sin

ąµŒ 1024 įˆŗcos į‰€ 2 šœ‹ ąµ… ą¬øą°—ą¬· į‰ ąµ… š‘– sin į‰€ 2 šœ‹ ąµ… ą¬øą°—ą¬· į‰ ąµŒ 1024 į‰€cos ą¬øą°—ą¬· ąµ… š‘– sin ą¬øą°—ą¬· į‰ ąµŒ 1024 įˆŗąµ† ą¬µą¬¶ ąµ… š‘– ąµ† ą¬µą¬¶ āˆš 3 įˆ» ąµŒ ąµ† 512 ąµ† š‘– (^512) āˆš 3