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OPTIMIZACIÓN CLÁSICA(SISTEMAS)
Es la técnica que considera el uso del cálculo diferencial, para determinar los puntos estacionarios ( Valores que cumplen la condición necesaria ), y los puntos extremos ( Valores que cumplen la condición suficiente ) de funciones de cualquier naturaleza, restringidas y no restringidas. También se define como el conjunto de técnicas que se usan para optimizar una función cualquiera que tenga o no restricciones. PUNTOS EXTREMOS.- Son los valores que definen un PUNTO MÁXIMO o un PUNTO MÍNIMO de una función f (x) = f ( x 1 ,, x 2 ,... ,x (^) n ) PUNTO MÁXIMO .- Un punto x 0 = ( x 1 ,x 2 , ... ,x n) es un punto máximo si cumple que: f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) para toda h = ( h 1 , h 2 ,... , h (^) n ) tal que h (^) j es suficientemente pequeño para toda j PUNTO MÍNIMO .- Un punto x 0 =( x 1 , x 2 ,... , x (^) n) es un punto mínimo si cumple que: f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) para toda h = ( h 1 , h 2 ,... , h (^) n) tal que h (^) j es suficientemente pequeño para toda j f (x) a x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b La función f ( x ) definida en el a , b tiene un: Valores máximos locales relativos = f ( x 1 ), f ( x 3 ) y f ( x 6 ) Valor máximo global absoluto = f ( x 6 ) = máx f ( x 1 ), f ( x 3 ) y f ( x 6 ) Valores mínimos locales relativos =f ( x 2 ) y f ( x 4 ) Valor mínimo global absoluto = f ( x 2 ) =mín f ( x 2 ) y f ( x 4 ) Punto de inflexión = f ( x 5 ) PUNTO SILLA es un punto que no define un máximo o un mínimo, en una función de tres o más variables OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Teorema: Dada un función f ( x ) = f ( x 1 ,x 2 ,... , x (^) n ) de manera que las 1as y las 2as derivadas parciales de la función son continuas en cada punto. La condición necesaria para que un punto x 0 , sea un PUNTO ESTACIONARIO de la función, es que el gradiente de la función en ese punto, sea igual a cero f ( x ) = 0 es decir: f = 0 , f = 0 ,... , f = 0 x 1 x 2 x (^) n
CONDICIÓN SUFICIENTE
TEOREMA.- Una condición suficiente para que un punto estacionario x 0 , sea un PUNTO EXTREMO, valor máximo o valor mínimo de la función f ( x ) , es que la matriz HESSIANA evaluada en ese punto sea : 1.- POSITIVA DEFINIDA cuando x 0 es un PUNTO MÍNIMO 2.- NEGATIVA DEFINIDA cuando x 0 es un PUNTO MÁXIMO MATRIZ HESSIANA 2 f _ 2 f 2 f x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 3 2 f 2 f 2 f__ H = x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 x 3 2 f_ 2 f 2 f__ x 3 x 1 x 3 x 2 x 3 x 3 TEOREMA: .- Una matriz A cualquiera es positiva definida , si los valores de los determinantes menores principales de A son positivos .- Una matriz A cualquiera es negativa definida, si el valor del k - ésimo determinante menor principal de A tiene el signo ( - 1 ) k^ , para valores de k = 1, 2,... , n , dónde k es el orden del determinante .- Una matriz A cualquiera es positiva semidefinida, si los valores de los determinantes menores principales de A son cero o mayores o iguales que cero y al menos uno es cero IV.- Una matriz A cualquiera es negativa semidefinida, si el valor del k-ésimo determinante menor principal de A es cero, o tiene el signo (-1)k^ y al menos uno es cero Determinante menor principal de orden 1 1 = 2 f_ x 12 Determinante menor principal de orden 2 2 f_ 2 f_ 2 = x 12 x 1 x (^2) 2 f 2 f_ x 2 x 1 x 22 Determinante menor principal de orden 3 2 f_ 2 f_ 2 f__ 3 = x 12 x 1 x 2 x 1 x (^3) 2 f 2 f_ 2 f__ x 2 x 1 x 22 x 2 x (^3) 2 f 2 f_ 2 f__ x 3 x 1 x 3 x 2 x 32
2 f = f ( 6x 2 + 12 ) = 0 x 1 x 2 x 1 2 f = f ( 2x 1 - 8 ) = 0 x 2 x 1 x 2 2 f = f ( 6x 2 + 12 ) = 6 x 22 x 2 Determinante menor principal de orden 3 2 f_ 2 f_ 2 f 2 0 0 3 = x 12 x 1 x 2 x 1 x (^3) 2 f 2 f_ 2 f = 0 6 0 = 2(6)8 + 0(0)0 + 0(0)0 - 0(6)0 – 2(0)0 - 0(0) x 2 x 1 x 22 x 2 x (^3) 2 f 2 f_ 2 f 0 0 8 x 3 x 1 x 3 x 2 x 32 3 = 96 (+) 2 0 0 2 f = 2 f = f ( 8x 3 - 24 ) = 0 x 1 x 3 x 3 x 1 x 1 0 6 0 2 f = 2 f = f ( 8x 3 - 24 ) = 0 x 2 x 3 x 3 x 2 x (^2) 2 f = f ( 8x 3 - 24 ) = 8 x 32 x 3 PUNTO ESTACIONARIO X 0 = ( 4 , - 2, 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ES UN PUNTO MÍNIMO porque 1 = 2 (+), 2 = 12 (+), 3 = 96 (+) OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES CON RESTRICCIONES Dada un función f ( x ) = f ( x 1 , x 2 ,... , x (^) n ) sujeta a : g 1 (x ) = ( x 1 , x 2 ,... , x (^) n ) g 2 (x) = ( x 1 , x 2 ,... , x (^) n )
...... g (^) m (x) = ( x 1 , x 2 ,... , x (^) n ) Método de multiplicadores de LAGRANGE Se define la función de Lagrange : L( x, ) = f (x) - g(x) c .n. La condición necesaria para obtener los puntos estacionarios es que : L ( x, ) = 0 L (x,) = 0
x
Es decir : L ( x, ) = 0, L (x,) = 0,..., L (x,) = 0
x 1 x 2 x n
L ( x, ) = 0, L (x,) = 0,..., L (x,) = 0
1 2 m
c .s. La condición suficiente para definir si los puntos estacionarios son valores máximos o mínimos de la función es : Se define la matriz hessiana bordeada o matriz hessiana en la frontera H B
O P
H B^ = P t^ Q donde : H B^ = tiene de forma (m+ n)x(m+ n) O = es la matriz CERO de orden (m x m) m = es el número de restricciones P = es la matriz formada por los gradientes de las restricciones n = es el número de variables P t^ = es la transpuesta de la matriz P g 1 (x ) P = g 2 (x) = ( m x n ) : g (^) m (x) g 1 g 1 ... g (^1) x 1 x 2 ... x (^) n g 2 g 2 ... g (^2) P = x 1 x 2 ... x n
......... g m g m... g m x 1 x 2 x (^) n 2 L ( x, ) Q = x (^) i x (^) j = ( n x n ) 2 L ( x, ) 2 L ( x, ) ... 2 L ( x, ) x 12 x 1 x 2 x 1 x (^) n 2 L ( x, ) 2 L ( x, ) ... 2 L ( x, ) Q = x 2 x 1 x 22 x 2 x (^) n ......... 2 L ( x, ) 2 L ( x, ) ... 2 L ( x, ) x n x 1 x n x 2 x n TEOREMA : Dado el punto estacionario ( x 0 , 0 ) para la función de Lagrange L ( x, ), se dice que la función tiene : 1.- Un punto MÁXIMO si comenzando con el determinante menor principal de orden (2m+1) , los últimos (n - m) determinantes menores principales de H B, forman una configuración de signos alternos empezando por el signo ( - 1 ) m + 1 2 .- Un punto MÍNIMO si comenzando con el determinante menor principal de orden (2m+1) , los últimos (n - m) determinantes menores principales de H B, tienen todos el signo ( - 1 ) m Ejemplo: Determinar los puntos estacionarios y definir si son valores máximos o mínimos para el siguiente problema f ( x ) = x 1 2 + 2 x 22 + 4 x 32 - 6 x 1 + 8 x 2 - 40 x 3 sujeta a : 5 x 1 + x 2 - 2 x 3 = 9 Se define la función de LAGRANGE L ( x, ) = f ( x ) - (^) i * g (^) i ( x ) de la siguiente manera: L ( x, ) = ( x 1 2 + 2 x 22 + 4 x 32 - 6 x 1 + 8 x 2 - 40 x 3 ) - 1 * ( 5 x 1 + x 2 - 2 x 3 - 9 )
g 1 = ( 5 x 1 + x 2 - 2 x 3 - 9 ) = 1 x 2 x (^2) g 1 = ( 5 x 1 + x 2 - 2 x 3 - 9 ) = - 2 x 3 x (^3) 2 L ( x, ) 2 L ( x, ) ... 2 L ( x, ) 2 0 0 x 12 x 1 x 2 x 1 x (^) n 2 L ( x, ) 2 L ( x, ) ... 2 L ( x, ) = 0 4 0 Q = x 2 x 1 x 22 x 2 x (^) n
......... 0 0 8 2 L ( x, ) 2 L ( x, ) ... 2 L ( x, ) x (^) n x 1 x (^) n x 2 x (^) n^2 2 L ( x, ) = ( 2 x 1 – 6 - 5 1 ) = 2 x 12 x (^1) 2 L ( x, ) = ( 4 x 2 + 8 - 1 ) = 0 x 1 x 2 x (^1) 2 L ( x, ) = ( 8 x 3 – 40 + 2 1 ) = 0 = 2 L ( x, ) x 1 x 3 x 1 x 3 x (^1) 2 L ( x, ) = ( 2 x 1 – 6 - 5 1 ) = 0 x 2 x 1 x 2 2 L ( x, ) = ( 4 x 2 + 8 - 1 ) = 4 x 22 x (^2) 2 L ( x, ) = ( 8 x 3 – 40 + 2 1 ) = 0 = 2 L ( x, ) x 2 x 3 x 2 x 3 x (^2) 2 L ( x, ) = ( 8 x 3 – 40 + 2 1 ) = 8 x 32 x (^3) La matriz Hessiana Bordeada queda: 0 5 1 - 2 El teorema dice; Si comenzando con el determinante de orden (2m+1), los últimos (n-m) 5 2 0 0 determinantes menores principales de H B, forman una configuración de signos alternos, H B^ = 1 0 4 0 empezando con el signo (-1)m+1, es un máximo. Es un mínimo si todos tienen el signo
- 2 0 0 8 (-1)m La m=1 y la n=3 entonces (2m+1)= 3, hay que empezar con el determinante menor principal de orden 3 y evaluar los últimos (n-m)=2, es decir evaluar los determinantes menores principales de orden 3 y de orden 4, Es un máximo si el Δ 3 = + y el Δ 4 = - Es un mínimo si el Δ 3 = - y el Δ 4 = -
Determinante menor principal de orden 3 0 5 1 Δ 3 = 5 2 0 = 0(2)4 + 5(0)1 + 1(5)0 – 1(2)1 – 0(0)0 – 5(5)4 = 0 + 0 + 0 – 2 – 0 – 100 = - 102 1 0 4 0 5 1 5 2 0 Determinante menor principal de orden 4 0 5 1 - 2 5 2 0 0 2 0 0 5 0 0 5 2 0 5 2 0 Δ 4 = 1 0 4 0 = 0 0 4 0 - 5 1 4 0 +1 1 0 0 - (-2) 1 0 4
- 2 0 0 8 0 0 8 - 2 0 8 - 2 0 8 - 2 0 0 2 0 0 5 0 0 5 2 0 5 2 0 0 4 0 1 4 0 1 0 0 1 0 4 Δ 4 = 0( ) - 5 [ 5(4)8+1(0)0+(-2)0(0)-(-2)4(0)-5(0)0-1(0)8] +1[5(0)8+1(0)0+(-2)2(0) – 5(0)0 – 1(2)8]
- 2[5(0)0+1(0)0+(-2)2(4) – (-2)0(0) – 5(0)4 – 1(2)0] = - 5(160) +1(-16) + 2(-16) = - 800 - 16 - 32 = - 848 Como los determinantes Δ 3 = - 102 y el Δ 4 = - 848 fueron negativos, el punto estacionario ( X 0 , 0 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 , 1 ) = ( 4.2, - 1.88, 4.88, 0.48 ) ES UN PUNTO MÍNIMO
