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Optimization Techniques in Calculus: Finding Stationary Points and Extrema, Study notes of Information Technology

This document delves into the application of differential calculus for determining stationary points and extreme values of functions, both restricted and unrestricted. It explores the concepts of necessary and sufficient conditions for identifying maximum and minimum points, introducing the hessian matrix and its role in determining the nature of stationary points. The document also provides a detailed explanation of the lagrange multiplier method for optimizing functions subject to constraints, illustrating the process with a practical example.

Typology: Study notes

2021/2022

Uploaded on 02/24/2025

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OPTIMIZACIÓN CLÁSICA(SISTEMAS)
Es la técnica que considera el uso del cálculo diferencial, para determinar los puntos estacionarios ( Valores que cumplen la
condición necesaria ), y los puntos extremos ( Valores que cumplen la condición suficiente ) de funciones de cualquier
naturaleza, restringidas y no restringidas. También se define como el conjunto de técnicas que se usan para optimizar una
función cualquiera que tenga o no restricciones.
PUNTOS EXTREMOS.- Son los valores que definen un PUNTO MÁXIMO o un PUNTO MÍNIMO de una función
f (x) = f ( x1,, x2 ,. . . ,x n )
PUNTO MÁXIMO .- Un punto x0 = ( x1 ,x2 , ... ,x n) es un punto máximo si cumple que:
f ( x0 + h ) f ( x0 )
para toda h = ( h1 , h2 ,... , h n ) tal que h j es suficientemente pequeño para toda j
PUNTO MÍNIMO .- Un punto x0=( x1 , x2 , . . . , x n) es un punto mínimo si cumple que:
f ( x0 + h ) f ( x0 )
para toda h = ( h1 , h2 , . . . , h n) tal que h jes suficientemente pequeño para toda j
f (x)
a x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b
La función f ( x ) definida en el a , b tiene un:
Valores máximos locales relativos = f ( x1 ), f ( x3 ) y f ( x6 )
Valor máximo global absoluto = f ( x6 ) = máx f ( x1 ), f ( x3 ) y f ( x6 )
Valores mínimos locales relativos =f ( x2 ) y f ( x4 )
Valor mínimo global absoluto = f ( x2 ) =mín f ( x2 ) y f ( x4 )
Punto de inflexión = f ( x 5 )
PUNTO SILLA es un punto que no define un máximo o un mínimo, en una función de tres o más variables
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES
Teorema: Dada un función f ( x ) = f ( x1 ,x2 , . . . , x n ) de manera que las 1as y las 2as derivadas parciales de la función son
continuas en cada punto. La condición necesaria para que un punto x0, sea un PUNTO ESTACIONARIO de la función, es
que el gradiente de la función en ese punto, sea igual a cero
f ( x ) = 0
es decir:
f = 0 , f = 0 , . . . , f = 0
x1 x2 x n
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OPTIMIZACIÓN CLÁSICA(SISTEMAS)

Es la técnica que considera el uso del cálculo diferencial, para determinar los puntos estacionarios ( Valores que cumplen la condición necesaria ), y los puntos extremos ( Valores que cumplen la condición suficiente ) de funciones de cualquier naturaleza, restringidas y no restringidas. También se define como el conjunto de técnicas que se usan para optimizar una función cualquiera que tenga o no restricciones. PUNTOS EXTREMOS.- Son los valores que definen un PUNTO MÁXIMO o un PUNTO MÍNIMO de una función f (x) = f ( x 1 ,, x 2 ,... ,x (^) n ) PUNTO MÁXIMO .- Un punto x 0 = ( x 1 ,x 2 , ... ,x n) es un punto máximo si cumple que: f ( x 0 + h )  f ( x 0 ) para toda h = ( h 1 , h 2 ,... , h (^) n ) tal que h (^) j  es suficientemente pequeño para toda j PUNTO MÍNIMO .- Un punto x 0 =( x 1 , x 2 ,... , x (^) n) es un punto mínimo si cumple que: f ( x 0 + h )  f ( x 0 ) para toda h = ( h 1 , h 2 ,... , h (^) n) tal que h (^) j es suficientemente pequeño para toda j f (x) a x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b La función f ( x ) definida en el  a , b  tiene un: Valores máximos locales relativos = f ( x 1 ), f ( x 3 ) y f ( x 6 ) Valor máximo global absoluto = f ( x 6 ) = máx  f ( x 1 ), f ( x 3 ) y f ( x 6 )  Valores mínimos locales relativos =f ( x 2 ) y f ( x 4 ) Valor mínimo global absoluto = f ( x 2 ) =mín  f ( x 2 ) y f ( x 4 )  Punto de inflexión = f ( x 5 ) PUNTO SILLA es un punto que no define un máximo o un mínimo, en una función de tres o más variables OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Teorema: Dada un función f ( x ) = f ( x 1 ,x 2 ,... , x (^) n ) de manera que las 1as y las 2as derivadas parciales de la función son continuas en cada punto. La condición necesaria para que un punto x 0 , sea un PUNTO ESTACIONARIO de la función, es que el gradiente de la función en ese punto, sea igual a cero f ( x ) = 0 es decir:  f = 0 ,  f = 0 ,... ,  f = 0  x 1  x 2  x (^) n

CONDICIÓN SUFICIENTE

TEOREMA.- Una condición suficiente para que un punto estacionario x 0 , sea un PUNTO EXTREMO, valor máximo o valor mínimo de la función f ( x ) , es que la matriz HESSIANA evaluada en ese punto sea : 1.- POSITIVA DEFINIDA cuando x 0 es un PUNTO MÍNIMO 2.- NEGATIVA DEFINIDA cuando x 0 es un PUNTO MÁXIMO MATRIZ HESSIANA  2 f _  2 f  2 f  x 1  x 1  x 1  x 2  x 1  x 3  2 f  2 f  2 f__ H =  x 2  x 1  x 2  x 2  x 2  x 3  2 f_  2 f  2 f__  x 3  x 1  x 3  x 2  x 3  x 3 TEOREMA: .- Una matriz A cualquiera es positiva definida , si los valores de los determinantes menores principales de A son positivos .- Una matriz A cualquiera es negativa definida, si el valor del k - ésimo determinante menor principal de A tiene el signo ( - 1 ) k^ , para valores de k = 1, 2,... , n , dónde k es el orden del determinante .- Una matriz A cualquiera es positiva semidefinida, si los valores de los determinantes menores principales de A son cero o mayores o iguales que cero y al menos uno es cero IV.- Una matriz A cualquiera es negativa semidefinida, si el valor del k-ésimo determinante menor principal de A es cero, o tiene el signo (-1)k^ y al menos uno es cero Determinante menor principal de orden 1  1 =  2 f_  x 12 Determinante menor principal de orden 2  2 f_  2 f_  2 =  x 12  x 1  x (^2)  2 f  2 f_  x 2  x 1  x 22 Determinante menor principal de orden 3  2 f_  2 f_  2 f__  3 =  x 12  x 1  x 2  x 1  x (^3)  2 f  2 f_  2 f__  x 2  x 1  x 22  x 2  x (^3)  2 f  2 f_  2 f__  x 3  x 1  x 3  x 2  x 32

 2 f =  f ( 6x 2 + 12 ) = 0  x 1  x 2  x 1  2 f =  f ( 2x 1 - 8 ) = 0  x 2  x 1  x 2  2 f =  f ( 6x 2 + 12 ) = 6  x 22  x 2 Determinante menor principal de orden 3  2 f_  2 f_  2 f 2 0 0  3 =  x 12  x 1  x 2  x 1  x (^3)  2 f  2 f_  2 f = 0 6 0 = 2(6)8 + 0(0)0 + 0(0)0 - 0(6)0 – 2(0)0 - 0(0)  x 2  x 1  x 22  x 2  x (^3)  2 f  2 f_  2 f 0 0 8  x 3  x 1  x 3  x 2  x 32  3 = 96 (+) 2 0 0  2 f =  2 f =  f ( 8x 3 - 24 ) = 0  x 1  x 3  x 3  x 1  x 1 0 6 0  2 f =  2 f =  f ( 8x 3 - 24 ) = 0  x 2  x 3  x 3  x 2  x (^2)  2 f =  f ( 8x 3 - 24 ) = 8  x 32  x 3 PUNTO ESTACIONARIO X 0 = ( 4 , - 2, 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ES UN PUNTO MÍNIMO porque  1 = 2 (+),  2 = 12 (+),  3 = 96 (+) OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES CON RESTRICCIONES Dada un función f ( x ) = f ( x 1 , x 2 ,... , x (^) n ) sujeta a : g 1 (x ) = ( x 1 , x 2 ,... , x (^) n ) g 2 (x) = ( x 1 , x 2 ,... , x (^) n )

...... g (^) m (x) = ( x 1 , x 2 ,... , x (^) n ) Método de multiplicadores de LAGRANGE Se define la función de Lagrange : L( x, ) = f (x) -  g(x) c .n. La condición necesaria para obtener los puntos estacionarios es que :  L ( x, ) = 0  L (x,) = 0

 x  

Es decir :  L ( x, ) = 0,  L (x,) = 0,...,  L (x,) = 0

 x 1  x 2  x n

 L ( x, ) = 0,  L (x,) = 0,...,  L (x,) = 0

  1   2   m

c .s. La condición suficiente para definir si los puntos estacionarios son valores máximos o mínimos de la función es : Se define la matriz hessiana bordeada o matriz hessiana en la frontera H B

O P

H B^ = P t^ Q donde : H B^ = tiene de forma (m+ n)x(m+ n) O = es la matriz CERO de orden (m x m) m = es el número de restricciones P = es la matriz formada por los gradientes de las restricciones n = es el número de variables P t^ = es la transpuesta de la matriz P  g 1 (x ) P =  g 2 (x) = ( m x n ) :  g (^) m (x)  g 1  g 1 ...  g (^1)  x 1  x 2 ...  x (^) n  g 2  g 2 ...  g (^2) P =  x 1  x 2 ...  x n

.........  g m  g m...  g m  x 1  x 2  x (^) n  2 L ( x, ) Q =  x (^) i  x (^) j = ( n x n )  2 L ( x, )  2 L ( x, ) ...  2 L ( x, )  x 12  x 1  x 2  x 1  x (^) n  2 L ( x, )  2 L ( x, ) ...  2 L ( x, ) Q =  x 2  x 1  x 22  x 2  x (^) n .........  2 L ( x, )  2 L ( x, ) ...  2 L ( x, )  x n  x 1  x n  x 2  x n TEOREMA : Dado el punto estacionario ( x 0 ,  0 ) para la función de Lagrange L ( x, ), se dice que la función tiene : 1.- Un punto MÁXIMO si comenzando con el determinante menor principal de orden (2m+1) , los últimos (n - m) determinantes menores principales de H B, forman una configuración de signos alternos empezando por el signo ( - 1 ) m + 1 2 .- Un punto MÍNIMO si comenzando con el determinante menor principal de orden (2m+1) , los últimos (n - m) determinantes menores principales de H B, tienen todos el signo ( - 1 ) m Ejemplo: Determinar los puntos estacionarios y definir si son valores máximos o mínimos para el siguiente problema f ( x ) = x 1 2 + 2 x 22 + 4 x 32 - 6 x 1 + 8 x 2 - 40 x 3 sujeta a : 5 x 1 + x 2 - 2 x 3 = 9 Se define la función de LAGRANGE L ( x, ) = f ( x ) -  (^) i * g (^) i ( x ) de la siguiente manera: L ( x, ) = ( x 1 2 + 2 x 22 + 4 x 32 - 6 x 1 + 8 x 2 - 40 x 3 ) -  1 * ( 5 x 1 + x 2 - 2 x 3 - 9 )

 g 1 =  ( 5 x 1 + x 2 - 2 x 3 - 9 ) = 1  x 2  x (^2)  g 1 =  ( 5 x 1 + x 2 - 2 x 3 - 9 ) = - 2  x 3  x (^3)  2 L ( x, )  2 L ( x, ) ...  2 L ( x, ) 2 0 0  x 12  x 1  x 2  x 1  x (^) n  2 L ( x, )  2 L ( x, ) ...  2 L ( x, ) = 0 4 0 Q =  x 2  x 1  x 22  x 2  x (^) n

......... 0 0 8  2 L ( x, )  2 L ( x, ) ...  2 L ( x, )  x (^) n  x 1  x (^) n  x 2  x (^) n^2  2 L ( x, ) =  ( 2 x 1 – 6 - 5  1 ) = 2  x 12  x (^1)  2 L ( x, ) =  ( 4 x 2 + 8 -  1 ) = 0  x 1  x 2  x (^1)  2 L ( x, ) =  ( 8 x 3 – 40 + 2  1 ) = 0 =  2 L ( x, )  x 1  x 3  x 1  x 3  x (^1)  2 L ( x, ) =  ( 2 x 1 – 6 - 5  1 ) = 0  x 2  x 1  x 2  2 L ( x, ) =  ( 4 x 2 + 8 -  1 ) = 4  x 22  x (^2)  2 L ( x, ) =  ( 8 x 3 – 40 + 2  1 ) = 0 =  2 L ( x, )  x 2  x 3  x 2  x 3  x (^2)  2 L ( x, ) =  ( 8 x 3 – 40 + 2  1 ) = 8  x 32  x (^3) La matriz Hessiana Bordeada queda: 0 5 1 - 2 El teorema dice; Si comenzando con el determinante de orden (2m+1), los últimos (n-m) 5 2 0 0 determinantes menores principales de H B, forman una configuración de signos alternos, H B^ = 1 0 4 0 empezando con el signo (-1)m+1, es un máximo. Es un mínimo si todos tienen el signo

  • 2 0 0 8 (-1)m La m=1 y la n=3 entonces (2m+1)= 3, hay que empezar con el determinante menor principal de orden 3 y evaluar los últimos (n-m)=2, es decir evaluar los determinantes menores principales de orden 3 y de orden 4, Es un máximo si el Δ 3 = + y el Δ 4 = - Es un mínimo si el Δ 3 = - y el Δ 4 = -

Determinante menor principal de orden 3 0 5 1 Δ 3 = 5 2 0 = 0(2)4 + 5(0)1 + 1(5)0 – 1(2)1 – 0(0)0 – 5(5)4 = 0 + 0 + 0 – 2 – 0 – 100 = - 102 1 0 4 0 5 1 5 2 0 Determinante menor principal de orden 4 0 5 1 - 2 5 2 0 0 2 0 0 5 0 0 5 2 0 5 2 0 Δ 4 = 1 0 4 0 = 0 0 4 0 - 5 1 4 0 +1 1 0 0 - (-2) 1 0 4

  • 2 0 0 8 0 0 8 - 2 0 8 - 2 0 8 - 2 0 0 2 0 0 5 0 0 5 2 0 5 2 0 0 4 0 1 4 0 1 0 0 1 0 4 Δ 4 = 0( ) - 5 [ 5(4)8+1(0)0+(-2)0(0)-(-2)4(0)-5(0)0-1(0)8] +1[5(0)8+1(0)0+(-2)2(0) – 5(0)0 – 1(2)8]
  • 2[5(0)0+1(0)0+(-2)2(4) – (-2)0(0) – 5(0)4 – 1(2)0] = - 5(160) +1(-16) + 2(-16) = - 800 - 16 - 32 = - 848 Como los determinantes Δ 3 = - 102 y el Δ 4 = - 848 fueron negativos, el punto estacionario ( X 0 ,  0 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ,  1 ) = ( 4.2, - 1.88, 4.88, 0.48 ) ES UN PUNTO MÍNIMO