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Tarea 1. Desarrollo de la integral para la
ecuación de la variación de presión con la
altura y gráficas de los distintos modelos.
Homero Imanol Mancha Sandoval 2004650
I. Resumen del documento
En este reporte, primero, de desarrollará la ecuación dada para sacar la presión en temperaturas constantes para
así obtener la ecuación para sacar la presión a cierta altitud a temperaturas variables; con esta ecuación
desarrollada, se tabularán y graficarán los modelos de temperatura estándar y de temperatura variable y se
compararán mediante gráficas. Por último, se aplicarán estos modelos a alturas de 15 ciudades reales y en 5 alturas
superiores, para así, de igual manera, comparar ambos modelos en gráficas, por último, con datos sacados de la ISA
(International Standard Atmosphere), se hará el comparativo de los datos obtenidos por medio de las ecuaciones con
los datos de la ISA.
II. Introducción
La densidad se define como la relación entre la masa y el volumen que ocupa una sustancia [ 1 ] , y la presión como la
fuerza que hay por unidad de área o como la derivada de fuerza por unidad de área y hay distintos tipos de presiones
en donde para este reporte nos enfocaremos en la presión atmosférica (101325 Pa) [ 2 ] , estas variables son importantes
para saber si una aeronave puede despegar o no, al igual que la temperatura, debido a esto, en este documento se
tratarán algunas cuestiones importantes relacionadas a estas dos variables, que se relacionan de igual manera
directamente con la presión a diferentes altitudes.
Como bien sabemos, la presión, la densidad y la temperatura, son variables que no son constantes, ni siquiera a nivel
del mar, ya que, de igual manera, dependen de muchos otros factores. Uno de estos factores y, que en la aviación es
de los más importantes, es la altura. La altura es importantísima para saber si una aeronave puede despegar o no,
ya que, por medio de esta, las variables de presión, densidad y temperatura pueden ser muy aproximadas. Por esta
razón, el primer modelo que se analizará es el modelo de temperatura constante. La temperatura que se usó como
“t0” es de 288.15 K (15°C), ya que, según la ISA es la temperatura media a nivel del mar en el mundo. [ 3 ]
Como se demostrará más adelante, la variación a bajas alturas no es tan notoria, pero, conforme la altitud
incremente, esta variación va a ser mucha, esto se debe a que por cada metro que se incremente, se pierden 0.
K, a esta cantidad se le expresa como el factor “b”. Otra de las constantes que se usan es la constante “Ra” que es
la constante de gases ideales para el aire, esta constante tiene un valor de 287 J/Kg*K.
III. Metodología
Lo primero, fue llegar a la ecuación que describiera el cambio de presión a temperatura constante, a esta ecuación
primero se llega comprendiendo que un cambio de presión atmosférica sólo se dará en el eje z, debido a que es el eje
de la altura y, que este cambio sólo dependerá de la densidad, que es una variable dependiendo de la altura y de la
gravedad, que es constante. Con esto descrito, podemos expresar esta ecuación como una derivada, ya que, la
derivada de presión o razón de cambio con respecto a la razón de altura o del eje z es proporcional a la densidad
multiplicada por la gravedad de manera negativa, debido a que la presión decrementará con la altura, y se expresa
con la siguiente ecuación.
Pero, recordando la ecuación de los gases ideales, podemos expresar la densidad ( 𝜌 ) como la relación de presión
sobre la constante de los gases ideales “Ra” multiplicado por la temperatura, expresando la ecuación de nuevo:
Y ahora, restableciendo los términos para integrar, se expresa de la siguiente manera:
𝑧 2
𝑧 1
𝑃 2
𝑃 1
Por último, sustituyendo en los límites y despejando para P2, nos da la ecuación del modelo estándar considerando
una temperatura constante.
−
𝑔
𝑅𝑎𝑇
(𝑧 2 −𝑧 1 )
Esto considerando que la temperatura es constante, pero, como ya sabemos, al incrementar la altura, la altura va a
decrementar con un factor de 0.0065 por cada metro. La ISA determinó que, la temperatura media en la atmósfera
es de 288.15 K (15°C), debido a esto, se toma como temperatura inicial en el modelo de temperatura variable.
Teniendo una temperatura inicial y una pendiente de decremento por cada metro de temperatura, podemos
reemplazarlo en el modelo de temperatura constante. La ecuación de la variación de temperatura quedaría de la
siguiente manera.
𝑇 = T0 − Bz
Sustituyendo los datos conocidos:
𝑇 = 288. 15 K − ( 0. 0065 ∗ z)
Y sustituyendo esta ecuación en el modelo de temperatura constante.
dP
P
g
Ra
dz
T0 − Bz
z
z
P
P
Integrando por partes y tomando
𝑉 = T0 − Bz
𝑑v = −Bz
𝑑z =
dV
−B
Y sustituyendo en la ecuación nos da como resultado que
dP
P
g
RaT
dV
−BV
z
z
P
P
Primero, se tabularon las alturas para poder hacer uso de las ecuaciones, y se declararon las variables T0 = 288.15 K,
P1 = 101325 Pa, B = 0.0065 y Ra = 287 J/Kg*K.
Después, con la ecuación de la temperatura variable, se tabularon en las mismas alturas, pero usando la ecuación de
la temperatura variable.
Al final, usando estos dos modelos en altitudes de 1m a 10000m, por cada 100 m, se pueden apreciar estas gráficas,
en donde se graficó la altura vs la presión con el modelo de temperatura constante y el modelo de temperatura variable,
la altura vs la temperatura constante y la temperatura variable y la altitud vs la densidad con el modelo de temperatura
constante y con el modelo de temperatura variable.
Después de analizar estas gráficas, se realizó el mismo procedimiento con 15 ciudades y otras 5 altitudes superiores
para observar cómo es que se comporta la temperatura, la densidad y la presión tanto en ciudades reales como en
altitudes muy grandes, en donde no hay ciudades y solo pueden ser observadas en picos de montañas. Por esto mismo,
observamos las gráficas siguientes, en donde se observan estos fenómenos.
IV. Resultados
Después de desarrollar la integral y de realizar las tablas en el Software Excel, usando las fórmulas proporcionadas en
clase, tuvimos los siguientes resultados.
Primero, al desarrollar la integral, nos dio como resultado esta ecuación que es la resultante para el modelo de
temperatura variable.
𝑃 2 = P1 [ 1 −
Bz
T
]
g
RaB
Después, con esta integral, nos dieron las siguientes gráficas, las ya mencionadas de altura vs temperatura constante
y temperatura variable, altura vs presión con el modelo de temperatura constante y el de temperatura variable y la
altitud vs la densidad con el modelo de temperatura constante y con el modelo de temperatura variable.
0
50
100
150
200
250
300
350
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Temperatura (K)
Altura (M)
Altitud vs Temperatura Constante y Temperatura
Variable
Temperatura Constante (K) Temperatura Variable (K)
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Presión (Pa)
Altura (M)
Altura vs Presión a Temperatura Constante y Presión
a Temperatura Variable
P2 T Cons(Pa) P2 T Var (Pa)
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Altura vs Presión a Temperatura ISA y Temperatura a
18/09/
Presión Presión (18/09/2023)
0
1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Altura vs Densidad a Temperatura ISA y Temperatura a
18/09/
Densidad Densidad (18/09/2023)
V. Discusión de Resultados
Con estas gráficas, podemos observar que, primeramente, podemos observar que, la temperatura idealmente tiene una
pendiente de 0.0065 K por cada metro que incrementa, por lo que es una línea recta. Después, podemos observar que,
en la tabla de la comparación de las presiones, en el modelo de temperatura constante y con el de temperatura variable,
no hay mucho cambio hasta alrededor de los 4000 m, que es donde se empieza a notar un cambio considerable, para
que, al final, a los 10000m haya un cambio de alrededor de 4500 Pa. Cambio que es proporcional a la variación de
temperatura.
Por último, la densidad fue la que tuvo un cambio más notorio, ya que depende tanto de la temperatura, como de la
presión, por ende, estas variaciones hacen que en el modelo de la temperatura variable la densidad a 10000m sea
diferente por .3 kg/m
3
que, considerando que la densidad a nivel del mar es de 1.225 kg/m
3
es un cambio de alrededor
de ¼ de la densidad del aire, cambio que es muy notorio y considerable.
Por último, con las ciudades podemos observar que la temperatura no solo depende de la altura, por lo que los modelos
cambian mucho con la temperatura corregida, ya que depende de varios factores, como la localización geográfica, la
contaminación de la ciudad, la zona en donde se encuentre el aeropuerto, la hora o de si hay algún fenómeno
meteorológico en la zona, por lo que al corregir la temperatura notamos varios cambios.
Como podemos observar, la presión no es un factor que haya sufrido muchas alteraciones, ya que el modelo de la
atmósfera estándar es un modelo muy preciso con las alturas, por lo que las variaciones en este campo son mínimas.
Por último, en las densidades si hay un cambio notorio, cosa que puede ser debido a los cambios en la temperatura, ya
que son distintas de las temperaturas con el modelo de la ISA.
Con estas gráficas, podemos ver que algunas de las variaciones no son tan notorias, y que el factor que más cambia es
la temperatura, debido a lo ya mencionado, el modelo de la ISA, no toma en cuenta otros factores como la zona
geográfica, que tan cerca o lejos del ecuador se encuentra la ciudad, el ambiente, la humedad, la hora, un frente frío o
cualquier fenómeno meteorológico que pueda estar pasando en la zona, cosa que está pasando en algunas de las
ciudades que se usaron para las gráficas.
VI. Conclusiones
Con estas gráficas hechas y la integral desarrollada, pude ver cuáles son las variables que se toman en cuenta para
realizar los modelos, así como que pude tomar en cuenta algunas de las variables para realizar los mismos.
Con este trabajo y con lo comentado en la clase, pude ver cuál es la importancia de la temperatura, la presión y la
densidad del aire y como se conectan entre sí para ser factores cruciales que hagan posible el vuelo de una aeronave.
La temperatura del aire afecta la densidad de este, como se puede observar en la ecuación de los gases ideales o con
la Ley de Charles. Como ya sabemos, cuando el aire está más caliente, tiende a expandirse, lo que hace que sea menos
denso, lo que significa que las alas de una aeronave generan menos sustentación. Por esto mismo, en condiciones de
alta temperatura, una aeronave necesita más velocidad para poder despegar, lo que puede llegar a traducirse en una
pista más larga, además de que una temperatura muy alta puede llegar a afectar la eficiencia de los motores.
La densidad del aire es crucial para generar sustentación, ya que cuanto más denso sea el aire, más sustentación es
creada por el movimiento de la aeronave, por ende, es más difícil poder despegar a una mayor altitud o en condiciones
meteorológicas muy adversas.
La presión también afecta la densidad del aire, ya que, cuando la presión es baja, la densidad del aire disminuye, lo
que, como ya se mencionó, puede dificultar a la fuerza de sustentación en la aeronave. Además de que la presión
afecta la eficiencia de los motores, ya que, al tener más presión, hay más oxígeno para poder realizar la combustión,
por tanto, a mayores altitudes se pueden requerir ajuste de los motores o sistemas de sobrealimentación para mantener
la potencia adecuada.
