















Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community for help and clear up your study doubts
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI HAAR Biến đổi (9đ)
Typology: Lecture notes
1 / 23
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
On special offer
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐỀ TÀI 23: GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI
HAAR
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐỀ TÀI 23: GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI
HAAR
CHƯƠNG 1: ĐỀ TÀI
1. Yêu cầu:
Haar.
CHƯƠNG 3: GIỚI THIỆU HAAR VÀ PHÉP ĐỔI HAAR
WAVELET
3.1 Tổng quan:
Trong toán học, các wavelet Haar là một chuỗi các chức năng “
hình vuông” rescaled mà cùng nhau tạo thành một gia đình wavelet hoặc
cơ sở. Phân tích Wavelet tương tự
như phân tích Fourier ở chỗ nó cho phép một hàm mục tiêu trong một khoảng
thời gian
được biểu diễn dưới dạng cơ sở trực giao. Trình tự Haar bây giờ được công
nhận là cơ sở
wavelet được biết đến đầu tiên và được sử dụng rộng rãi như một ví dụ giảng
dạy.
Các chuỗi Haar đã được đề xuất vào năm 1909 bởi Alfréd Haar. Haar sử dụng
các hàm
này để đưa ra một ví dụ về một hệ thống trực giao cho không gian của các hàm
có thể
tích phân vuông trong khoảng thời gian đơn vị [0, 1]. Các nghiên cứu về
wavelet, và
thậm chí cả thuật ngữ "wavelet", đã không đến cho đến sau này. Như một
trường hợp đặc
biệt của wavelet Daubechies , wavelet Haar còn được gọi là Db.
Haar wavelet cũng là wavelet đơn giản nhất có thể. Những bất lợi kỹ thuật của
wavelet
Haar là nó không phải là liên tục , và do đó không phải là khác biệt. Tuy nhiên,
tài sản
này có thể là một lợi thế cho việc phân tích các tín hiệu với sự chuyển đổi đột
ngột, chẳng
hạn như giám sát lỗi công cụ trong máy.
Hàm Haar wavelet thứ ba và hàm Haar wavelet thứ tư là dạng nén của hàm wavelet
mẹ,được gọi là các hàm wavelet con (daughter wavelet), xác định như sau:
φ
t
{
10 < t < 1
0 nếu ngược lại
ω ( t )=
{
1 0 < t <
< t < 1
0 nếu ngược lại
Hàm scaling j(t) và wavelet w(t) được mở rộng lên toàn bộ tập số thực R bằng cách cho
nhận giá trị 0 bên ngoài khoảng cơ bản:
φ ( t )=
{
10 < t < 1
0 nếu ngược lại
ω ( t )=
{
1 0 < t <
< t < 1
0 nếu ngược lại
Khi đó ta biểu diễn
φ ( t )= ղ (t)- ղ(t-1)
ω ( t )= ω ( 2 t )−¿ φ ( 2 t − 1 )=¿ ղ (t) -2 ղ (t-
) + ղ(t-1)
φ
3
( t )=¿ ω ( 2 t ) ,
φ
4
( t ) =¿ ω ( 2 t − 1 )
3.2 Biến đổi Haar:
Biến đổi Haar là đơn giản nhất của các biến đổi wavelet. Sự biến
đổi này nhân chéo một hàm với Haar wavelet với các thay đổi và
trải dài khác nhau, giống như phép biến đổi Fourier nhân chéo một
hàm chống lại sóng sin với hai pha và nhiều đoạn trải dài.
Biến đổi Haar là một trong những chức năng biến đổi lâu đời nhất,
được đề xuất vào năm 1910 bởi nhà toán học người Hungary Alfréd
Haar. Nó được tìm thấy hiệu quả trong các ứng dụng như nén tín
hiệu và hình ảnh trong kỹ thuật điện và máy tính vì nó cung cấp
một cách tiếp cận đơn giản và hiệu quả về mặt tính toán để phân
tích các khía cạnh địa phương của tín hiệu.
Biến đổi Haar bắt nguồn từ ma trận Haar. Các hàm Haar được định
nghĩa trong một khoảng liên tục t
[0, 1].
3.3 Cơ sở phép biến đổi Haar:
k
(t),(k=0,…,N-1) được xác định trên khoảng t
[0,1]. Hình dạng của hàm cụ thể của một chỉ số nhất định phụ thuộc vào hai tham
số p và q
Cơ sở phép biến đổi: k = 2
p
+q -
cho 2
p
là lũy thừa lớn nhất của 2 chứa trong k (
p
< k) và q -1 là
phần dư.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
p 0 0 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3
q 0 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8
H 8
=
√ 8
(
√
√
√
√
√
√
√
√
)
S
S
S
Ta có thể thấy là tất cả các hàm Haar h k
(t) (k > 0) chứa một hình dạng nguyên mẫu duy
nhất bao gồm một sóng vuông và phiên bản âm của nó:
p chỉ định độ lớn và chiều rộng (hoặc tỷ lệ) của hình dạng;
q xác định vị trí (hoặc sự dịch chuyển) của hình dạng.
Lưu ý rằng: các ma trận biến đổi Haar không chỉ có thể đại diện cho
các chi tiết trong tín hiệu của các thang đo khác nhau (tương ứng với
các tần số khác nhau) mà còn cả vị trí của chúng theo thời gian.
Tính chất của phép biến đổi Haar
Phép biến đổi Haar là thực và trực giao:
H = H*
H
= H
T
và H
T
H = I
VD: Với N = 4
4
− 1
4
4
T
4
(
√
√
√
√
)
Phép biến đổi Haar là phép biến đổi nhanh. Các vector cơ sở của ma
trận Haar được sắp xếp liên tục.
Phép biến đổi Haar có khả năng nén năng lượng kém nhất trong các
phép biến đổi đơn nguyên.
Ta có thể xem vd sau đây
VD 4.5.4 ( ĐSTT- Đặng Văn Vinh): Xét một phương pháp nén dữ liệu dựa trên biến
đổi Haar. Giả sử ta có đoạn dữ liệu X 0
= ( 152, 150, 156, 152,160,160, 152, 156)
T
. ta
chia dữ liệu thành từng cặp và tìm nửa tổng a và nửa hiệu d của các cặp. Khi đó ta
được dãy X 1
= (152, 154, 160, 154,2,2,0,-2)
T
với bốn số đầu tiên là nửa tổng của bốn
cặp, bốn số tiếp theo là nửa hiệu của các cặp.
Có thể dùng ma trân để mô tả quá trình này như sau.
Tức là đồ dài véctơ X và độ dài véctơ HX như nhau.
Ngoài ra góc giữa hai véctơ u và v thỏa cos
θ =
( u , v )
.
Qua phép biến đổi H, góc giữa hai véctơ Hu và Hv thỏa
Cos
φ =
( Hu , Hv )
( Hu )
T
( Hv )
u
T
T
Hv
u
T
v
( u , v )
cos
θ
. Hay góc giữa hai
véctơ u và v bằng với góc giữa hai ảnh Hu và Hv.
Phép biến đổi trực giao H bảo toàn góc và khoảng cách nên nó không làm thay đổi
hình dạng của ảnh trong quá trình nén.
Ta có thể tiếp tục quá trình nén ở trên như sau:
Véctơ Y 1
= H 1
X 0
= √
(152, 154, 160, 154,2,2,0,-2)
T
, với H 1
là ma trận H ở trên, có 4
phần tử sau nhỏ còn 4 phần tử đầu là những số lớn. Giữ bốn số sau của dãy lại. Đối
với bốn số đầu, ta chia làm hai cặp, tìm
Y 2
= H 2
Y 1
= (306;314;-2;6; √
2 ; √
2 ;0;- √
2 )
T
, với
H 2
=
(
√
√
√
√
√
√
√
√
)
Tiếp tục quá trình trên, giữ 6 số cuối của Y 2
lại. Hai số đầu được thay bởi nửa tổng và
hiệu của chúng, ta có Y 3
= H 3
Y 2
= (310√ 2 ;-4√ 2 ;-2;6;2√ 2 ;2√ 2 ;0;-2√ 2 )
T
, với
H 3
=
(
√ 2
√ 2
√
√
)
Tóm lại ta có Y 3
= H 3
H 2
H 1
X 0
<-> Y 3
= QX 0
.
Véctơ Y 3
chứa 7 số sau nhỏ. Giải nén dãy dữ liệu Y 3
tìm lại dãy X 0
= Q
Y 3
<-> X 0
=
Q
T
Y
3
, với
Q =
(
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ 2
−√ 2
√ 2
−√ 2
√ 2
−√ 2
√
√
)
4.2 Chương trình giải:
clc;clear;
coverIM = imread('C:\Users\Win 8.1\Desktop\my_matlab\tien.jpg');
coverIM = rgb2gray(coverIM);
XO = imresize(im2double(coverIM),[512 512]);
subplot(2,1,1);
imagesc(XO);title('Hinh anh ban dau')
axis off; axis square;
colormap gray ;
n = length(XO);
A = zeros(n,n);
m = 8;
Q =eye(1);
dem = 0;
while (m == 1)
At=A;
m = m/2;
for i =1:m
At(i,2*i-1) =1/2;
At(i,2*i) = 1/2;
At(i+m,2*i) =-1/2;
At(i+m,2*i)=-1/2;
end
for i = m*2+1:n
At(i,i) = 1;
end
for i =1:2*m
At(:,i) = At(:,i)/norm(At(:,i));
end
Q = At * Q;
dem =dem + 1;
end
subplot (2,1,2);
imwrite(Y,'output.jpg');
imagesc(Y);title('Hinh anh sau khi dung bien doi Haar')
axis off; axis square;
colormap gray;
Ta có các hình tương ứng như sau: