GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI HAAR Biến đổi (9đ), Lecture notes of Linear Algebra

Download GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI HAAR Biến đổi (9đ) and more Lecture notes Linear Algebra in PDF only on Docsity!

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI 23: GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI

HAAR

GVHD: THẦY BÙI ANH TUẤN

LỚP:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BỘ MÔN: VẬT LÝ ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI 23: GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI

HAAR

GVHD: THẦY BÙI ANH TUẤN

LỚP:

MỤC LỤC

• CHƯƠNG 1: ĐỀ TÀI....................................................................................
• 1. Yêu cầu:.................................................................................................
• 2. Nhiệm vụ:...............................................................................................
• CHƯƠNG 3: GIỚI THIỆU HAAR VÀ PHÉP ĐỔI HAAR WAVELET....................
• 3.1 Tổng quan:...........................................................................................
• 3.2 Haar Wavelet:......................................................................................
• học Hungary) giới thiệu năm 1910............................................................. Chúng ta bắt đầu với 4 hàm wavelet cơ bản được Alphré Haar (nhà toán
• 3.2 Biến đổi Haar:....................................................................................
• 3.3 Cơ sở phép biến đổi Haar:..................................................................
• 3.4 Ma trận Haar:.....................................................................................
• Chương 4: CHƯƠNG TRÌNH GIẢI MATLAB................................................
• 4.1 Các lệnh Matlab được sử dụng:..........................................................
• 4.2 Chương trình giải:...............................................................................
• CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN.............................................................................
• DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................

CHƯƠNG 1: ĐỀ TÀI

1. Yêu cầu:

• Giới thiệu phép biến đổi Haar.
• Viết chương trình sử dụng phép biến đổi Haar để nén dữ liệu. 2. Nhiệm vụ:
• Dùng matlab để triển khai việc nén ảnh thông qua phép biến đổi

Haar.

CHƯƠNG 3: GIỚI THIỆU HAAR VÀ PHÉP ĐỔI HAAR

WAVELET

3.1 Tổng quan:

Trong toán học, các wavelet Haar là một chuỗi các chức năng “

hình vuông” rescaled mà cùng nhau tạo thành một gia đình wavelet hoặc

cơ sở. Phân tích Wavelet tương tự

như phân tích Fourier ở chỗ nó cho phép một hàm mục tiêu trong một khoảng

thời gian

được biểu diễn dưới dạng cơ sở trực giao. Trình tự Haar bây giờ được công

nhận là cơ sở

wavelet được biết đến đầu tiên và được sử dụng rộng rãi như một ví dụ giảng

dạy.

Các chuỗi Haar đã được đề xuất vào năm 1909 bởi Alfréd Haar. Haar sử dụng

các hàm

này để đưa ra một ví dụ về một hệ thống trực giao cho không gian của các hàm

có thể

tích phân vuông trong khoảng thời gian đơn vị [0, 1]. Các nghiên cứu về

wavelet, và

thậm chí cả thuật ngữ "wavelet", đã không đến cho đến sau này. Như một

trường hợp đặc

biệt của wavelet Daubechies , wavelet Haar còn được gọi là Db.

Haar wavelet cũng là wavelet đơn giản nhất có thể. Những bất lợi kỹ thuật của

wavelet

Haar là nó không phải là liên tục , và do đó không phải là khác biệt. Tuy nhiên,

tài sản

này có thể là một lợi thế cho việc phân tích các tín hiệu với sự chuyển đổi đột

ngột, chẳng

hạn như giám sát lỗi công cụ trong máy.

Hàm Haar wavelet thứ ba và hàm Haar wavelet thứ tư là dạng nén của hàm wavelet

mẹ,được gọi là các hàm wavelet con (daughter wavelet), xác định như sau:

φ

t

{

10 < t < 1

0 nếu ngược lại

ω ( t )=

{

1 0 < t <

< t < 1

0 nếu ngược lại

Hàm scaling j(t) và wavelet w(t) được mở rộng lên toàn bộ tập số thực R bằng cách cho

nhận giá trị 0 bên ngoài khoảng cơ bản:

φ ( t )=

{

10 < t < 1

0 nếu ngược lại

ω ( t )=

{

1 0 < t <

< t < 1

0 nếu ngược lại

Khi đó ta biểu diễn

φ ( t )= ղ (t)- ղ(t-1)

ω ( t )= ω ( 2 t )−¿ φ ( 2 t − 1 )=¿ ղ (t) -2 ղ (t-

) + ղ(t-1)

φ

3

( t )=¿ ω ( 2 t ) ,

φ

4

( t ) =¿ ω ( 2 t − 1 )

3.2 Biến đổi Haar:

Biến đổi Haar là đơn giản nhất của các biến đổi wavelet. Sự biến

đổi này nhân chéo một hàm với Haar wavelet với các thay đổi và

trải dài khác nhau, giống như phép biến đổi Fourier nhân chéo một

hàm chống lại sóng sin với hai pha và nhiều đoạn trải dài.

Biến đổi Haar là một trong những chức năng biến đổi lâu đời nhất,

được đề xuất vào năm 1910 bởi nhà toán học người Hungary Alfréd

Haar. Nó được tìm thấy hiệu quả trong các ứng dụng như nén tín

hiệu và hình ảnh trong kỹ thuật điện và máy tính vì nó cung cấp

một cách tiếp cận đơn giản và hiệu quả về mặt tính toán để phân

tích các khía cạnh địa phương của tín hiệu.

Biến đổi Haar bắt nguồn từ ma trận Haar. Các hàm Haar được định

nghĩa trong một khoảng liên tục t

[0, 1].

3.3 Cơ sở phép biến đổi Haar:

• Họ các hàm N Haar h

k

(t),(k=0,…,N-1) được xác định trên khoảng t

[0,1]. Hình dạng của hàm cụ thể của một chỉ số nhất định phụ thuộc vào hai tham

số p và q

Cơ sở phép biến đổi: k = 2

p

+q -

• Với bất kỳ giá trị nào của k ≥ 0 , p và q được xác định duy nhất sao

cho 2

p

là lũy thừa lớn nhất của 2 chứa trong k (

p

< k) và q -1 là

phần dư.

• Ví dụ : khi N =16, p và q được xác định như sau:

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

p 0 0 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3

q 0 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8

H 8

=

√ 8

(

√

√

√

√

√

√

√

√

)

S

S

S

Ta có thể thấy là tất cả các hàm Haar h k

(t) (k > 0) chứa một hình dạng nguyên mẫu duy

nhất bao gồm một sóng vuông và phiên bản âm của nó:

 p chỉ định độ lớn và chiều rộng (hoặc tỷ lệ) của hình dạng;

 q xác định vị trí (hoặc sự dịch chuyển) của hình dạng.

Lưu ý rằng: các ma trận biến đổi Haar không chỉ có thể đại diện cho

các chi tiết trong tín hiệu của các thang đo khác nhau (tương ứng với

các tần số khác nhau) mà còn cả vị trí của chúng theo thời gian.

Tính chất của phép biến đổi Haar

Phép biến đổi Haar là thực và trực giao:

H = H*

H

= H

T

và H

T

H = I

VD: Với N = 4

H

4

− 1

H

4

= H

4

T

H

4

(

√

√

√

√

)

Phép biến đổi Haar là phép biến đổi nhanh. Các vector cơ sở của ma

trận Haar được sắp xếp liên tục.

Phép biến đổi Haar có khả năng nén năng lượng kém nhất trong các

phép biến đổi đơn nguyên.

Ta có thể xem vd sau đây

VD 4.5.4 ( ĐSTT- Đặng Văn Vinh): Xét một phương pháp nén dữ liệu dựa trên biến

đổi Haar. Giả sử ta có đoạn dữ liệu X 0

= ( 152, 150, 156, 152,160,160, 152, 156)

T

. ta

chia dữ liệu thành từng cặp và tìm nửa tổng a và nửa hiệu d của các cặp. Khi đó ta

được dãy X 1

= (152, 154, 160, 154,2,2,0,-2)

T

với bốn số đầu tiên là nửa tổng của bốn

cặp, bốn số tiếp theo là nửa hiệu của các cặp.

Có thể dùng ma trân để mô tả quá trình này như sau.

Tức là đồ dài véctơ X và độ dài véctơ HX như nhau.

Ngoài ra góc giữa hai véctơ u và v thỏa cos

θ =

( u , v )

‖ u ‖‖ v ‖

.

Qua phép biến đổi H, góc giữa hai véctơ Hu và Hv thỏa

Cos

φ =

( Hu , Hv )

‖ Hu ‖‖ Hv ‖

( Hu )

T

( Hv )

‖ u ‖‖ v ‖

u

T

H

T

Hv

‖ u ‖‖ v ‖

u

T

v

‖ u ‖‖ v ‖

( u , v )

‖ u ‖‖ v ‖

cos

θ

. Hay góc giữa hai

véctơ u và v bằng với góc giữa hai ảnh Hu và Hv.

Phép biến đổi trực giao H bảo toàn góc và khoảng cách nên nó không làm thay đổi

hình dạng của ảnh trong quá trình nén.

Ta có thể tiếp tục quá trình nén ở trên như sau:

Véctơ Y 1

= H 1

X 0

= √

(152, 154, 160, 154,2,2,0,-2)

T

, với H 1

là ma trận H ở trên, có 4

phần tử sau nhỏ còn 4 phần tử đầu là những số lớn. Giữ bốn số sau của dãy lại. Đối

với bốn số đầu, ta chia làm hai cặp, tìm

Y 2

= H 2

Y 1

= (306;314;-2;6; √

2 ; √

2 ;0;- √

2 )

T

, với

H 2

=

(

√

√

√

√

√

√

√

√

)

Tiếp tục quá trình trên, giữ 6 số cuối của Y 2

lại. Hai số đầu được thay bởi nửa tổng và

hiệu của chúng, ta có Y 3

= H 3

Y 2

= (310√ 2 ;-4√ 2 ;-2;6;2√ 2 ;2√ 2 ;0;-2√ 2 )

T

, với

H 3

=

(

√ 2

√ 2

√

√

)

Tóm lại ta có Y 3

= H 3

H 2

H 1

X 0

<-> Y 3

= QX 0

.

Véctơ Y 3

chứa 7 số sau nhỏ. Giải nén dãy dữ liệu Y 3

tìm lại dãy X 0

= Q

Y 3

<-> X 0

=

Q

T

Y

3

, với

Q =

(

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√ 2

−√ 2

√ 2

−√ 2

√ 2

−√ 2

√

√

)

4.2 Chương trình giải:

clc;clear;

coverIM = imread('C:\Users\Win 8.1\Desktop\my_matlab\tien.jpg');

coverIM = rgb2gray(coverIM);

XO = imresize(im2double(coverIM),[512 512]);

subplot(2,1,1);

imagesc(XO);title('Hinh anh ban dau')

axis off; axis square;

colormap gray ;

n = length(XO);

A = zeros(n,n);

m = 8;

Q =eye(1);

dem = 0;

while (m == 1)

At=A;

m = m/2;

for i =1:m

At(i,2*i-1) =1/2;

At(i,2*i) = 1/2;

At(i+m,2*i) =-1/2;

At(i+m,2*i)=-1/2;

end

for i = m*2+1:n

At(i,i) = 1;

end

for i =1:2*m

At(:,i) = At(:,i)/norm(At(:,i));

end

Q = At * Q;

dem =dem + 1;

end

Y = Q * XO;

subplot (2,1,2);

imwrite(Y,'output.jpg');

imagesc(Y);title('Hinh anh sau khi dung bien doi Haar')

axis off; axis square;

colormap gray;

Ta có các hình tương ứng như sau: