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Este documento explora el concepto de función de transferencia en sistemas físicos, proporcionando una introducción a la teoría clásica del automatismo. Se analizan las propiedades de la función de transferencia, incluyendo polos y ceros, y se ilustran con ejemplos prácticos. Se incluyen diagramas de bloques y problemas para comprender la aplicación de la función de transferencia en el análisis de sistemas.
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La teoría clásica del automatismo, se caracteriza por la introducción del concepto de la función de transferencia, lo que supone una descripción matemática ( por la utilización de la transformada de Laplace) de un sistema físico. Una vez determinada la función de transferencia, es posible conocer lo siguiente: a. El comportamiento de un sistema en cada situación, según la entrada que se produzca en el sistema, sabremos cuál será su respuesta o salida. b. Su estabilidad. Se debe saber si la respuesta del sistema se mantiene siempre dentro de unos límites determinados, o, por el contrario, en algún momento va a responder de forma no controlada (sistema inestable). c. Los valores que se pueden aplicar a determinados parámetros del sistema de manera que sea estable.
La función de transferencia G(s) de un sistema, se define como el cociente entre las transformadas de Laplace de las señales de salida y la de entrada. Entrada Salida r(t) c(t) Entrada Salida R(s) C(s) La función de transferencia: G(s) = L [ c t ] L [ r t ]
C s R s La función de transferencia G(s) depende únicamente de las propiedades físicas de los componentes del sistema , no de la señal de entrada aplicada. La función de transferencia se puede expresar como el cociente entre dos polinomios de variable compleja de Laplace G(s) = N s D s
b 0. s m b 1. s m − 1 ... bm a 0. s n a 1. s n − 1 ... an Sistema Sistema
d. Punto de derivación.- Son puntos por los que la señal se lleva por uno o mas caminos y las flechas indican el sentido el flujo de información e. Conexión en serie.- La función de transferencia global para un sistema compuesto de n bloques en serie es igual al producto de las funciones de transferencia aisladas. f. Conexión en paralelo.- La función de transferencia global para un sistema compuesto de n bloques en paralelo es igual a la suma de las funciones de transferencia aisladas.
g. Conexión de lazo o cerrado. R(S) = E(S) – B(S) ;; S(S) = GR ;; B = HS ;; S = G * ( E-B) ;; S+GB = GE S + GHS = GE ;; S(S) =**
h. Transposición de sumadores.- Tipo a. S(s) = G * ( E + D) = GE + GD** Propiedad distributiva.
j.- Propiedad asociativa de los conectores. S = A + B + C = (A+B) + C = (A+C)+B Problema 1.- Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques: G´(S) = G 1 – 1 ;; G ¨ = G 2. (G 1 – 1) ;; GF = [ G 2 (G 1 – 1) + 1] C(S) = GF * R(S) Problema 2.- Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques: Lo primero que se ha de hacer es transformar el bloque central :
Las raíces de la ecuación característica, D(S), se denominan polos. Las raíces del numerador, N(S), se denominan ceros, ya que hacen cero la función de transferencia G(S). Las raíces de la ecuación característica serán S = σ + ω j. Para que el sistema sea estable debe de ocurrir que la parte real de la solución sea negativa: σ Є R- El cálculo de los polos es interesante para determinar su estabilidad; el conocimiento de los polos es importante para evaluar los efectos que la modificación de un parámetro produce en el comportamiento del sistema. Como ya se ha estudiado, la condición necesaria y suficiente para que el sistema sea estable, ha de cumplir que sus polos se encuentren en el semiplano negativo de Laplace. Problema 3.- Determinar el margen de K para que el sistema de bloques representativo sea estable. Resolución.- Lo primero que se ha de calcular es la función característica a partir de la de transferencia. G´(s) = G s 1 G s
C s R s
s 1 s 2 1
s 1 s 2
N s D s
Resolviendo la fracción se obtiene: G´(s) =
s 1 s 2 K La ecuación característica, D(s) = (s+1)(s+2)+K = s^2 + 3 s + (2+K) Haciendo igual a cero para determinar los polos, se obtiene la ecuación: s^2 + 3 s + (2+K) = 0 , siendo s =
2 −4. K 2 2 < 0 , para que el sistema sea estable. 9 > 9 – 4 ( K+2) ;; K+2 > 0 K > - 2 Para determinar la estabilidad o no de un sistema, se recurre a la regla de Routh.
Resolución.- Ecuación característica D(s) = s^2 +15 s + 2 = 0 s =
2 − 4. 2 < 0 ;; el sistema siempre es estable. Problema 6 .- Determinar el valor de K para que el sistema sea estable. Resolución.- La función de transferencia será : M(s) = G s 1 G s
s s 2 s 1 s 2 1
s s 2 s 1 s 2
s s 2 s 1 s 2 K D(s) = s^4 + 3 s^3 + 3 s^2 + 2s + K = 0 S^4! 1 3 K S^3! 3 2 S^2! 7/3 K El sistema es inestable, hay cambio de signo. S^1! D 0 D = ((14/3)-3K)/(7/3) =
La función de transferencia de un sistema de bloques permite obtener la información necesaria sobre el comportamiento del mismo en cuento a sus relaciones excitación-respuesta. A lo largo del tiempo se pueden distinguir los siguientes tipos de respuestas: a. Respuesta permanente.- Es aquella que ofrece un sistema en el momento en que sus variables se han estabilizado y presentan un valor normal de funcionamiento. b. Respuesta transitoria.- Es aquella que se produce en un sentido cuando, al estar sus variables sin estabilizar, aún no se ha alcanzado el régimen permanente. Esta parte de la respuesta tiende a anularse a medida que va pasando el tiempo. La respuesta transitoria es muy importante para explicar el comportamiento de un sistema ante la respuesta permanente de una entrada. La respuesta transitoria debe de ser la adecuada, por lo que es necesario ajustar una serie de parámetros para que así sea. En estado transitorio la respuesta se caracteriza fundamentalmente por un comportamiento dinámico del sistema, en cuento a su estabilidad y rapidez; por el contrario, la respuesta en régimen permanente establece una idea de precisión y de equilibrio del sistema. Las señales que establecen la respuesta del sistema ante una determinada entrada, pueden variar en el tiempo de una forma lenta o de una forma rápida o incluso al azar. Las entradas teóricas más utilizadas son las de escalón, las de rampa o las de impulso. Se va a estudiar, por su simplicidad, la entrada en función de escalón. La función escalón se define como: r(t) = 0 , para t < 0 r(t) = k , para t ≥ 0 Cuando el valor del parámetro k = 1 , la función es unitaria. Si r(t) = 1 , la transformada de Laplace será L[r(t)] =
s = R(s) La función de transferencia será :
G(s) = siendo T la constante de tiempo del sistema. C(s) = R(s). G(s) =
s
Observando la tabla de las transformadas inversas de Laplace: c(t) = K – K. e − Tt K es la amplitud final en régimen permanente El parámetro K, recibe el nombre de ganancia estática del sistema de primer orden. Es el valor que adopte la salida en régimen permanente para una entrada de escalón unitario. Si t = T c(T) = K ( 1 – e-1) = 0,6321 K c(2T) = 0,8646 K c(3T) = 0,9502 K , prácticamente el valor de K T es la constante de tiempo que representa el valor del tiempo en donde la respuesta es el 63,21 % de la respuesta final. Representando la función c(t) frente a t , la respuesta será: Se puede decir que los polos retrasan la respuesta, hace que ésta sea más lenta y menos brusca. Los polos indican el comportamiento del sistema en los transitorios. Cuanto más alejado se encuentre el polo del origen de coordenadas, mayor será la pendiente del estado transitorio y mas brusca será la respuesta.
1 T. s K 1 T. s
s
1 T. s
Respuesta ideal unitario Respuesta real ante escalón unitario de orden uno
Los polos, por lo tanto, van a determinar que la respuesta del sistema ante una entrada, sea más lenta y definen el comportamiento del sistema. Cuando el orden del sistema es superior a uno, se producen una serie de oscilaciones limitadas. En la figura siguiente, se representa un sistema de orden dos y ningún cero, ante la entrada de escalón unitario. Se observa una sobreoscilación que se produce en torno a la salida de régimen permanente.
a. Sistemas mecánicos.- Los sistemas mecánicos de regulación suelen ser de traslación, de rotación y combinación de ambas. En el caso de sistema mecánico de traslación, se cumplirá la ley de Newton : R = ∑ Fi = m. a
M.s 2 F(s) = M s^2. X(s) En el caso de la recuperación elástica de un muelle : f(t) = k. y(t) , siendo k la constante de elasticidad del muelle. La función de Laplace será : G(s) =
k F(s) = k. Y(s) Al aplicar la fuerza F(s) de entrada se produce una elongación en el resorte Y(s) que es la salida. Es un sistema de orden cero. Si al sistema se le somete a una entrada de escalón unitari, la salida será también de escalón y será: Y(s) = F(s). G(s) =
s
k ; la transformada inversa resulta, y(t) =
k y(t)
En el proceso de la transmisión de un fluido en régimen laminar: f(t) = η. d y t d t
. La función de Laplace será : G(s) =
. s siendo η , la viscosidad del fluido medido en dp (decapoises) Problema 7.- Determinar la función de transferencia para el siguiente sistema de la figura que recupera el muelle sin amortiguación y con amortiguación. M. d^2 x t d t 2 = - k x + f(t)^ M.^ d^2 x t d t 2 = - k x -^ β^ d x t d t
