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Estos apuntes de clase exploran las vibraciones en redes cristalinas, un tema fundamental en la física del estado sólido. Se analizan las vibraciones de una cadena lineal monoatómica, incluyendo la relación de dispersión, la velocidad de grupo y las ondas estacionarias. También se estudian las vibraciones de una cadena lineal diatómica, con la introducción de las ramas acústica y óptica en la relación de dispersión. Se incluyen ejemplos como la vibración de una molécula de co2 y la curva de dispersión del diamante. Estos apuntes son una excelente introducción a la dinámica de las redes cristalinas y su importancia en la comprensión de las propiedades físicas de los materiales.
Typology: Study notes
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1
Bibliografía del curso
Co.
2
Existen fuerzas que restauran la posición de
equilibrio en los sólidos
Los átomos en la red no se encuentran
fijos, sino que se mueven alrededor de la
posición de equilibrio
Este movimiento relativo de los átomos se
modela a través de resortes
De la unidad anterior…….
4
Consideremos una cadena lineal de átomos idénticos de masa M , separados una
distancia a (constante de la red). Supongamos que existe una deformación longitudinal y
que la fuerza que se ejerce sobre los átomos se puede describir por la ley de Hooke
Constante de fuerza
un , un- 1 , un+ 1 - desplazamiento
de los átomos n, n- 1 y n+ 1 de
sus posiciones de equilibrio
5
La fuerza ejercida sobre el átomo n causada por el desplazamiento del átomo n+1 es
proporcional a la diferencia de los desplazamientos un+1 – un
( ) ( ) n n n n n
Consideramos solo los
vecinos más próximos
Teniendo en cuenta las leyes de la mecánica clásica 𝐹 = 𝑚 𝑎
( ) n n n
n C u u u
dt
d u M (^) 1 1 2 2
2
= (^) + + − −
Masa del átomo
C – depende de la dirección del desplazamiento
7
𝑖(𝑘𝑛𝑎−𝜔𝑡)
( (^) n n n )
n C u u u
dt
d u M (^) 1 1 2 2
2
= (^) + + − −
2
𝑖𝑘𝑛𝑎
𝑖𝑘𝑛𝑎
𝑖𝑘 𝑛+ 1 𝑎
𝑖𝑘 𝑛− 1 𝑎
Se cancelan factores comunes
Se utiliza la fórmula de Euler
8
2
sin
4 ka
M
C
Relación de dispersión para una cadena monoatómica
a
k
a
−
Toda la información está contenida en la
1era Zona de Brillouin
Relación de dispersión de los fonones para una cadena monoatómica
Caso λ >> a, k (^0)
…como si fuera un medio continuo
b) Cuando la longitud de onda empieza a disminuir
=
k (^) • Los átomos comienzan a dispersar la onda
2 k =
La zona de Brillouin esta definida como la
celda de Wigner-Seitz para la red recíproca
Para una red de constante 𝑎
La definición de Zona de Brillouin es otra
interpretación geométrica de la condición
de difracción:
2 k • G = G
Si escribimos esta expresión de la
forma:
2
Si construimos un plano normal a la bisectriz
del vector G, cualquier vector de onda k,
desde el origen hasta el plano satisface la
condición de difracción
GC 2
1
GD 2
1
1
16
En la frontera de la ZB la solución de un no representa una onda viajera sino una onda
estacionaria
( ) ( )
n un = u exp in = u − 1
✓ Los átomos oscilan en fases opuestas
✓ Los nodos permanecen inmóviles
1717
Valores superiores de k solo reproducen
movimientos ya descritos por los valores
comprendidos entre π/a y - π/a
k
a
a
n k k
2 = − n veces G
c) Cuando la longitud de onda disminuye aún mas…
a) Cuando la longitud de onda es grande: caso λ >> a
b) Cuando la longitud de onda empieza a disminuir: caso λ=2a
19
Hay dos modos de vibración en la red: longitudinal y transversal
20
2
n- 1
n
n
n+
n+
Red diatómica de masas M 1 y M 2 unidas por una constante de fuerza C
