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Física del Estado Sólido: Vibraciones en Redes Cristalinas, Study notes of Physics

Estos apuntes de clase exploran las vibraciones en redes cristalinas, un tema fundamental en la física del estado sólido. Se analizan las vibraciones de una cadena lineal monoatómica, incluyendo la relación de dispersión, la velocidad de grupo y las ondas estacionarias. También se estudian las vibraciones de una cadena lineal diatómica, con la introducción de las ramas acústica y óptica en la relación de dispersión. Se incluyen ejemplos como la vibración de una molécula de co2 y la curva de dispersión del diamante. Estos apuntes son una excelente introducción a la dinámica de las redes cristalinas y su importancia en la comprensión de las propiedades físicas de los materiales.

Typology: Study notes

2023/2024

Uploaded on 11/14/2024

jose-valdes-16
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1
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
Bibliografía del curso
1. Kittel C. “Introduction to Solid State Physics”, (2004) John Wiley &Son Ltd
2. McKelvey J.P. (1993) Solid State Physics for Engineering and Materials ScienceKrieger Pub .
Co.
3. Ali Omar M. (1975) “Elementary Solid State PhysicsAddison Wesley Pub. Co.
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1

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO

Bibliografía del curso

  1. Kittel C. “Introduction to Solid State Physics”, (2004) John Wiley &Son Ltd
  2. McKelvey J.P. (1993) “Solid State Physics for Engineering and Materials Science” Krieger Pub.

Co.

  1. Ali Omar M. (1975) “Elementary Solid State Physics” Addison Wesley Pub. Co.

2

Existen fuerzas que restauran la posición de

equilibrio en los sólidos

Los átomos en la red no se encuentran

fijos, sino que se mueven alrededor de la

posición de equilibrio

Este movimiento relativo de los átomos se

modela a través de resortes

De la unidad anterior…….

4

Vibraciones de una cadena lineal monoatómica

Consideremos una cadena lineal de átomos idénticos de masa M , separados una

distancia a (constante de la red). Supongamos que existe una deformación longitudinal y

que la fuerza que se ejerce sobre los átomos se puede describir por la ley de Hooke

F = Cx

Constante de fuerza

un , un- 1 , un+ 1 - desplazamiento

de los átomos n, n- 1 y n+ 1 de

sus posiciones de equilibrio

5

La fuerza ejercida sobre el átomo n causada por el desplazamiento del átomo n+1 es

proporcional a la diferencia de los desplazamientos un+1 – un

( ) ( ) n n n n n

F = C u − u + u − u

  • 1 − 1

Consideramos solo los

vecinos más próximos

Teniendo en cuenta las leyes de la mecánica clásica 𝐹 = 𝑚 𝑎

( ) n n n

n C u u u

dt

d u M (^) 1 1 2 2

2

= (^) + + − −

Masa del átomo

C – depende de la dirección del desplazamiento

7

𝑖(𝑘𝑛𝑎−𝜔𝑡)

( (^) n n n )

n C u u u

dt

d u M (^) 1 1 2 2

2

= (^) + + − −

2

𝑖𝑘𝑛𝑎

𝑖𝑘𝑛𝑎

𝑖𝑘 𝑛+ 1 𝑎

𝑖𝑘 𝑛− 1 𝑎

Se cancelan factores comunes

Se utiliza la fórmula de Euler

8

2

sin

4 ka

M

C

Relación de dispersión para una cadena monoatómica

a

k

a

−  

Toda la información está contenida en la

1era Zona de Brillouin

Relación de dispersión de los fonones para una cadena monoatómica

Caso λ >> a, k (^0)

…como si fuera un medio continuo

k

b) Cuando la longitud de onda empieza a disminuir

sin

4 ka

M

C

 =

k (^) • Los átomos comienzan a dispersar la onda

  • Disminuye la velocidad de la onda que se propaga

Cuando λ=2a

2  k =

Zonas de Brillouin

La zona de Brillouin esta definida como la

celda de Wigner-Seitz para la red recíproca

Para una red de constante 𝑎

La definición de Zona de Brillouin es otra

interpretación geométrica de la condición

de difracción:

2 kG = G

 

Si escribimos esta expresión de la

forma:

2

k • G G

Si construimos un plano normal a la bisectriz

del vector G, cualquier vector de onda k,

desde el origen hasta el plano satisface la

condición de difracción

GC 2

1

GD 2

1

C

D

k

1

k 2

Los planos definen las fronteras de las

Zonas de Brillouin

16

Ondas estacionarias

En la frontera de la ZB la solución de un no representa una onda viajera sino una onda

estacionaria

( ) ( )

n un = u exp  in  = u − 1

✓ Los átomos oscilan en fases opuestas

✓ Los nodos permanecen inmóviles

1717

Valores superiores de k solo reproducen

movimientos ya descritos por los valores

comprendidos entre π/a y - π/a

k

a

a

n k k

2  =  − n veces G

c) Cuando la longitud de onda disminuye aún mas…

a) Cuando la longitud de onda es grande: caso λ >> a

b) Cuando la longitud de onda empieza a disminuir: caso λ=2a

19

Hay dos modos de vibración en la red: longitudinal y transversal

Longitudinales Transversales

20

Vibraciones de una cadena lineal diatómica

Cuando el cristal tiene dos átomos como base aparecen dos ramas

en la relación de dispersión: acústica y óptica

a

M 1

M

2

k

u

n- 1 v

n- 1

u

n

v

n

u

n+

v

n+

Red diatómica de masas M 1 y M 2 unidas por una constante de fuerza C