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Primer examen de práctica – Unidad 3 – Probabilidad y estadística
descriptiva
Nombre___________________________________Fecha_________Hora_______
Instrucciones: Para cada inciso, determina el tipo de experimento
que es, qué se considera un éxito dentro del experimento y la
probabilidad en notación P(X=k).
- El dueño de una casa planta 6 bulbos seleccionados al azar de una
caja que contiene 5 bulbos de tulipán y 4 de narciso. ¿Cuál es la
probabilidad de que plante 2 bulbos de narciso y 4 de tulipán?
Experimento hipergeométrico, razones:
- Se trabaja con una población (5 bulbos de tulipán y 4 de
narciso).
- La selección se efectúa sin remplazo (si hubiera remplazo sería
binomial)
- Los resultados se pueden clasificar en dos categorías: éxito y
fracaso
Éxito: al tomar un bulbo al azar, este es de narciso
Reestructuración del problema:
De una población de 9 bulbos (N=9), 4 de narciso (M=4) y 5 de tulipán
(N-M=5), se toma una muestra de 6 bulbos (n=6) ¿Cuál es la
probabilidad de que, de esta muestra, dos bulbos sean de narciso
(k=2)?
Con la aplicación, seleccionan “hypergeometric” y llenan los campos:
La elección del éxito y el fracaso es en gran parte arbitraria. Sin
embargo, no importa la elección del éxito, si es congruente con el
problema el resultado debe ser el mismo.
- Se estima que 4000 de los 10,000 residentes con derecho al voto
de una ciudad están en contra de un nuevo impuesto sobre las ventas.
Si se seleccionan al azar 15 votantes y se les pide su opinión, ¿cuál
es la probabilidad de que a lo sumo 7 estén a favor del nuevo
impuesto?
Experimento hipergeométrico, razones:
- Se trabaja con una población (residentes)
- La selección se efectúa sin remplazo (si hubiera remplazo sería
binomial)
- Los resultados se pueden clasificar en dos categorías: éxito y
fracaso (a favor o en contra del nuevo impuesto)
Éxito: al seleccionar un residente al azar, este está a favor del
nuevo impuesto.
El resultado de la aplicación es más exacto.
- Suponga que la probabilidad de que una determinada persona crea
un rumor acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es de
0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que a) la sexta persona que escuche
este rumor sea la cuarta en creerlo? b) la tercera persona que
escuche este rumor sea la primera en creerlo?
Distribución binomial negativa, razones:
- Hay una secuencia de intentos independientes (como la binomial)
- Cada intento tiene solo dos posibles resultados: éxito (creer
el rumor) o fracaso (no creerlo), (como la binomial)
- La probabilidad de éxito es constante en cada intento (en este
caso, 𝑝=0.8, (como la binomial)
- El objetivo es encontrar el número de intentos necesarios para
alcanzar un número específico de éxitos.
La única diferencia entre binomial y binomial negativa es que en
binomial negativa se busca la probabilidad de obtener el k-ésimo
éxito justo al mismo tiempo en que se da el n-ésimo ensayo. Mientras
que en binomial se busca k éxito en n ensayos, sin la restricción de
que el último éxito se dé en el último ensayo.
Éxito: una persona cree el rumor.
Reestructuración del problema:
La probabilidad de que una persona determinada crea un rumor acerca
de las transgresiones de cierta actriz famosa es de 0.8 (p=0.8). a)
¿cuál es la probabilidad de que la sexta persona que escuche el rumor
(n=6) sea exactamente la cuarta en creerlo (k=4)? b) ¿cuál es la
probabilidad de que la tercera persona que escuche este rumor (n=3)
sea exactamente la primera en creerlo (k=1)?
Distribución binomial negativa
:
BC:
a)
D
ECD
b)
F
GCF
con la aplicación seleccionan “Negative Binomial (II)” y llenan los
campos
a) b)
a) b)
- Una máquina llena 10,000 latas de bebida gaseosa por hora, de
entre las cuales 300 resultan con el líquido incompleto. Cada hora
se elige al azar una muestra de 30 latas y se verifica el número de
onzas de gaseosa que contiene cada una. Denote con X el número de
latas seleccionadas con llenado insuficiente. a) Encuentre la
probabilidad de encontrar al menos una de las latas muestreadas con
llenado insuficiente. b) ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra
para que la probabilidad de encontrar al menos una lata defectuosa
sea mayor al 95%?
Este ejercicio es confuso, en primera nos podríamos ir por
hipergeométrica. Sin embargo, analizando el problema, esto pasa cada
hora. Habría que ver si esas 300 latas son una certeza o una
aproximación. En el contexto de la vida real, podríamos suponer que
esas 300 latas son un valor esperado y no una certeza, por lo que
esto convierte al experimento en binomial (lo mismo se puede decir
de una moneda, 50 de cada 100 lanzamientos cae sello, esto es un
valor esperado y no una certeza). Por suerte, la cantidad de ensayos
que se manejan hace que se puedan usar binomial, hipergeométrica o
incluso Poisson sin mayores consecuencias. Pero estrictamente
hablando, tendría que ser binomial.
Razones:
Número fijo de ensayos: En cada muestra, se seleccionan 30 latas,
por lo que el número de ensayos es fijo (n=30).
Dos resultados posibles: Cada lata puede clasificarse en una de dos
categorías: con llenado insuficiente (éxito) o con llenado adecuado.
Esto satisface la condición de la binomial de tener solo dos
resultados posibles en cada ensayo.
Probabilidad constante de éxito: La probabilidad de que una lata
tenga llenado insuficiente es la misma para cada ensayo. Dado que se
sabe que aproximadamente 300 de cada 10,000 latas están defectuosas,
la probabilidad de seleccionar una lata con llenado insuficiente es:
p=300/10,000=0.03. Esta probabilidad es constante para cada una de
las latas seleccionadas.
Reestructuración del problema:
Una máquina llena 10,000 latas de bebida gaseosa por hora, de entre
las cuales aproximadamente 300 resultan con el líquido incompleto
(p=0.03). Cada hora se elige al azar una muestra de 30 latas (n=30)
y se verifica el número de onzas de gaseosa que contiene cada una.
Denote con X el número de latas seleccionadas con llenado
insuficiente. a) Encuentre la probabilidad de encontrar al menos una
de las latas muestreadas con llenado insuficiente (k>=1) b) ¿Cuál
debería ser el tamaño de la muestra para que la probabilidad de
encontrar al menos una lata defectuosa sea mayor al 95%?
:
BC:
B
:
a)
:
G<C:
B
:
<
BC:
b) Método matemático:
<
B
