Faculdade de Ciˆencias & Tecnologia
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Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica I
Cursos: Mat., EQB, EA, EE, EC, EM, EGI, EIC – 1ºAno
No¸c˜ao do corpo. Matriz: defini¸c˜ao, tipos e opera¸c˜oes
Jo˜ao Carlos Lopes Horta
Praia, Outubro de 2021
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estudo sobre algebra linear e geometria analitica, Cheat Sheet of Very large scale integration (VLSI)
matriz e mundança de base caracteristica de matriz
Typology: Cheat Sheet
2023/2024
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Faculdade de Ciˆencias & Tecnologia
Algebra Linear e Geometria Anal´^ ´ ıtica I
Cursos: Mat., EQB, EA, EE, EC, EM, EGI, EIC – 1º Ano
No¸c˜ao do corpo. Matriz: defini¸c˜ao, tipos e opera¸c˜oes
Jo˜ao Carlos Lopes Horta
Praia, Outubro de 2021
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
1 No¸c˜ao e exemplos de Corpo
Definic¸˜ao 1.1 (Opera¸c˜ao bin´aria). Seja um conjunto X 6 = ∅. Diz-se que a opera¸c˜ao ∗ ´e uma opera¸c˜ao bin´aria em X se, para quaisquer a, b ∈ X , tem-se a ∗ b ∈ X_._
Definic¸˜ao 1.2 (Corpo). Sejam + e · duas opera¸c˜oes bin´arias num conjunto F 6 = ∅. Diz-se que o terno ordenado (F , + , ·) — ou simplesmente F , ficando subentendido as opera¸c˜oes em causa — ´e um corpo se as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas:
1. A opera¸c˜ao + goza da propriedade associativa, ou seja, ∀ a, b, c ∈ F ( a + ( b + c ) = ( a + b ) + c )_.
- Existe o elemento neutro em rela¸c˜ao
a_ + _, ou seja,_ ∃ _e_ +∀ _a_ ∈ F ( _a_ + _e_ + = _e_ + + _a_ = _a_ )_. O elemento neutro em rela¸c˜aoa opera¸c˜ao bin´aria_ + denomina-se por zero do corpo e representa- se por 0 _(zero). - Todo elemento de_ F tem sim´etrico, ou seja, ∀ a ∈ F∃ b ∈ F ( a + b = b + a = e +). Diz-se assim, que b ´e sim´etrico de a e que a ´e sim´etrico de b. O sim´etrico do elemento a ∈ F representa-se por − _a.
- A opera¸c˜ao_ + goza da propriedade comutativa, ou seja, ∀ a, b ∈ F ( a + b = b + a )_.
- A opera¸c˜ao_ · goza da propriedade associativa, ou seja, ∀ a, b, c ∈ F ( a · ( b · c ) = ( a · b ) · c )_.
- A opera¸c˜ao_ · ´e distributiva em rela¸c˜ao `a + , ou seja, ∀ a, b, c, ∈ F ( a · ( b + c ) = a · b + a · c ∧ ( b + c ) · a = b · a + c · a )_.
- Existe o elemento neutro em rela¸c˜ao
a_ · _, ou seja,_ ∃ _e_ · ∀ _a_ ∈ F _, a_ · _e_ · = _e_ · · _a_ = _a. O elemento neutro em rela¸c˜aoa_ · denomina-se por unidade do corpo e representa-se por 1 _(um). - A opera¸c˜ao_ · goza da propriedade comutativa, ou seja, ∀ a, b ∈ F ( a · b = b · a )_.
- Excetuando o zero do corpo, todo elemento de_ F tem inverso, ou seja, ∀ a ∈ F ∧ a 6 = 0∃ b ∈ F ( a · b = b · a = e ·). Diz-se assim, que b ´e inverso de a e que a ´e inverso de b. O inverso de a representa-se por a −^1_._
Exemplo 1.1. Sejam + e · , as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao usuais em R_. Ent˜ao:_
1. O terno (R , + , ·) ´e um corpo, o Corpo dos N´umeros Reais , tamb´em designado, simplesmente, pelo corpo R_.
- O terno_ (Q , + , ·) ´e um corpo, o Corpo dos N´umeros Racionais , tamb´em designado, simplesmente, pelo corpo Q_._
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
2. Matriz linha : matriz que tem apenas uma linha (e qualquer n´umero de colunas). Por exemplo, a matriz B =
[ 1 − 3
]
tem uma linha e quatro colunas (matriz de dimens˜ao 1 × 4 ).
3. Matriz coluna : matriz que tem apenas uma coluna (e n´umero de linhas qualquer). Por exemplo, a matriz
D =
π −√ 2 2 2
tem uma coluna e 3 linhas (matriz de dimens˜ao 3 × 1 ).
4. Matriz quadrada : ´e uma matriz cujo o n.º de linhas ´e igual ao n.º de colunas. Se esse n´umero ´e igual a n ∈ N , diz-se matriz quadrada de ordem n. Por exemplo, a matriz
E =
´e uma matriz quadrada de ordem 3_. Um outro exemplo, pode ser a matriz B_ = [ bij ] quadrada de ordem 4 , que satisfaz a seguinte condi¸c˜ao: bij = ij −^1_. Esta matriz pode ser representada utilizando a tabela, da seguinte forma:_
B =
2.2 Submatriz: no¸c˜ao e representa¸c˜ao
Definic¸˜ao 2.2 (Submatriz). Uma submatriz de uma matriz A, do tipo m × n, ´e uma matriz do tipo p × q, com 1 ≤ p ≤ m e 1 ≤ q ≤ n, obtida por supress˜ao de alguma(s) linha(s) e/ou alguma(s) coluna(s) de A.
Anotac¸˜oes
Se i 1 < i 2 <... < ip
s˜ao elementos de { 1 , 2 , 3 ,... , m }
e j 1 < j 2 <... < jq
s˜ao elementos de { 1 , 2 , 3 ,... , n } ,
ent˜ao, A [ i 1 , i 2 ,... , ip | j 1 , j 2 ,... , jq ]
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
representa a submatriz de A formada pelos elementos que ficam na intersec¸c˜ao das linhas
i 1 , i 2 ,... , ip
e colunas j 1 , j 2 ,... , jq
de A ; e A ( i 1 , i 2 ,... , ip | j 1 , j 2 ,... , jq )
representa a submatriz de A que se obt´em eliminando as linhas
i 1 , i 2 ,... , ip
e colunas j 1 , j 2 ,... , jq ;
de A.
Exemplo 2.2. Seja
A =
Ent˜ao:
A [1 , 3 | 2 , 3 , 4] =
[ 2 3 4 − 2 − 3 − 4
] = A (2 , 4 | 1).
2.3 Classifica¸c˜ao de matrizes quadradas
Seja A = [ aij ] n × n uma matriz quadrada de ordem n , sobre um corpo F.
Os elementos diagonais (ou principais) de A s˜ao aqueles que tˆem ´ındices de linhas e colunas iguais, ou seja, a 11 , a 22 ,... , ann.
Ao seu conjunto chama-se diagonal principal de A. A sua soma denomina-se tra¸co de A e denota-se por tr ( A ), ou seja, tr ( A ) = a 11 + a 22 + · · · + ann.
S˜ao alguns tipos de matrizes quadradas :
- A matriz A diz-se triangular superior se
∀ i > j ( aij = 0) ,
ou seja, as entradas abaixo da diagonal principal s˜ao iguais a zero.
- A matriz A diz-se triangular inferior se
∀ i < j ( aij = 0) ,
ou seja, as entradas acima da diagonal principal s˜ao iguais a zero.
- A matriz A diz-se, simplesmente, triangular , se ela ´e triangular superior ou inferior.
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
1. Sim´etrica se At^ = A, ou seja, para quaisquer i, j ∈ { 1 , 2 ,... , n } , tem-se aij = aji. 2. Anti-sim´etrica/hemi-sim´etrica se At^ = − A = [− aij ] , i, j ∈ { 1 , 2 ,... , n } , ou seja, para quaisquer i, j ∈ { 1 , 2 ,... , n } , tem-se aij = − aji.
Nota 2.1. A partir da defini¸c˜ao, conlcui-se que:
1. Uma matriz quadrada real ´e sim´etrica se os elementos da diagonal principal s˜ao arbitr´arios, e se os elementos opostos em rela¸c˜ao a diagonal principal (correspondemas entradas ( i , j ) e ( j , i ) , i 6 = _j) s˜ao iguais.
- Uma matriz quadrada real ´e_ anti-sim´etrica se os elementos da diagonal principal s˜ao iguais a zero, e se os elementos opostos em rela¸c˜ao `a diagonal principal s˜ao sim´etricos.
Exemplo 2.4. S˜ao alguns exemplos:
1) A matriz A =
´e sim´etrica.
2) A matriz B =
´e anti-sim´etrica.
2.7 Produto de uma matriz por escalar
Definic¸˜ao 2.6 (Produto por escalar). Sejam uma matriz A = [ aij ] ∈ F m × n^ e um escalar λ ∈ F_. O_ produto escalar de λ por A ´e a matriz D = [ dij ] ∈ F m × n, tal que
∀ i ∈ { 1 , 2 ,... , m } ∀ j ∈ { 1 , 2 ,... , n } ( dij = λaij ).
Teorema 2.2. Seja A uma matriz do tipo m × n e seja λ ∈ F_. Ent˜ao,_
λA = 0 m × n ⇐⇒ λ = 0 ∨ A = 0 m × n.
2.8 Soma e subtra¸c˜ao de matrizes
Definic¸˜ao 2.7 (Adi¸c˜ao/Soma). Sejam A = [ aij ] , B = [ bij ] ∈ F m × n. A soma de A com B ´e a matriz A + B = [ cij ] ∈ F m × n, tal que
∀ i ∈ { 1 , 2 ,... , m } ∀ j ∈ { 1 , 2 ,... , n } ( cij = aij + bij ).
Exemplo 2.5. Considere as matrizes em R^2 ×^3 abaixo apresentadas:
A =
[ − 1 1 3 0 2 − 5
] e B =
[ 0 2 3 − 1 5 2
] .
Determine A + B.
Resolu¸c˜ao. Ora, como A e B s˜ao da mesma dimens˜ao, ent˜ao elas s˜ao compat´ıveis para a adi¸c˜ao; e, neste caso, tem-se:
A + B =
[ − 1 1 3 0 2 − 5
]
[ 0 2 3 − 1 5 2
]
[ − 1 3 6 − 1 7 − 3
] .
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
Teorema 2.3. A adi¸c˜ao em F m × n^ goza das propriedades associativa e comutativa, admite o elemento neutro, a matrix (^0) m × n, e toda matriz A = [ aij ] ∈ F m × n^ tem sim´etrico − A = [− aij ] ∈ F m × n.
Definic¸˜ao 2.8 (Subtra¸c˜ao). Sejam A = [ aij ] , B = [ bij ] ∈ F m × n. A diferen¸ca entre A e B ´e a matriz A − B = [ cij ] ∈ F m × n, tal que
∀ i ∈ { 1 , 2 ,... , m } ∀ j ∈ { 1 , 2 ,... , n } ( cij = aij − bij ).
Nota 2.2. Nota-se que:
1. A − B = A + (− B )_.
- Duas matrizes, sobre o mesmo corpo, s˜ao compat´ıveis para a soma e subtra¸c˜ao se s˜ao da mesma_ dimens˜ao.
2.9 Outras propriedades da adi¸c˜ao, produto por escalar e transposta
Teorema 2.4. Sejam A e B matrizes sim´etricas da mesma dimens˜ao, e seja λ um escalar. Ent˜ao:
(a) At^ ´e sim´etrica;
(b) A + B e A − B s˜ao sim´etricas;
(c) λ A ´e sim´etrica.
Nota 2.3. Em geral, produto de duas matrizes sim´etricas, n˜ao ´e sim´etrica.
Teorema 2.5. Sejam A, B ∈ F m × n^ e sejam λ, β ∈ F_. Ent˜ao, tem-se:_
1. λ ( A ± B ) = λA ± λB. 2. ( λ + β ) A = λA + βA. 3. ( λ β ) A = λ ( βA ). 4. 1 A = A , onde 1 representa o elemento neutro da opera¸c˜ao · no corpo F_. 5._ ( λA ) t^ = λAt. 6. ( A ± B ) t^ = At^ ± Bt.
Exemplo 2.6. Considere as matrizes A =
e B =
.
(a) Determine − 3 A, 2 B e A + B.
(b) Determine A − 2 B.
Resolu¸c˜ao. Determina-se:
(a) − 3 A =
, 2 B =
e A + B =
.
(b) A − 2 B = A + (− 2 B ) = A +
=
.
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
Resolu¸c˜ao. Seja B =
[ x y z w
] ∈ R^2 ×^2. A e B s˜ao comut´aveis se AB = BA. Ent˜ao, tem-se:
AB = BA
[ 1 1 0 0
] [ x y z w
]
[ x y z w
] [ 1 1 0 0
]
[ x + z y + w 0 0
]
[ x x z z
]
x + z = x y + w = x z = 0
x = x , x ∈ R y = x − w z = 0 w ∈ R
Ent˜ao, o conjunto das matrizes procuradas ´e: { B ( x , w ) =
[ x x − w 0 w
] : w, x ∈ R
} .
Definic¸˜ao 2.12. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, sobre um corpo F_. As potˆencias de expoentes inteiros n˜ao negativos de A definem-se da seguinte forma:_ { A^0 = In Am +1^ = Am^ A, ∀ m ∈ Z+ 0_._
Ou seja, (^)
A^0 = In A^1 = A
... Am^ = A ︸ · A · · · · ·︷︷ A ︸ m vezes
, ∀ m ∈ N , m > 1_._
2.10.1 O papel da matriz identidade na multiplicac¸˜ao de matrizes
Seja A = [ aij ] ∈ R m × n. Ent˜ao, AIn = A e ImA = A.
Ou seja, o produto de uma matriz A pela matriz identidade e vice-versa, quando poss´ıvel, ´e igual a A. Neste sentido, embora n˜ao haja unicidade, pode-se dizer que a matriz identidade desempenha a fun¸c˜ao de elemento neutro na multiplica¸c˜ao de matrizes.
Exemplo 2.10. Seja a matriz real A =
1 2 π^
. Determine os produtos AI 3 e I 4 A.
Propriedades da multiplicac¸˜ao de matrizes
Teorema 2.6 (Propriedades da multiplica¸c˜ao de matrizes). Seja λ um escalar e sejam A, B, C e I (matriz identidade) matrizes compat´ıveis para as opera¸c˜oes (multiplica¸c˜oes e somas) abaixo indicadas. Ent˜ao:
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
1. IA = A e BI = _B.
- Associatividade: A_ ( BC ) = ( AB ) _C.
- Distributividade `a esquerda: A_ ( B + C ) = AB + AC e A ( B − C ) = AB − _AC.
- Distributividade `a direita:_ ( B + C ) A = BA + CA e ( B − C ) A = BA − _CA.
- λ_ ( AB ) = ( λA ) B = A ( λB )_.
- Transposta do produto de matrizes:_ ( AB ) t^ = BtAt.
Exemplo 2.11. Se A, B e C s˜ao matrizes tais que AB = I e CA = I, mostre que B = C
Resolu¸c˜ao. tem-se
AB = I ⇔ C ( AB ) = CI ⇔ ( CA ) B = CI (pela propriedade associativa) ⇔ IB = CI (por hip´otese, CA = I ) ⇔ B = C (pelo ponto 1 do Teorema 2.6)
Proposic¸˜ao 2.7. Seja uma matriz A ∈ F m × n. Ent˜ao, os produtos AAt^ e AtA s˜ao matrizes sim´etricas.
Exemplo 2.12. Seja A =
. Ent˜ao, tem-se:
AAt^ =
[ − 2 1 1 − 1 3 − 2
]
e
AtA =
[ − 2 1 1 − 1 3 − 2
]
=
[ 6 3 3 14
]
s˜ao matrizes sim´etricas.
Exerc´ıcios
- Determine a matriz A ∈ R^3 ×^2 que satisfaz a seguinte condi¸c˜ao: ^2 A^ −^2
t
[ 7 0 − 1 2 1 5
] .
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
5.2. Seja a matriz real A =
[ 1 a b c
]
. Determine os valores reais de a , b e c , de modo que A seja uma matriz involunt´orio.
- Seja A uma matriz quadrada de ordem n , sobre um corpo F. Diz-se que A ´e nilpotente se existe um n´umero p ∈ N, tal que Ap^ = 0 n. Se p ´e o menor inteiro tal que Ap^ = 0 n , ent˜ao diz-se que A ´e nilpotente de ordem p.
Seja a matriz real A =
a 2 − 1 1 b − 2
.
6.1. Determine os valores reais de a e de b , de modo que a matriz A seja nilpotente de ordem 3.
Resolu¸c˜ao da quest˜ao 6.1. A matriz A ´e nilpotente de ordem 3 se:
A 6 = 0 3 ∧ A^2 6 = 0 3 ∧ Ak^ = 0 3 , com k ∈ N , k ≥ 3_._ (1)
Assim:
A^2 = AA =
a 2 − 1 1 b − 2
a 2 − 1 1 b − 2
=
2 a − 1 4 − b 0 ab − 2 0 − b + 4
. (2)
A^3 = A^2 A =
2 a − 1 4 − b 0 ab − 2 0 − b + 4
a 2 − 1 1 b − 2
a (4 − b ) 2 (4 − b ) b − 4 − b + 4 b (− b + 4) −2 (− b + 4)
. (3)
Ent˜ao, pelas f´ormulas (2) e (3), tem-se:
A^2 6 = 0 3 ⇔ 2 a − 1 6 = 0 ∨ 4 − b 6 = 0 ∨ ab − 2 6 = 0
⇔ a 6 =
∨ b 6 = 4 ∨ ab 6 = 2_._
A^3 = 0 3 ⇔ a (4 − b ) = 0 ∧ b − 4 = 0 ∧ b (− b + 4) = 0 ⇔ ( a = 0 ∨ b = 4) ∧ b = 4 ∧ ( b = 0 ∨ b = 4) ⇔ (( a = 0 ∧ b = 4) ∨ b = 4) ∧ ( b = 0 ∨ b = 4) ⇔ ( a = 0 ∧ b = 4) ∨ b = 4 ⇔ b = 4_._
A condi¸c˜ao (1) ´e equivalente a:
a, b ∈ R a 6 = 12 ∨ b 6 = 4 ∨ ab 6 = 2 b = 4
{ a 6 = (^12) b = 4
- Mostre que se A e B s˜ao comut´aveis, ent˜ao A e B s˜ao matrizes quadradas da mesma ordem.
- Calcule:
−^21
+ 5
t .
−^9
^2
−^13
t .
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
- Considere a matriz
M =
1 a − a − 1 0 2 b − b − 2 1 3 c − c − 3 3 4 d − d − 4 5
.
Escolha a(s) resposta(s) correcta(s):
9.1. A matriz M [2 , 4 | 1 , 3] ´e uma matriz quadrada de ordem 3.
9.2. A matriz M (1 , 3 | 2 , 4 , 5) =
[ 2 − b 4 − d
] .
- Considere o polin´omio f ( x ) = anxn^ + an − 1 xn −^1 +· · ·+ a 1 x + a 0 , e considere uma matriz quadrada A de ordem n. f ( A ) = anAn^ + an − 1 An −^1 + · · · + a 1 A + a 0 In.
Desta feita, diz-se que uma matriz quadrada A ´e zero de um polin´omio f se f ( A ) = 0 n.
10.1. Verifique se as matrizes A =
[ 1 7 0 4
] e B =
[ − 5 6 − 9 10
]
s˜ao zeros do polin´omio f ( x ) = x^2 − 5 x + 4.
- Encontre a matriz A nas express˜oes que se seguem:
11.1. 2 A −
[ 1 0 − 2 4 7 3
] t
;
^3 At^ −^2
t
[ 7 0 − 1 2 1 5
] .
- Considere as matrizes A = [ aij ], B = [ bij ] e C = [ cij ] tais que:
aij =
i + j − 1 , i = 1 , 2 , 3 , 4 , j = 1 , 2 , 3 , e bij = i − j + 1 , cij =
i + j , i, j = 1 , 2 , 3_._
12.1. Verifique quais das seguintes express˜oes est˜ao bem definidas e determine o seu valor: i. AB ii. B + C iii. B − C iv. A ( B − C ) v. ( B − C ) A vi. AB + AC vii. A ( BC ) viii. ( AB ) C ix. B^5 x. At^ xi. AtC^3 xii. B + I 3 xiii. I 4 A xiv. B^3 − 3 B + I 3 12.2. Determine a submatriz M = A [1 , 2 , 3 | 1 , 2 , 3]; 12.3. Determine a submatriz de M = A (1|2); 12.4. Determine a terceira linha de B.
- Sejam A e B matrizes sim´etricas. Mostre que se AB = BA , a matriz AB tamb´em ´e sim´etrica.
- Uma matriz quadrada E diz-se idempotente se E^2 = E.
14.1. Mostre que 0 2 , I 2 e
[ 1 λ 0 0
] s˜ao idempotentes.
14.2. Se B ´e um idempotente, mostre que I − B e Bt^ s˜ao ambas idempotentes. 14.3. Se BA = I para certas matrizes A e B , mostre que E = AB ´e um idempotente.
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
com a, b, c, x, y, z, u, v, w ∈ R. Como B + C = A , ent˜ao tem-se:
a x + u y + v x − u b z + w y − v z − w c
=
.^ (7)
Logo: { a = b = 1 c = 4
{ x + u = 1 x − u = 0
{ y + v = 1 y − v = 1
{ z + w = 2 z − w = 2
⇔
{ a = b = 1 c = 4
{ x = (^12) x − u = 0
{ y = 1 y − v = 1
{ z = 2 z − w = 2
⇔
{ a = b = 1 c = 4
{ x = (^12) u = (^12)
{ y = 1 v = 0
{ z = 2 w = 0
ou seja:
B =
e^ C^ =
.
Resolu¸c˜ao da quest˜ao 22 (mais uma alternativa). Seja A ∈ R n × n , n ∈ N. Como B ´e sim´etrica, C ´e anti-sim´etrica e B + C = A , ent˜ao tem-se:
B = Bt − C = Ct B + C = A
logo, adicionando ordenadamente a primeira e a segunda igualdade em (8), tem-se: { B − C = Bt^ + Ct B + C = A
{ B − C = ( B + C ) t B + C = A
{ B − C = At B + C = A
⇔
{ 2 B = A + At B + C = A
{ B = (^12)
( A + At
)
C = A − (^12)
( A + At
{ B = (^12)
( A + At
)
C = (^12)
( A − At
Assim, para A =
, tem-se
B =
( A + At
)
+
=^1 2
=
,
C =
( A − At
)
−
=^1 2
=
.
Referˆencias
[1] Howard, A. & Rorres, C. (2001). Algebra Linear com aplica¸` c˜oes. (C. I. Doering, Trad.) (8ª ed.). Porto Alegre: Bookman.
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
[2] NICHOLSON, W. K.. (2006). Algebra Linear´. McGraw-Hill, 2ª ed.. S˜ao Paulo.
[3] MATOS, I. M. T.. (2008). T´opicos da Algebra Linear´. DEETC-ISEL. Lisboa.