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Capítulo 6
Logaritmos
6.1 De nição de Logaritmo
De nimos aqui o logaritmo como o inverso da exponencial, no seguinte sentido:
ax^ = b ⇐⇒ loga(b) = x. (6.1) Na equação loga(b) = x temos a seguinte nomenclatura
- a é a base do logaritmo; • b é o logaritmando; • x é o logaritmo.
Condição de Existência de loga(b)
Como na exponencial ax^ = b a base satisfaz a > 0 e a 6 = 1, temos que b > 0 ∀ x ∈ R. Assim, para loga(b) também devemos ter
- a > 0 e a 6 = 1;
- b > 0 , isto é, só existe logaritmo de números positivos.
Conseqüências da De nição
Como conseqüência da De nição (6.1) temos os seguintes resultados (a, b, c ∈ R∗, a 6 = 1 e n ∈ R):
(i) loga(1) = 0, pois a^0 = 1; (ii) loga(a) = 1, pois a^1 = a; (iii) loga(an) = n, pois an^ = an;
(iv) loga(b) = loga(c) ⇒ b = c (v) se a > 1 , loga(b) > loga(c) ⇒ b > c (vi) se 0 < a < 1 , loga(b) > loga(c) ⇒ b < c
Propriedades dos Logaritmos
Também como conseqüência da De nição (6.1) temos as seguintes propriedades para os logaritmos (a, b, c ∈ R∗, a 6 = 1 e n ∈ R):
(i) logaritmo do produto (é a soma dos logaritmos): loga(bc) = loga(b) + loga(c); (6.2) (ii) logaritmo do quociente (é a diferença dos logaritmos): loga
( (^) b c
= loga(b) − loga(c); (6.3)
(iii) logaritmo da potência (é a potência vezes o logaritmo): loga(bn) = n loga(b); (6.4) (iv) exponencial do logaritmo de mesma base: aloga(b)^ = b; (6.5) (v) Mudança de base loga(b) = log logcc((ab)) (6.6)
6.2 Problemas Propostos
Problema 6.1 Calcule os logaritmos
(a) log 2 (32) (b) log 5 (625) (c) log 9 (243)
(d) log 5 (0, 0016) (e) log 10 (0, 00001) (f ) log 1 / 3 (81)
(g) log√ 8 (0.125) (h) log 2 √ 2 (256) (i) log 2 /√ 3 (9/16)
Problema 6.2 Avalie as expressões.
(a) log 5 (1) + 4log^4 (5)^ + log 3 (log 5 (125)) (b) 49 log^7 (2)^ − 25 log^5 (3)
Problema 6.3 Sabendo-se que log(a) = 2, log(b) = 3 e log(c) = − 6 , calcule
(a) log(ab)
(b) log(abc)
(c) log
abc
(d) log
( (^) a 3 √c b^2
(e) log
√abc
(f ) log
a c^23 b^2
Problema 6.4 Sabendo-se que log 2 (3) = a, calcule (em função de a)
(a) log 6 (9) (b) log 36 (64)
Problema 6.5 Sabendo-se que loga(x) = 2, logb(x) = 3 e logc(x) = 5, calcule
(a) logab(x) (b) logabc(x) (c) log abc (x)
Problema 6.6 Resolva as equações logarítmicas
(a) log 5 (x^2 + 3) = log 5 (x + 3) (b) log 2 (14 − 5 x) = 2 (c) log 13 (x^2 + 3x − 1) = − 2
(d) [log 8 (x)]^2 − 3[log 8 (x)] + 2 = 0 (e) log(3x^2 + 7) − log(3x − 2) = 1 (f ) log(x + 1) + 2 = log(4x^2 − 500)
Problema 6.7 Resolva as inequações logarítmicas (a) [log(x)]^2 − log(x) > 0 (b) 2[log(x)]^2 − log(x) > 6 (c) log 2
[
log 14 (x^2 − 2 x + 1)
]
(a) (^) 1+^2 aa (b) (^) 1+^3 a
(a) 6 / 5 (b) 30 / 31 (c) 30 / 19
(a) x = 0 e x = 1 (b) x = 2 (c) x = − 5 e x = 2
(d) x = 8 e x = 64 (e) x = 1 e x = 9 (f) x = − 5 e x = 30
(a)
x ∈ R | 0 < x < 1 ou x > 10
(b)
x ∈ R | 0 < x < 10 √^110 ou x > 100
(c)
x ∈ R | 12 < x < 32 e x 6 = 1
- Problema 6.8 (página 22) (a) 7 × 106 KWh (b) 2000 dias! ( 5 anos, 5 meses e 22 dias)
- Problema 6.9 (página 22) (a) 7 (b) ácidas 0 < pH < 7 ;
básicas 7 < pH < 14
