1
Análisis Matricial De Las Estructuras
Contenido
––
Fuerzas sísmicas por piso
Centro de masa de cada piso
Fuerzas sísmicas por piso
n2= número de piso
+Y
n= 2
n= i
n= n2
+Z
-X
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Guidelines and tips
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community
Ask the community for help and clear up your study doubts
University Rankings
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Our save-the-student-ebooks!
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
estructuras en gormigon, Lecture notes of Space Studies
apuntes de estructuras en hormigón y aceros
Typology: Lecture notes
2022/2023
1 / 257
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Related documents
Partial preview of the text
Download estructuras en gormigon and more Lecture notes Space Studies in PDF only on Docsity!
Análisis Matricial De Las Estructuras (^) Contenido
- –
Fuerzas sísmicas por piso
Centro de masa de cada piso
Fuerzas sísmicas por piso
n2= número de piso
+Y
n= 2
n= i
n= n
+Z
-X
Análisis Matricial De Las Estructuras Contenido
1.4.Matrices: rectangular, cuadrada, fila, columna, cero, unitaria o idéntica, matrices iguales, diagonal, escalar, triangular,
Análisis Matricial De Las Estructuras (^) Contenido
4.3. Esfuerzos por flexión ………………………………………………….. 61
4.4. Esfuerzos cortantes……………………………………………………. 62
4.5. Esfuerzos por torsión………………………………………………….. 63
5. TRABAJO Y ENERGÍA DE DEFORMACIÓN 65
5.1. Energía de deformación elástica en una barra expuesta a Carga axial……………………………………………………………….. 65
5.2. Energía de deformación elástica en una barra expuesta a efecto de flexión ………………..………………………………………. 65
5.3. Energía de deformación elástica en una barra expuesta a efecto cortante…………………………………………………………… 66
5.4. Energía de deformación elástica en una barra expuesta a efecto de torsión………………………………………………………… 67
5.5. Energía complementaria total ………………………………………… 67
5.6. Teorema de la energ ía complementaria de Engesser. ………….. 68
- Matriz de rigidez de una barra estructural 69
6.1. Sistema de referencia, ejes coordenados dextrógiro ortogonales: locales (a, n, t) y globales (x, y, z)…………………... 69
6.2. Matriz de rigidez de una barra expuesta a carga axial (a) en ejes locales………………………………………………………. 70
6.3. Transformación de ejes coordenados ortogonales coplanares, fuerzas y defor maciones axiales…………………….. 77
6.3.1. Matriz de rigidez de una barra expuesta a carga axial en ejes globales (x, y, z) ……………………………………….. 80
6.4. Matriz de rigidez, ejes locales plano a-n. Con deformacione s: axiales, corte y flexión…………………………….. 81
Análisis Matricial De Las Estructuras (^) Contenido
6.5. Matriz de rigidez, ejes globales (Plano de la barra a-n). Con deformaciones: axiales, corte y flexión …………………………….. 84
6.6 Matriz de rigidez en ejes globales (Plano de la barra a-t). Con deformaciones: axiales, corte y flexión …………………………….. 85
6.7. Simplificaciones de las matrices de rigidez ………………………. 86
6.7.1 Sin con siderar deformaciones axiales…………………. 86
6.8. Matriz de rigidez en ejes globales (Plano de la barra a-n). Con deform aciones de: corte y flexión……………………………... 89
6.9. Matriz de rigidez en ejes globales (Plano de la barra a-n). Con deformaciones solo por flexión ………………………………. 90
6.10. Matriz de rigidez, ejes locales plano a-n. Con deformaciones: Axiales , corte y flexión………………………………………………… 91
6.11. Matriz de rigidez en ejes locales (Plano de la barra a-n). Con deformaciones de: corte y flexión …………………………………... 92
6.12. Matriz de rigidez en ejes locales (Plano de la barra a-t). Con deformaciones: axiales, corte y flexión………………………. 92
6.13. Matriz de rigidez en ejes locales (Plano de la barra a-t). Con deform aciones de: corte y flexión…………………………….. 93
6.14. Matriz de rigidez, ejes globales (Plano a-n de la barra columna). Con deformaciones solo por flexión ………………………………… 94
6.15. Matriz de rigidez, ejes globales (Plano a-n, viga horizontal). Con deformaciones solo por flexión. ……………………………….. 96
6.16. Barr as expuestas solo a Torsión…………………………………… 97
6.17. Matriz de rigidez a carga axial de una barra dispuesta en el Espacio y en ejes globales …………………………………………… 100
6.18. Matriz de rigidez de una barra sometida a torsión en Ejes locales………………………………………………………………. 101
Análisis Matricial De Las Estructuras Contenido
Análisis Matricial De Las Estructuras (^) Contenido
Análisis Matricial De Las Estructuras (^) Contenido 16.4. Contribución de cada pórtico (v) en la dirección y-y para
- ÁLGEBRA MATRICIAL CONTENIDO
- 1.Definición de una matriz……………………………………………………
- 1.β.Orden de una matriz…………………………………………………………
- 1.γ.Tipos de matrices……………………………………………………………
- 5.Suma y resta de matrices………………………………………………….. superior, triangular inferior, banda, simétrica, antimétrica.
- 1.6.Multiplicación de matrices ………………………………………………….
- a. Propiedades de la multiplicación ……………………………………….
- b. Producto de un escalar por una matriz ………………………………..
- c. Multiplicación por descomposición en submatrices ……..…………
- d. Producto de Matrices ……………………………………………………..1
- 1.7.Transpuesta de una matriz ………………..………………………………. - a. Propiedades útiles de la transposición de matrices ……………….
- 1.8.Matrices ortogonales ……………………..…………………………………
- 1.9.Determinantes de matrices cuadradas ………………….……….………
- a. Propiedades de los determinantes ……………………………………..
- 1.10. Menores y cofactores …………… ………………………………...
- 1.11. Ad junta de una matriz cuadrada…………………………………
- a. Propiedades de la adjunta de una matriz cuadrada…………………
- 1.12. Inv ersa de una matriz cuadrada………………… ………………
- a. Métodos para hallar la inversa de una matriz cuadrada ……………
- a.1. Propiedades………………………………………………………………
- MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Análisis Matricial De Las Estructuras Contenido - Introducción …………………………………………………………….........
- 2.1.Por inversión de matrices ………………………………………………...
- β.β.Por eliminación de Gauss………………………………………………... - a. Matrices completas ………………………………………………….. - b. Matrices tri-bandeadas simétricas ………………………………..
- 2.3.Método de Cholesky ……………………………………………………….
- 2.4.Método de Crout ……………………………………………………………
- 2.5.Método de Jacobi ………………………………………………………….
- 2.6.Método de Gauss Seidel …………………………………………………
- 2.7.Técnica del Skyline ………………………………………………………...
- INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS
- 3.1.Concepto de estructura …………………………………………………..
- 3.2.Hipótesis que simplifican el estudio de las estructuras - estructura ……………………………………………………………….. 3.3Apoyos externos y conexión entre los elementos de una
- 3.4.Condiciones de equilibrio y estabilidad de las estructuras ……….
- 3.4.1Equilibrio estático de las estructuras ………………………………..
- 3.4.2Estabilidad de las Estructuras …………………………………………
- ESFUERZOS INTERNOS EN LOS ELEMENTOS DE UNA ESTRUCTURA
- 4.2. Esfuerzos axiales ………………….……………………………………. sistema de ejes coordenados locales …………………….……… - .…
- ESFUERZOS INTERNOS EN LOS ELEMENTOS DE UNA ESTRUCTURA
- ARMADURAS ESPACIALES
- 8.1. Estabilidad y determinación estática externa ………………………
- 8.2. Estabilidad interna………………………………………………………
- 8.3. Estabilidad y determinación estática total de la armadura ………
- 8.4. Grado de libertad total a la deformación ……..……………………..
- 8.5. Matriz de rigidez total…………………………………………………...
- ASENTAMIENTOS RELATIVOS DE SUS APOYOS. 9. ARMADURAS EXPUESTAS A CAMBIOS DE TEMPERATURA Y
- 9.1. Fuerz as de empotramiento perfecto…………………………………
- 9.2. Procedimiento d e análisis y cálculo matricial……………………..
- 9.3. Ejercicios………………………………………………………………….
- PÓRTICOS PLANOS CON BARRAS DE DIRECTRIZ RECTA
- planos ……………………………………………………………………. 10.1. Estabilidad y determinación estática total de los pórticos
- 10.2. Grado de libertad total a la deformación ……………………………
- 10.3. Matriz de rigidez total ………………………………………………….. - Rigideces…………………………………………………………………. 10.4. Procedimiento de análisis y cálculo matricial, método de las
- 10.5. Eje rcicios………………………………………………………………….
- CONSIDERAR DEFORMACIONES AXIALES Y/O CORTE 11. PÓRTICOS PLANOS CON BARRAS DE DIRECTRIZ RECTA SIN
- 11.1. Ejercicio ………………………………………………………………………
- Geometría. Pórtico plano…………………………………………….
- Ejes Coordenados……………………………………………………..
- Numerar nudos y barras………………………………………………
- Estudio apoyos y reacciones………………………………………..
- Estabilidad y d eterminación estática externa……………………
- Estabilidad y determinación estática total………………………...
- Grado de libertad………………………………………………………
- Coordenadas de los nudos…………………………………………..
- Incidencia de las barras………………………………………………
- Desplazamiento p or deformación para cada barra………………
- Característi cas geométricas de cada barra………………………
- Matr iz de rigidez de cada barra……………………………………..
- Matriz de rigidez total …………………………………………………
- Matriz de cargas exteriores P……………………………………….
- Matriz de cargas P……………………………………………………..
- Solución de Sistema …………………………………………………
- PÓRTICOS PLANOS CON BARRAS DE DIRECTRIZ RECTA
- VIGAS CONTINUAS
- 12.1. Ejercicio
- Geometría del Problema……………………………………………
- Ejes Coordenados…………………………………………………..
- Num erar nudos y barras …………………………………………..
- Coordenadas de los nudos …………………………………………
- Incidencia de las barras ……………………………………………
- Desplazamie ntos de las barras……………………………………
- Características geométricas y elásticas de cada barra ………
- Matriz de Rigidez de cada barra .....……………………………….
- 8.1.- Expresiones Generales……………………………………….
- 9 Matriz de Rigidez total………………………………………………
- Matriz de cargas exteriores ……………………………………….. - 10.1.- Fuerzas y momentos de empotramiento perfecto ……… Análisis Matricial De Las Estructuras Contenido - 10.2.- Vector de cargas……………………………………………...
- Resoluci ón del sistema de ecuaciones…………………………
- Calculo de Fuerzas y Momentos Finales………………………… - 12.2. EJEMPLO: Viga Sim plemente Apoyada…………………
- PÓRTICOS PLANOS ORTOGONALES
- 13.1. Ejercicio: ……………………………………………………………… - 1. Matriz de rigidez pórticos planos ortogonales …………………….. - 2. Matriz de rigidez K total del pórtico ortogonal……………………... - γ. Vector de cargas P……………………………………………………… - 4. Resoluc ión del sistema de ecuaciones……………………………… - 5. Matriz de rigidez total del pórtico ortogonal ………………………. - 6. Resolución de las ecuacion es por cadena abierta matricial…….
- 13.2. Ejercicio de Pórtico Plano Ortogonal……………………………….. - RELATIVOS DE LOS APOYOS EN LOS PÓRTICOS PLANOS 14. EFECTOS DEL CAMBIO DE TEMPERATURA Y ASENTAMIENTOS,
- 14.1.Efectos de Tem peratura en los pórticos planos…..………………. - de temperatura……………………………………………………………. 14.2.Procedimiento para el análisis de pórticos expuestos a cambios
- …………asentamiento de sus apoyos…………………….……………………… 14.3Fuerzas y Momentos en las barras de un pórtico plano por
- 14.4Ejercicio……………………………………………………………………..
- MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO PLANO ORTOGONAL
- el cálculo d e la matriz de rigidez lateral………………………… ………. 15.1. Matriz de Rigidez total de un Pórtico Ortogonal ordenada para
- MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO PLANO ORTOGONAL
- 15.2. Matriz de Rigidez lateral por cadena abierta matricial ……..…………. - Matriz de Rig idez Lateral de cada pórtico………… ……………………. 15.3. Repartición de la carga sísmica proporcionalmente a la
- 15.4 Ejercicio Matriz de Rigidez Lateral Pórtico Plano ………………………… - PLANOS ORTOGONALES, CONSIDERANDO TORSIÓN EN PLANTA 16. DISTRIBUCIÓN DE FUERZAS SÍSMICAS LATERALES EN LOS PÓRTICOS
- 16.1. Introducción…………………………………………… ………………….
- 16.2. Hipótesis adoptadas………………………………………………………
- 16.3. Solicitaciones sísmicas ………………………………………………… - externas …………………………………………………………………… Resistir por deformación elástica las acciones sísmicas
- 16.5. Solu ción del sistema de ecuaciones………………………………….
- 16.6. Cent ro de rigidez o torsión nula………………………………………..
- 16.7. Excentricidades y g irógenos mayorados por torsión……………..
- 16.8. Verificación de la distribución de fuerzas……………………………
- PARRILLAS PLANAS
- 17.1. Definición ………………………………………………………………….
- 17.2. Hipótesis y simplificaciones adoptadas………………………………
- 17.3. Estabilidad y determinación estática total de las parrillas planas.
- 17.4. Matriz de rigidez total……………………………………………………. - rigideces……………………………………………… …………………… 17.5. Procedimiento de análisis y cálculo matricial, método de las
- 17.6. Ejercicios…………………………………………………………………… - 17.7. Ejercicios para resolver……………………………………
- PÓRTICOS ESPACIALES CON BARRAS DE DIRECTRIZ RECTA……
- espaciales …………………………………………………………………….. 18.1. Estabilidad y determinación estática total de los pórticos
- PÓRTICOS ESPACIALES CON BARRAS DE DIRECTRIZ RECTA……
- 18.2. Grado de libertad a la deformación de los pórticos espaciales …….
- 18.3. Matriz de rigidez total de un pórtico e spacial…………………………...
Análisis Matricial De Las Estructuras (^) Contenido
18.4. Procedimiento de análisis y cálculo matricial de los pórticos espaciales método de las rigideces ………………………………………. 263 18.5. Ejercicio………………………………………………………………………… 267
19. BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTO TEORICO ……………………………….. 270
Análisis Matricial De Las Estructuras (^) Capitulo 1 -Algebra Matricial
1.3. Tipos de matrices
Las matrices se clasifican atendiendo al número de filas y columnas que poseen y también atendiendo al valor que toman sus elementos. Son de especial interés las matrices cuadradas, y dentro de estas, algunos tipos particulares.
1.4. Matrices: rectangular, cuadrada, fila, columna, cero,
unitaria o idéntica, matrices iguales, diagonal, escalar,
triangular superior, triangular inferior, simétrica.
Tipo de Matriz Definición^ Ejemplo
FILA
Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n
A 1 * 3 ( 7 2 5 )
COLUMNA
Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo
su orden m×1
A 3 * 1
RECTANGULA
R
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,
A
TRASPUESTA
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At^ ó AT
t (^) ji n (^) m
ij mn sutraspuestaesA a
SiesA a
A^1 25 At
Análisis Matricial De Las Estructuras (^) Capitulo 1 -Algebra Matricial
OPUESTA
La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
A A
NULA
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n
CUADRADA
Es aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m=n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal principal: son los elementos a 11 , a 22 , ..., ann Diagonal secundaria: son los elementos aij con i+j=n+1.
A 3
Diagonal principal :
A
Diagonal secundaria :
A
SIMÉTRICA
(^) Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
A = At^ , aij = aji
A 3
ANTISIMÉTRICA
(^) Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At^ , aij = -aji t
t
A A
A A
3 3
3 3 6 0 0
9 1 1
0 9 6 ; 6 0 0
9 1 1
0 9 6
Análisis Matricial De Las Estructuras (^) Capitulo 1 -Algebra Matricial
NORMAL
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétrica, antisimétrica u ortogonal, son normales necesariamente.
A^54
A AT AT A
INVERSA
Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que A·A- = A-1·A = I
;^13
A^2 1 A^1
Análisis Matricial De Las Estructuras (^) Capitulo 1 -Algebra Matricial
1.5. Suma y resta de matrices
SUMA DE MATRICES
La suma de dos matrices (^) A a (^) ij (^) m * n y (^) B b (^) ij (^) p * q , de la misma dimensión; es
decir, m = p y n = q es otra matriz C A B ( cij ) m * n ( aij )( bij ).
^
1 6 1
3 3 7
3 5 8
;^102 4 1 7
2 3 5
:
; ,
21 21 22 22 23 13
11 11 12 12 13 13
21 22 23
11 12 13 21 22 23
11 12 13
A B
A B
Porejemplo
a b a b a b
A B a b a b a b
b b b
b b b a a a y B
a a a A
Es una ley de composición interna con las siguientes
PROPIEDADES:
· Asociativa: A+ (B+C) = (A+B)+C
· Conmutativa: A+B = B+A
· Elemento Neutro: (matriz cero 0m×n), 0+A = A+0 = A
· Elemento Simétrico: (matriz opuesta -A), A + (-A) = (-A) + A = 0
Al conjunto de las matrices de dimensión m×n cuyos elementos son números
reales lo vamos a representar por Mm×n y como hemos visto, por cumplir las
propiedades anteriores, (M, +) es un grupo abeliano.
Para utilizar la resta de matrices, nos limitamos a utilizar el artificio:
A - B = A + (-B)
La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son
distintas.
Análisis Matricial De Las Estructuras (^) Capitulo 1 -Algebra Matricial
c. Multiplicación por descomposición en submatrices
Para descomponer en submatrices dos matrices que se multiplican entre sí, es necesario que las columnas de la primera matriz se dispongan igualmente como las filas de la segunda matriz.
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
A
A A
Orden A A
b b b
b b b
b b b
b b b
b b b
B
B B
B B
Orden
A B A B A B A B
C A B A B A B A B
C C C
C C C
C C C
C C C
C C C
C
d. Producto de matrices
Dadas dos matrices A = (aij ) m × n y B = (bij)p × q donde n = p, es decir, el
número de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la
matriz B , se define el producto A·B de la siguiente forma :
El elemento que ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando
los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el
correspondiente de la columna j de la matriz B.
Análisis Matricial De Las Estructuras (^) Capitulo 1 -Algebra Matricial
1.7. Transpuesta de una matriz
Definición: La traspuesta de una matriz A de m x n, es la matriz de n x m que se
obtiene al intercambiar los renglones por las columnas y se denota por AT.
Así, la traspuesta de
A 63 74 85 ; es , At
También:
Si (^) A a (^) ij , esta definida por (^) At a (^) ji ,.
Si A es de orden m x n, At^ será de orden n x m.
a. Propiedades útiles de la trasposición de matrices
La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:
1. (A + B)T^ = AT^ + BT.
2. (AT)T^ = A.
- (kA)T^ = kAT^ (si k es un escalar).
- (AB)T^ = BTAT.
1.8. Matrices ortogonales
Se dice que una matriz es ortogonal si AAT^ = AT^ A = I. Por otro lado una matriz A es invertible si existe una matriz B tal que AB = BA = I. Vemos que para todas las matrices ortogonales existe una tal matriz B , concretamente AT.
Si A y B son matrices ortogonales, su producto es también una matriz ortogonal.