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Esercizi esame Algebra lineare Ingegneria informatica/Gestionale e Matematica, Exams of Linear Algebra

Esercizi esame Algebra lineare Ingegneria informatica/Gestionale e Matematica

Typology: Exams

2020/2021

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Prova scritta di Algebra Lineare - 14 Gennaio 2021.
VERSIONE N.0
Cognome ..................... Nome ................. Matricola ........................
1. Dato il sistema S:(x+ 3y= 0
xy+ 4z=1rispondere alle seguenti do-
mande:
(a) Se’ risolubile? Se la vostra risposta e’ SI continuare con le do-
mande successive. Se la vostra risposta e’ NO, scrivete una gius-
tificazione.
(b) L’insieme delle soluzioni di Se’ uno spazio lineare o affine?
(c) Scrivere la dimensione e una rappresentazione parametrica dello
spazio delle soluzioni di S.
2. In V4(R), scrivere un complemento lineare del sottospazio cosi’ definito:
A=L((1,1,1,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)). Siete liberi di dare una rap-
presentazione cartesiana o parametrica.
3. Sia f:V4(R)V3(R) la funzione cosi’ definita:
f((x1, x2, x3, x4)) = (x1+x2, x1+x3, x1+x4), dove le coordinate sono
date rispetto alle basi dei versori.
La funzione fe’ lineare? Se la vostra risposta e’ SI, scrivere la matrice
rappresentativa di frispetto alle basi dei versori del dominio e codo-
minio e calcolare il rank(f). Se la vostra risposta e’ NO, giustificatela.
4. Si scriva, se esiste, una matrice 4 ×4 di rango 2 con 1,2,3 fra gli
autovalori o spiegare perch´e una siffatta matrice non esiste.
5. Sia A={XV(2,R) : ||X|| = 1}. Cosa rappresenta A?
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VERSIONE N.

Cognome ..................... Nome ................. Matricola ........................

  1. Dato il sistema S :

x + 3y = 0 x − y + 4z = − 1

rispondere alle seguenti do-

mande:

(a) S e’ risolubile? Se la vostra risposta e’ SI continuare con le do- mande successive. Se la vostra risposta e’ NO, scrivete una gius- tificazione. (b) L’insieme delle soluzioni di S e’ uno spazio lineare o affine? (c) Scrivere la dimensione e una rappresentazione parametrica dello spazio delle soluzioni di S.

  1. In V 4 (R), scrivere un complemento lineare del sottospazio cosi’ definito: A = L((1, 1 , − 1 , 0), (1, 0 , 1 , 0), (1, 0 , 0 , 1)). Siete liberi di dare una rap- presentazione cartesiana o parametrica.
  2. Sia f : V 4 (R) → V 3 (R) la funzione cosi’ definita: f ((x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )) = (x 1 + x 2 , x 1 + x 3 , x 1 + x 4 ), dove le coordinate sono date rispetto alle basi dei versori. La funzione f e’ lineare? Se la vostra risposta e’ SI, scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi dei versori del dominio e codo- minio e calcolare il rank(f ). Se la vostra risposta e’ NO, giustificatela.
  3. Si scriva, se esiste, una matrice 4 × 4 di rango 2 con 1, 2 , 3 fra gli autovalori o spiegare perch´e una siffatta matrice non esiste.
  4. Sia A = {X ∈ V (2, R) : ||X|| = 1}. Cosa rappresenta A?

VERSIONE N.

Cognome ..................... Nome ................. Matricola ........................

  1. Dato il sistema S :

x + 3y = 0 x − y + 4z = − 1 x + 7y − 4 z = 2

rispondere alle seguenti do-

mande

(a) S e’ risolubile? Se la vostra risposta e’ SI continuare con le do- mande successive. Se la vostra risposta e’ NO, scrivete una gius- tificazione. (b) L’insieme delle soluzioni di S e’ uno spazio lineare o affine? (c) Scrivere la dimensione e una rappresentazione parametrica dello spazio delle soluzioni di S.

  1. In V 4 (R), scrivere un complemento lineare del sottospazio cosi’ definito: A = L((1, 1 , − 1 , 0), (1, 0 , 1 , 0)). Siete liberi di dare una rappresen- tazione cartesiana o parametrica.
  2. Sia f : V 3 (R) → V 4 (R) la funzione cosi’ definita: f ((x 1 , x 2 , x 3 )) = (x 1 + x 2 , x 1 + x 3 , x 2 + x 3 , 0), dove le coordinate sono date rispetto alle basi dei versori. La funzione f e’ lineare? Se la vostra risposta e’ SI, scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi dei versori del dominio e codo- minio e calcolare il rank(f ). Se la vostra risposta e’ NO, giustificatela.
  3. Si scriva, se esiste, una matrice 4×4 di rango 2 con 1, 2 fra gli autovalori o spiegare perch´e una siffatta matrice non esiste.
  4. Sia P un punto dato di V (2, R) e A = {X ∈ V (2, R) : ||X − P || = 1}. Cosa rappresenta A?

VERSIONE N.

Cognome ..................... Nome ................. Matricola ........................

  1. Dato il sistema S :

x 1 + x 2 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 2

rispondere alle seguenti do-

mande

(a) S e’ risolubile? Se la vostra risposta e’ SI continuare con le do- mande successive. Se la vostra risposta e’ NO, scrivete una gius- tificazione. (b) L’insieme delle soluzioni di S e’ uno spazio lineare o affine? (c) Scrivere la dimensione e una rappresentazione parametrica dello spazio delle soluzioni di S.

  1. In V 4 (R), scrivere un complemento lineare del sottospazio cosi’ definito: A = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ V 4 (R) : x 3 + x 4 = 0}. Siete liberi di dare una rappresentazione cartesiana o parametrica.
  2. Sia f : V 4 (R) → V 2 (R) la funzione cosi’ definita: f ((x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )) = (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 , 0), dove le coordinate sono date rispetto alle basi dei versori. La funzione f e’ lineare? Se la vostra risposta e’ SI, scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi dei versori del dominio e codo- minio e calcolare il rank(f ). Se la vostra risposta e’ NO, giustificatela.
  3. Si scriva, se esiste, una matrice 3×3 di rango 2 con 1, 2 fra gli autovalori o spiegare perch´e una siffatta matrice non esiste.
  4. Sia N un dato vettore non nullo di V (3, R) e A = {X ∈ V (3, R) : 〈X, N 〉 = 0 }. Cosa rappresenta A?

VERSIONE N.

Cognome ..................... Nome ................. Matricola ........................

  1. Dato il sistema S :

x 1 + x 2 = 1 x 2 + x 3 = 2 x 3 + x 4 = 3 x 1 + x 4 = 2

rispondere alle seguenti domande

(a) S e’ risolubile? Se la vostra risposta e’ SI continuare con le do- mande successive. Se la vostra risposta e’ NO, scrivete una gius- tificazione. (b) L’insieme delle soluzioni di S e’ uno spazio lineare o affine? (c) Scrivere la dimensione e una rappresentazione parametrica dello spazio delle soluzioni di S.

  1. In V 4 (R), scrivere un complemento lineare del sottospazio cosi’ definito: A = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ V 4 (R) : x 3 = x 4 = 0}. Siete liberi di dare una rappresentazione cartesiana o parametrica.
  2. Sia f : V 3 (R) → V 4 (R) la funzione cosi’ definita: f ((x 1 , x 2 , x 3 )) = (x 1 + x 2 + x 3 , x 1 + x 2 , x 1 , 0), dove le coordinate sono date rispetto alle basi dei versori. La funzione f e’ lineare? Se la vostra risposta e’ SI, scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi dei versori del dominio e codo- minio e calcolare il rank(f ). Se la vostra risposta e’ NO, giustificatela.
  3. Si scriva, se esiste, una matrice 3 × 3 di rango 3 con 1, 2 fra gli auto- valori o spiegare perch´e una siffatta matrice non esiste.
  4. Sia N un dato vettore non nullo di V (2, R) e A = {X ∈ V (2, R) : 〈X, N 〉 = 0 }. Cosa rappresenta A?

VERSIONE N.

Cognome ..................... Nome ................. Matricola ........................

  1. Dato il sistema S :

x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 3 = 0

rispondere alle seguenti domande

(a) S e’ risolubile? Se la vostra risposta e’ SI continuare con le do- mande successive. Se la vostra risposta e’ NO, scrivete una gius- tificazione. (b) L’insieme delle soluzioni di S e’ uno spazio lineare o affine? (c) Scrivere la dimensione e una rappresentazione parametrica dello spazio delle soluzioni di S.

  1. In V 3 (R), scrivere un complemento lineare del sottospazio cosi’ definito: A = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ V 3 (R) : x 1 + x 2 + x 3 = 0}. Siete liberi di dare una rappresentazione cartesiana o parametrica.
  2. Sia f : V 3 (R) → V 3 (R) la funzione cosi’ definita: f ((x 1 , x 2 , x 3 )) = (0, x 1 + x 2 , x 1 + x 3 ), dove le coordinate sono date rispetto alle basi dei versori. La funzione f e’ lineare? Se la vostra risposta e’ SI, scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi dei versori del dominio e codo- minio e calcolare il rank(f ). Se la vostra risposta e’ NO, giustificatela.
  3. Si scriva, se esiste, una matrice 4 × 4 di rango 3 con 1, 2 , 3 fra gli autovalori o spiegare perch´e una siffatta matrice non esiste.
  4. Siano P e Q due punti distinti di V (2, R) e A = {X ∈ V (2, R) : ||X − P || = ||X − Q||}. Cosa rappresenta A?

VERSIONE N.

Cognome ..................... Nome ................. Matricola ........................

  1. Dato il sistema S :

x 1 + x 2 = 0 x 2 + x 3 = 0

rispondere alle seguenti domande

(a) S e’ risolubile? Se la vostra risposta e’ SI continuare con le do- mande successive. Se la vostra risposta e’ NO, scrivete una gius- tificazione. (b) L’insieme delle soluzioni di S e’ uno spazio lineare o affine? (c) Scrivere la dimensione e una rappresentazione parametrica dello spazio delle soluzioni di S.

  1. In V 3 (R), scrivere un complemento lineare del sottospazio cosi’ definito: A = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ V 3 (R) : x 1 + x 2 + x 3 = 0 = x 2 }. Siete liberi di dare una rappresentazione cartesiana o parametrica.
  2. Sia f : V 4 (R) → V 3 (R) la funzione cosi’ definita: f ((x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )) = (x 3 , x 2 , x 1 ), dove le coordinate sono date rispetto alle basi dei versori. La funzione f e’ lineare? Se la vostra risposta e’ SI, scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi dei versori del dominio e codo- minio e calcolare il rabk(f ). Se la vostra risposta e’ NO, giustificatela.
  3. Si scriva, se esiste, una matrice 3 × 3 di rango 1 con 1, 2 , 3 fra gli autovalori o spiegare perch´e una siffatta matrice non esiste.
  4. Sia P un dato punto di V (2, R) e A = {X ∈ V (2, R) : ||X − P || = 2||}. Cosa rappresenta A?

VERSIONE N.

Cognome ..................... Nome ................. Matricola ........................

  1. Dato il sistema S :

x 1 + x 2 = 1 x 2 + x 3 = 2

rispondere alle seguenti domande

(a) S e’ risolubile? Se la vostra risposta e’ SI continuare con le do- mande successive. Se la vostra risposta e’ NO, scrivete una gius- tificazione. (b) L’insieme delle soluzioni di S e’ uno spazio lineare o affine? (c) Scrivere la dimensione e una rappresentazione parametrica dello spazio delle soluzioni di S.

  1. In V 5 (R), scrivere un complemento lineare del sottospazio cosi’ definito: A = L((1, 1 , 0 , 0 , 0), (1, 0 , 1 , 0 , 0), (1, 0 , 0 , 1 , 0)). Siete liberi di dare una rappresentazione cartesiana o parametrica.
  2. Sia f : V 3 (R) → V 3 (R) la funzione cosi’ definita: f ((x 1 , x 2 , x 3 )) = (x 3 − x 2 , x 2 − x 1 , x 1 ), dove le coordinate sono date rispetto alle basi dei versori. La funzione f e’ lineare? Se la vostra risposta e’ SI, scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi dei versori del dominio e codo- minio e calcolare il rank(f ). Se la vostra risposta e’ NO, giustificatela.
  3. Si scriva, se esiste, una matrice 3 × 3 di rango 3 con 0 fra gli autovalori o spiegare perch´e una siffatta matrice non esiste.
  4. Sia N un dato vettore non nullo di V (3, R) e A = {X ∈ V (3, R) : 〈X, N 〉 = 0 }. Cosa rappresenta A?