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1. Ejercicios Ecuaciones diferenciales
1.1 Determinar si la funci ´on ϕ es soluci ´on de la ecuaci ´on diferencial correspondiente. La constante c ∈ R es arbitraria. (a) ϕ (t) = ln(c + et), x˙ = et−x, (b) t = ϕ (t)ec ϕ (t)+^1 , x˙ = (^) t(ln t−xln x) , (c) t = ϕ ln(c ϕ ), x˙(t + x) = x, (d) t( ϕ + 1 ) = 2 e ϕ −t, x˙ = (t+^1 )( txx +^1 ).
1.2 Mostrar que las funciones ψ (t) = ct − c^2 (c ∈ R ), φ (t) = t^2 /4, son soluciones de la ED ˙x^2 = t x˙ − x.
1.3 Suponga que la funci ´on x = x(t) verifica que x( 0 ) = 0 y tambi´en la ecuaci ´on diferencial x˙ = ( 1 + x^2 )t, para todo t. Demostrar que t = 0 determina un m´ınimo global de x(t) y que la funci ´on x(t) es convexa para todo t.
1.4 Encontrar las primeras cuatro aproximaciones sucesivas ψ k (k = 0,... , 3) para la soluci ´on de cada ED. (a) x˙ = 3 x + 1, x( 0 ) = 2, (b) y˙ = y^2 , y( 0 ) = 1, (c) y˙ = y^2 − t, y( 1 ) = 1, (d) x˙ 1 = x 2 , x˙ 2 = −x 1 , x( 0 ) = [0, 1]′, (e) x¨ = t − x, x( 0 ) = 1, x˙( 0 ) = 0. ¿ Se puede hacer una conjetura sobre la soluci ´on en cada caso?
1.5 Sup ´ongase que la funci ´on F s ´olo depende de t, es decir,
x˙ = f (t). Si f es integrable, probar que la funci ´on
ψ (t) :=
∫ (^) t t 0 f^ (s)^ ds^ +^ c, satisface la ED anterior para cualquier constante c ∈ R. ¿ Cu´al debe ser el valor de la constante si x(t 0 ) = x 0?
1.6 Con base en el ejercicio anterior, encontrar la soluci ´on de las siguientes EDs
(a) x˙ = 3 t + 1, x( 0 ) = 2, (b) y˙ = (^) t( 11 −t) , (c) y˙ = t^2 et, y( 1 ) = 1, (d) x˙ = (^) (t−cta)(+td−b) , a, b, c, d ∈ R ,
1.7 Resuelve las siguientes escuaciones de variables separables
(a) x^2 x˙ = t + 1, x( 1 ) = 1, (b) x˙ = t^3 − t,
(c) x˙ = tet^ − t, (d) ex^ x˙ = t + 1, (e) x˙ = ax. Hallar en particular la curva integral que pasa por (t 0 , x 0 ). (f) dydx = ycosx 1 − 2 y (g) ( 1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2 )dy = ( 1 + y^2 )dx (h) y′^ + y^2 − y = 0,con la condici ´on inicial y( 2 ) = 4 (i) eycosx + cosx + (eysenx + ey)y′^ = 0, con la condici ´on inicial, y( π ) = 0 (j) ddx^2 y 2 = k
√ 1 +( dydx )^2 a−x , donde^ a,^ k^ son constantes tales que^ a^ ∈^ R ,^ k^6 =^ 0 y^ x^ <^ a.^ Hint:^ Defina z = dydx que reduce la ecuaci ´on a una de primer orden. 1.8 Muestre que la ecuaci ´on diferencial no separable [F(x) + yG(xy)]dx + xG(xy)dy = 0 se con- vierte en separable al cambiar la variable dependiente y a v de acuerdo a la transformaci ´on v = xy. Use esto para resolver [x^2 + ysen(xy)]dx + xsen(xy)dy = 0 1.9 Muestre que la ecuaci ´on diferencial no separable dydx = f (ax + by + c) con a, b, c constantes, se vuelve separable al hacer el cambio de variable v(x) = ax + by + c.
1.10 Use el ejercicio anterior para resolver las siguientes ecuaci ´ones diferenciales:
a) y′^ = cos(x − y) b) y′^ − y = 2 x − 3
1.11 Considere la ecuaci ´on y′^ = ky en −∞ < x < ∞ donde k es una constante.
(a) Demuestra que si φ es una soluci ´on cualquiera, y ψ (x) = φ (x)e−kx, entonces ψ (x) = c, donde c es una constante. (b) Demuestre que si Re(k) < 0, entonces toda soluci ´on tender´a a cero cuando x → ∞. (c) ¿Qu´e se puede decir sobre las magnitudes de las solcuiones si Re(k) = 0?
1.12 (Inter´es compuesto). Suponga que w = w(t) > 0 representa el saldo de una cuenta en el ins- tante t y que r(t) representa la tasa de inter´es continua. Entonces se tiene la ecuaci ´on diferencial w˙ = r(t)w. Resolverla suponiendo que w( 0 ) = w 0 es el saldo inicial.
1.13 Designemos por X = X(t) al producto nacional, por K = K(t) al stock de capital, y por L = L(t) al n ´umero de empleados de un pa´ıs en el tiempo t. Supongamos que para t ≥ 0, setienen las ecuaciones
X = AK^1 − α^ L α^ (1.1) K˙ = sX (1.2) L = L 0 e λ t^ (1.3) donde A, α , s, L 0 y λ son cosntantes positivas con 0 < α < 1. Interpretar las tres ecuaciones anteriores y deducir una ecuaci ´on diferencial que determine K = K(t) y hallar la soluci ´on cuando K( 0 ) = K 0 > 0.
(c) x˙ = tet^ − t, (d) ex^ x˙ = t + 1, (e) x˙ = ax. Hallar en particular la curva integral que pasa por (t 0 , x 0 ). (f) dydx = ycosx 1 − 2 y (g) ( 1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2 )dy = ( 1 + y^2 )dx (h) y′^ + y^2 − y = 0,con la condici ´on inicial y( 2 ) = 4 (i) eycosx + cosx + (eysenx + ey)y′^ = 0, con la condici ´on inicial, y( π ) = 0 (j) ddx^2 y 2 = k
√ 1 +( dydx )^2 a−x , donde^ a,^ k^ son constantes tales que^ a^ ∈^ R ,^ k^6 =^ 0 y^ x^ <^ a.^ Hint:^ Defina z = dydx que reduce la ecuaci ´on a una de primer orden. 1.8 Muestre que la ecuaci ´on diferencial no separable [F(x) + yG(xy)]dx + xG(xy)dy = 0 se con- vierte en separable al cambiar la variable dependiente y a v de acuerdo a la transformaci ´on v = xy. Use esto para resolver [x^2 + ysen(xy)]dx + xsen(xy)dy = 0 1.9 Muestre que la ecuaci ´on diferencial no separable dydx = f (ax + by + c) con a, b, c constantes, se vuelve separable al hacer el cambio de variable v(x) = ax + by + c.
1.10 Use el ejercicio anterior para resolver las siguientes ecuaci ´ones diferenciales:
a) y′^ = cos(x − y) b) y′^ − y = 2 x − 3
1.11 Considere la ecuaci ´on y′^ = ky en −∞ < x < ∞ donde k es una constante.
(a) Demuestra que si φ es una soluci ´on cualquiera, y ψ (x) = φ (x)e−kx, entonces ψ (x) = c, donde c es una constante. (b) Demuestre que si Re(k) < 0, entonces toda soluci ´on tender´a a cero cuando x → ∞. (c) ¿Qu´e se puede decir sobre las magnitudes de las solcuiones si Re(k) = 0?
1.12 (Inter´es compuesto). Suponga que w = w(t) > 0 representa el saldo de una cuenta en el ins- tante t y que r(t) representa la tasa de inter´es continua. Entonces se tiene la ecuaci ´on diferencial w˙ = r(t)w. Resolverla suponiendo que w( 0 ) = w 0 es el saldo inicial.
1.13 Designemos por X = X(t) al producto nacional, por K = K(t) al stock de capital, y por L = L(t) al n ´umero de empleados de un pa´ıs en el tiempo t. Supongamos que para t ≥ 0, setienen las ecuaciones
X = AK^1 − α^ L α^ (1.1) K˙ = sX (1.2) L = L 0 e λ t^ (1.3) donde A, α , s, L 0 y λ son cosntantes positivas con 0 < α < 1. Interpretar las tres ecuaciones anteriores y deducir una ecuaci ´on diferencial que determine K = K(t) y hallar la soluci ´on cuando K( 0 ) = K 0 > 0.
1.14 (Funci ´on CES) Referente a un estudio de funciones de producci ´on CES (elasticidad de sustitu- ci ´on constante), Arrow, Chenery y Solow trataron la ecuaci ´on diferencial
dy dx =^
y( 1 − α y ρ ) x ( α ,^ ρ^ constantes;^ ρ^^6 =^ 0;^ x^ >^ 0;^ y^ >^0 )^ (1.4) Usar la identidad (^1) y + 1 α −y ρα −y^1 ρ = (^) y( 1 −^1 α y ρ (^) ) para probar que la soluci ´on de la ecuaci ´on diferencial 1.4 es
y = ( β x− ρ^ + α )−^1^ ρ . Escribir x = K/L, y = Y/L y definir nuevas constantes A = ( α + β )−^1^ ρ^ , a = (^) α + ββ. Finalmente escriba la soluci ´on anterior como Y = A[aK− ρ^ + ( 1 − a)L− ρ ]−^1^ ρ^ que es una forma particular de la funci ´on CES.
1.15 Resolver la ecuaci ´on diferencial dxdt = B(x − a)(x − b) con a 6 = b. Hallar, en particular, la soluci ´on cuando B = −1, a = −1 y b = 2. Dibujar algunas curvas integrales de este caso.
1.16 Probar que e λ t^ y te λ t^ son l.i.
1.17 Probar que eat^ cos(bt) y eat^ sen(bt) son l.i.
1.18 Considera la ecuaci ´on diferencial ˙x + ax = b(t) donde a es una constante y b(t) es continua en 0 ≤ x < ∞ y adem´as que se satisface |b(t)| ≤ k, con k es cierta constante positiva. (a) Encuentra la soluci ´on φ que satisfaga la condici ´on φ ( 0 ) = 0. (b) Si Re(a) 6 = 0, demuestre que esta soluci ´on satisface la siguiente condici ´on
| φ (t)| ≤ (^) Rek(a) [ 1 − e−Re(a)t]
(c) Demuestre que el miembro derecho de la desigualdad dad en (b) es la soluci ´on de la ecuci ´on diferencial x˙ + Re(a)x = k, (Re(a) 6 = 0 ) cuya gr´afica pasa por el origen.
1.19 Considera la ecuaci ´on diferencial ˙x + ax = b(t) donde a es una constante tal que Re(a) > 0 y b(t) es continua en 0 ≤ x < ∞ la cual tiende a la constante β cuando x → ∞. Demuestre que toda soluci ´on de esta ecuaci ´on diferencial tiende a β a cuando x → ∞.
1.20 En este ejercicio se considera la ED lineal de primer orden con coeficientes variables
x˙ + a(t)x = b(t), x(t 0 ) = x 0 , donde a, b son continuas en alg ´un intervalo I ⊆ R. Sea A : I → R una funci ´on derivable tal que A˙ = a. (a) Demostrar que d dt [x(t)e
A(t)] = b(t)eA(t).
1. Ejercicios Ecuaciones diferenciales
1.1 Determinar si la funci ´on ϕ es soluci ´on de la ecuaci ´on diferencial correspondiente. La constante c ∈ R es arbitraria. (a) ϕ (t) = ln(c + et), x˙ = et−x, (b) t = ϕ (t)ec ϕ (t)+^1 , x˙ = (^) t(ln t−xln x) , (c) t = ϕ ln(c ϕ ), x˙(t + x) = x, (d) t( ϕ + 1 ) = 2 e ϕ −t, x˙ = (t+^1 )( txx +^1 ).
1.2 Mostrar que las funciones ψ (t) = ct − c^2 (c ∈ R ), φ (t) = t^2 /4, son soluciones de la ED ˙x^2 = t x˙ − x.
1.3 Suponga que la funci ´on x = x(t) verifica que x( 0 ) = 0 y tambi´en la ecuaci ´on diferencial x˙ = ( 1 + x^2 )t, para todo t. Demostrar que t = 0 determina un m´ınimo global de x(t) y que la funci ´on x(t) es convexa para todo t.
1.4 Encontrar las primeras cuatro aproximaciones sucesivas ψ k (k = 0,... , 3) para la soluci ´on de cada ED. (a) x˙ = 3 x + 1, x( 0 ) = 2, (b) y˙ = y^2 , y( 0 ) = 1, (c) y˙ = y^2 − t, y( 1 ) = 1, (d) x˙ 1 = x 2 , x˙ 2 = −x 1 , x( 0 ) = [0, 1]′, (e) x¨ = t − x, x( 0 ) = 1, x˙( 0 ) = 0. ¿ Se puede hacer una conjetura sobre la soluci ´on en cada caso?
1.5 Sup ´ongase que la funci ´on F s ´olo depende de t, es decir,
x˙ = f (t). Si f es integrable, probar que la funci ´on
ψ (t) :=
∫ (^) t t 0 f^ (s)^ ds^ +^ c, satisface la ED anterior para cualquier constante c ∈ R. ¿ Cu´al debe ser el valor de la constante si x(t 0 ) = x 0?
1.6 Con base en el ejercicio anterior, encontrar la soluci ´on de las siguientes EDs
(a) x˙ = 3 t + 1, x( 0 ) = 2, (b) y˙ = (^) t( 11 −t) , (c) y˙ = t^2 et, y( 1 ) = 1, (d) x˙ = (^) (t−cta)(+td−b) , a, b, c, d ∈ R ,
1.7 Resuelve las siguientes escuaciones de variables separables
(a) x^2 x˙ = t + 1, x( 1 ) = 1, (b) x˙ = t^3 − t,
(c) x˙ = tet^ − t, (d) ex^ x˙ = t + 1, (e) x˙ = ax. Hallar en particular la curva integral que pasa por (t 0 , x 0 ). (f) dydx = ycosx 1 − 2 y (g) ( 1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2 )dy = ( 1 + y^2 )dx (h) y′^ + y^2 − y = 0,con la condici ´on inicial y( 2 ) = 4 (i) eycosx + cosx + (eysenx + ey)y′^ = 0, con la condici ´on inicial, y( π ) = 0 (j) ddx^2 y 2 = k
√ 1 +( dydx )^2 a−x , donde^ a,^ k^ son constantes tales que^ a^ ∈^ R ,^ k^6 =^ 0 y^ x^ <^ a.^ Hint:^ Defina z = dydx que reduce la ecuaci ´on a una de primer orden. 1.8 Muestre que la ecuaci ´on diferencial no separable [F(x) + yG(xy)]dx + xG(xy)dy = 0 se con- vierte en separable al cambiar la variable dependiente y a v de acuerdo a la transformaci ´on v = xy. Use esto para resolver [x^2 + ysen(xy)]dx + xsen(xy)dy = 0 1.9 Muestre que la ecuaci ´on diferencial no separable dydx = f (ax + by + c) con a, b, c constantes, se vuelve separable al hacer el cambio de variable v(x) = ax + by + c.
1.10 Use el ejercicio anterior para resolver las siguientes ecuaci ´ones diferenciales:
a) y′^ = cos(x − y) b) y′^ − y = 2 x − 3
1.11 Considere la ecuaci ´on y′^ = ky en −∞ < x < ∞ donde k es una constante.
(a) Demuestra que si φ es una soluci ´on cualquiera, y ψ (x) = φ (x)e−kx, entonces ψ (x) = c, donde c es una constante. (b) Demuestre que si Re(k) < 0, entonces toda soluci ´on tender´a a cero cuando x → ∞. (c) ¿Qu´e se puede decir sobre las magnitudes de las solcuiones si Re(k) = 0?
1.12 (Inter´es compuesto). Suponga que w = w(t) > 0 representa el saldo de una cuenta en el ins- tante t y que r(t) representa la tasa de inter´es continua. Entonces se tiene la ecuaci ´on diferencial w˙ = r(t)w. Resolverla suponiendo que w( 0 ) = w 0 es el saldo inicial.
1.13 Designemos por X = X(t) al producto nacional, por K = K(t) al stock de capital, y por L = L(t) al n ´umero de empleados de un pa´ıs en el tiempo t. Supongamos que para t ≥ 0, setienen las ecuaciones
X = AK^1 − α^ L α^ (1.1) K˙ = sX (1.2) L = L 0 e λ t^ (1.3) donde A, α , s, L 0 y λ son cosntantes positivas con 0 < α < 1. Interpretar las tres ecuaciones anteriores y deducir una ecuaci ´on diferencial que determine K = K(t) y hallar la soluci ´on cuando K( 0 ) = K 0 > 0.
(b) Usar el inciso anterior para probar que la soluci ´on de la ED puede escribirse como
x(t) = e−A(t)
[
x(t 0 )eA(t^0 )^ +
∫ (^) t t 0 b(s)e
A(s) (^) ds
]
A la funci ´on eA(t)^ se le conoce como factor integrante. N ´otese que A(t) es ´unica, salvo una constante aditiva. (c) Identificar el factor integrante de la siguiente ED x˙ + 2 tx = x. Encontrar su soluci ´on si x( 0 ) = 2. (d) Resolver la ED ˙x − x tan(t) = esen(t)^ si t ∈ (0, π /2).
1.21 Encuentra las soluciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden.
(a) y′^ + 2 xy = x (b) (x + 1 )y′^ − 2 y = (x + 1 )^4 (c) xy′^ + y = 3 x^3 − 1 (para x > 0 ) (d) ( 2 x^2 − yex^ )dx − ex^ dy = 0 (e) y′^ + ex^ y = 3 ex (f) (xlnx)y′^ + ( 1 + lnx)y +
√x( 2 +lnx) 2 =^0 (g) y′^ − 2 xy = xy^2 (h) xy′′^ − 3 y′^ = 4 x^2 (defina y′^ = v) (i) xe^2 y dydx + e^2 y^ = lnxx , utilizando u = e^2 y (j) y′^ + ylny = yex, utilizando u = lny que implica y = eu (k) dydx = 2 + √y − 2 x + 3, utilizando u = y − 2 x + 3 (l) dydx = (^) x sin y+^1 2 sin 2y (m) Identificar el factor integrante de la siguiente ED x˙ + 2 tx = x. Encontrar su soluci ´on si x( 0 ) = 2. (n) Resolver la ED ˙x − x tan(t) = esen(t)^ si t ∈ (0, π /2). ( ˜n) y′^ + ay = 0, donde a es una constante compleja (o) y′^ + ay = b(x), donde a es una constante compleja y b(x) es un polinomio de grado n o una funci ´on trigonom´etrica (seno o coseno).
1.22 Considere el siguiente modelo de crecimiento econ ´omico de un pa´ıs en v´ıas de desarrollo
X(t) = σ K(t) (1.5) K˙ = α X(t) + H(t) (1.6) N(t) = N 0 e ρ t^ (1.7) donde X(t) es la producci ´on total aual, K(t) el estock de capital, H(t) el flujo anual de ayuda exterior y N(t) el tama ˜no de la poblaci ´on, todo medido en el instante t. a) Intreprete las ecuaciones anteriores. b) Deducir de dichas ecuaciones una ecuaci ´on diferencial para K(t) suponiendo que H(t) = H 0 e μ t, K( 0 ) = K 0 y ασ 6 = μ. c) Hallar una expresi ´on x(t) = X(t)/K(t), que es la producci ´on perc´apita.
1.23 En un modelo macroecon ´omico, C(t), I(t) y Y(t) designan respectivamente consumo, inversi ´on y renta nacional de un pa´ıs en el instante t. Supongamos que
C(t) + I(t) = Y(t) (1.8) k C(˙t) = I(t) (1.9) C(t) = aY(t) + b (1.10) para todo t, donde a, b, k son constantes positivas y α < 1. (a) Deducir la siguiente ecuaci ´on diferencial para Y(t)
Y(^ ˙t) = 1 −^ a ka Y(t)^ −^
b ka (b) Resolver esta ecuaci ´on con Y( 0 ) = Y 0 > (^1) −ba y hallar la funci ´on I(t) correspondiente. (c) Calcular l´ t→ım∞^ Y I((tt))
1.24 Se considera un ´unico bien en un mercado de competencia perfecta, siendo D(p) y S(p) las funciones de demanda y oferta, respectivamente, donde p es el precio del bien. Si el precio aumenta proporcionalmente al exceso de demanda, se tiene para α > 0 la ecuaci ´on diferencial
p˙ = α (D(p) − S(p) Si se supone que tanto la oferta como la demanda son lineales, es decir, D(p) = a + bp y S(t) = c + dp (a) Escriba la nueva ecuaci ´on diferencial (b) Calcule el punto de equilibrio cuando d 6 = b y ab−−cd (c) Resuelva la ecuaci ´on diferencial con la condici ´on inicial P( 0 ) = p 0 (d) Haga un an´alisis de la estabilidad de la soluci ´on
1.25 En el modelo del ejercicio anterior se han considerado funciones de demanda y oferta que s ´olo dependen del precio en un instante dado.Sin embargo, es frecuente que tanto los vendedores como los compradores tomen sus decisiones no s ´olo en funci ´on del precio del bien en el instante presente, sino tambien en funci ´on de la tendencia de dicho precio, puesto que la consideraci ´on de la tendencia crea ciertas expectativas sobre los precios futuros influyendo en la oferta y demanda. Sean D(p, ˙p, ¨p) = a + bp + c p˙ + d p¨ y S(p, ˙p, ¨p) = e + f p + g p˙ + h p¨ las funciones de demanda y oferta, respectivamente. (a) Usa la condici ´on de equilibrio para generar una ecuaci ´on diferencial de segundo orden. (b) Calcula el punto de quilibrio (c) Halle condiciones para que el punto de equilibrio sea asint ´oticamente estable.
1.26 Considerar la ecuaci ´on t^2 x˙ + 2 tx = 1 en el intervalo (0, ∞).
(a) Demostrar que toda soluci ´on tiende a cero cuando t → ∞. (b) Encontrar la soluci ´on φ que satisface φ ( 2 ) = 2 φ ( 1 )
1.27 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales tipo Bernoulli
1.34 Muestre que si la ecuaci ´on M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es tal que (^) xM^1 −yN (Nx − My) = F(xy), esto es, una funci ´on del producto xy, entonces el factor integrante es e
∫ (^) F(u)du , donde u = xy. Use esto para resolver (y^2 + xy + 1 )dx + (x^2 + xy + 1 )dy = 0.
1.35 Resuelve las siguientes ecuaciones de Riccati
(a) y′^ = 1 − xy + y^2. (b) y′^ = cosx − 12 senxtanx + y2 1 2 secx, y 1 = senx. (c) y′^ = e^2 x^ + ( 1 + 52 ex^ )y + y^2 , y 1 = − 12 ex^. (d) y′^ = −( 1 + x + x^2 ) − ( 2 x + 1 )y − y^2 , y 1 = −x. (e) y′^ = ( 1 + x + 2 x^2 cosx) − ( 1 + 4 xcosx)y + 2 y^2 cosx, y 1 = x. (f) y′^ = − 2 + 3 y − y^2
1.36 Sea u : R → R una de clase C^2.
(a) Si u es una funci ´on de utilidad, explicar por qu´e se pide que ˙u > 0 y ¨u < 0. (b) Se dice que u es una funci ´on de tipo CARA (constant absolute risk aversion) si
− uu¨ ˙((cc)) = k,
donde k es una constante positiva. Encontrar la forma general de las funciones u de ti- po CARA y dar condiciones sobre los par´ametros para que u satisfaga las propiedades impuestas en (a). (c) Se dice que u es de tipo HARA (hyperbolic absolute risk aversion) si
− uu¨ ˙((cc)) = (^) σ − (^11) c − α
donde σ , α son constantes. Encontrar la forma general de las funciones u de tipo HARA y dar condiciones sobre los par´ametros para que u satisfaga las propiedades impuestas en (a). Sugerencia: Considerar dos casos σ = 1 y σ 6 = 1. (d) Se dice que u es de tipo CRRA (constant relative risk aversion) si
− cu^ u ˙¨((cc)) = ρ ,
donde ρ es una constante positiva. Encontrar la forma general de las funciones u de ti- po CRRA y dar condiciones sobre los par´ametros para que u satisfaga las propiedades impuestas en (a). Sugerencia: Considerar dos casos ρ = 1 y ρ 6 = 1.
1.37 Un modelo de crecimiento econ ´omico conduce a la ecuaci ´on de Bernoulli
K^ ˙ = α A(n 0 )ae(av+ e )tKb^ − αδ K, (A, n 0 , a, b, v, α , δ , e son constantes positivas) Hallarla soluci ´on general de la ecuaci ´on cuando av + e + αδ ( 1 − b) 6 = 0
1.38 Considere la ecuaci ´on diferencial ˙x = 12 (x^2 − 1 )
(a) Hallar la soluci ´on de esta ecuaci ´on diferencial y dibujar algunas curvas integrales en el plano tx. ¿Qu´e ocurre con la soluci ´on cuando t → ∞ para distintos puntos iniciales x 0? (b) Hallar los estados de equilibrio. Decidir si son estables o inestables
1.39 Sea φ una soluci ´on de la ecuaci ´on diferencial y′′^ + a 1 y′^ + a 2 y = 0, donde a 1 y a 2 son constantes. Si ψ (x) = e(a^1 /2)x^ φ (x), demuestre que ψ (x) satisface una ecuaci ´on diferencial y′′^ + ky = 0, donde k es una constante. Calcular k.
1.40 Demuestre que φ 1 (x) = x^2 y φ 2 (x) = x|x| son linealmente independientes en −∞ < x < ∞. Calcule el Wronskiano de estas funciones.
1.41 Hallar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
(a) x¨ = 3 x (b) y′′^ + 2 y′^ + 17 y = 0 (c) y′′^ + y = 0 con las condiciones y( 0 ) = 1, y′( 0 ) = − 1 (d) y′′^ − y′^ − 2 y = 0 con las condiciones y( 0 ) = 1, y′( 0 ) = 4 (e) y(^4 )^ − y′′′^ − 7 y′′^ + y′^ + 6 y = 0 (f) y(^4 )^ + 8 y′′^ + 16 y = 0 (g) y(^4 )^ − 2 y′′′^ + 2 y′′^ − 2 y′^ + y = 0 (h) x¨ + 4 ˙x + 8 x = 0 (i) x¨ + 3 ˙x + 2 x = e^5 t (j) 3 ¨x − 30 ˙x + 75 x = 2 t + 1 a) y′′^ + 3 y′^ + 2 y = 3 x^2 − x + 1 (k) y′′^ + 4 y′^ + 4 y = e^3 x (l) y′′^ + y′^ = cos 2 x (m) y′′^ + y′^ + y = xex (n) y′′^ − y = ex^ senx ( ˜n) x¨ + 2 ˙x + x = t^2 , x( 0 ) = 0, ˙x( 0 ) = 1, (o) x¨ + 4 x = 4 t + 1, x( π /2) = 0, ˙x( π /2) = 0,
1.42 Sea φ n cualquier funci ´on que satisface la ecuaci ´on diferencial con condiciones de frontera
y′′^ + n^2 y = 0, y( 0 ) = y( 2 π ), y′( 0 ) = y′( 2 π ) donde n = 0, 1, 2, ...,. (a) Demuestra que
∫ (^2) π 0^ φ n(x) φ m(x)^ dx^ =^0 (b) Demuestre que sen(nx) y cos(nx) son funciones que satisfacen la ecuiuaci ´on diferencial con condiciones de frontera. entonces el resultado del inciso anterior implican que
∫ (^2) π 0 cos(nx)cos(mx)^ dx^ =^ 0,
∫ (^2) π 0 cos(nx)sen(mx)^ dx^ =^ 0,
∫ (^2) π 0 sen(nx)sen(mx)^ dx^ =^0
6.4 Resuelva el siguiente problema usando programaci ´on din´amica
m´ uınt
t^ ∑= 0 (x^2 t^ +^ u^2 t^ )
∣∣ xt+ 1 = xt + ut, t = 0, 1, 2, 3, x 0 = 0, x 4 = 8, ut entero no negativo
6.5 Escribe la ecuaci ´on de Bellman del siguiente problema de control ´optimo en tiempo discreto
m´ u 1 ax,u 2
t= 1
f (xt, ut) + 3 x^23
∣∣ xt+ 1 = f (xt, ut), t = 1, 2, x 1 = 1
6.6 Encuentre las estrategias markovianas y las de lazo abierto que resuelven el siguiente problema
m´ax
{T− 1
t= 0
− 23 ut xt
∣∣ xt+ 1 = xt( 1 + ut xt), x 0 > 0, ut ≥ 0
Sugerencia: Observe que JT−k (x) = ln x + kC, k = 0, 1,... , T, donde C es una constante.
6.7 Resuelva el siguiente problema usando programaci ´on din´amica
m´ uax t ∈ R
t^ ∑= 0
[
1 − (x^2 t + 2 u^2 t )
] ∣∣
∣∣ xt+ 1 = xt − ut, t = 0, 1, x 0 = 5
Calcule Js(x) y u∗ s (x) para s = 0, 1, 2
6.8 Resuelva el siguiente problema usando programaci ´on din´amica
um´ax t ∈[0,1]
{ T
t^ ∑= 0 (^3 −^ ut)x^2 t
∣∣ xt+ 1 = xtut, x 0 dado
6.9 Considere el problema
m´ ut ∈ax R
{T− 1
t^ ∑= 0 (−e− γ ut^ )^ −^ α e− γ xT
∣∣ xt+ 1 = 2 xt − ut, x 0 dado
(a) Calcule JT (x), JT− 1 (x), JT− 2 (x).
(b) Muestre que Jt(x) = − α te− γ x^ y encuentre una ecuaci ´on en diferencias para α t.
Ecuaciones diferenciales Jean L. Marroqu´ın
Variaci´on de par´ametros sin Wronskiano
5 de marzo de 2025
Nombre Jean L. Marroqu´ın Tapia Lab Mate IV
Construcci´on del Sistema de Ecuaciones
Queremos resolver la ecuaci´on^1 L(y ) = φ(x) Recordemos que si y 1 (x),... , yn(x) son n soluciones linealmente independientes de L(y ) = 0, su soluci´on general es
yh = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + · · · + cnyn(x)
Este m´etodo asume que la soluci´on particular tiene la misma forma de la soluci´on homog´enea
yh = c 1 (x)y 1 (x) + c 2 (x)y 2 (x) + · · · + cn(x)yn(x)
Para encontrar los ci (x), i = 1, 2 ,... , n, resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales
c 1 ′y 1 + c 2 ′y 2 + · · · + c n′yn = 0 c 1 ′y 1 ′ + c 2 ′y 2 ′ + · · · + c n′y (^) n′ = 0 ... c 1 ′y 1 (n −2)+ c 2 ′y 2 (n −2)+ · · · + c n′y (^) n(n −2)= 0 c 1 ′y 1 (n −1)+ c 2 ′y 2 (n −1)+ · · · + c n′y (^) n(n −1)= φ(x)
El sistema es de n ecuaciones para n inc´ognitas, por lo que la soluci´on de los coeficientes es ´unica.
Ejemplo
Consideremos la ecuaci´on
y ′′^ − 4 y ′^ + 4y = x^2 e^2 x^.
Sol.
yp (x) = c 1 ′e^2 x^ + c 2 ′xe^2 x Ahora construimos el sistema de ecuaciones (^) ( c 1 ′e^2 x^ + c 2 ′xe^2 x^ = 0 c 1 ′(e^2 x^ )′^ + c 2 ′(xe^2 x^ )′^ = x^2 e^2 x ( c 1 ′e^2 x^ + c 2 ′xe^2 x^ = 0 2 c 1 ′e^2 x^ + c 2 ′(e^2 x^ + 2xe^2 x^ ) = x^2 e^2 x (^1) L(y ) representa un operador diferencial
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Ecuaciones diferenciales Jean L. Marroqu´ın
As´ı
yp = c 1 (x) + c 2 (x) cos(x) + c 3 (x) sin(x) = ln
(^) 1 + sin (x) cos (x)
− x cos(x) + ln (|cos(x)|) sin(x)
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Horizonte infinito Brian & Jean
Horizonte Infinito
27 de mayo de 2025
Nombre Jean L. Marroquín & Brian Roque Lab. Mate IV
- Considere el problema: m´ax J =
Z ∞
0
e−r t
− u
2 2 +^ xu^ −^
x^2 2
dt s.a. x˙ = u con x(0) = x 0 > 0 , r > 1 Demostrar que (a) Las funciones óptimas x(t) y u(t) verifican x ˙ = x + m m ˙ = (r − 1)m donde m(t) es la variable de coestado, cuando se utiliza el Hamiltoniano valor corriente. (b) La única solución de equilibrio para el sistema de ecuaciones diferenciales es (0, 0), y es inestable. (c) La solución óptima es x(t) = x 0 et^ , u(t) = x 0 et^ , m(t) = 0, J = 0 Sol. (a) El Hamiltoniano en valor corriente es H = − u
2 2 +^ xu^ −^
x^2 2 +^ mu Las condiciones necesarias de optimalidad son Condición del máximo ∂H ∂u = 0 −u + x + m = 0 ∴ u = x + m Ecuación de coestado m ˙ = − ∂ ∂xH + r m = −u + x + r m Sustituyendo u m ˙ = −(x + m) + x + r m = −m + r m = (r − 1)m
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