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COMPETENCIAS MAT 102
VECTORES
1. Demostrar:
4 a b b c a c b c c a a b abc
2. Se tiene un cuadrilátero ABCD si
AB
AE =
y F, G son puntos de trisección de CD, M punto
medio de EF, al expresar AM como una combinación lineal de AB, BC y CD, hallar la suma de
los escalares.
A
E
B
D
F
C
G
M
GEOMETRIA ANALITICA
3. Hallar la ecuación de la esfera con centro en C(2,3,- 1 ), q corta con la recta
5x - 4y + 3z + 20 = 0
3x - 4y + z - 8 = 0
una cuerda de longitud igual a 16.
4. El ángulo α entre las rectas:
1
2
l : p = A + ta
l : p = C + mb
mide 45 grados, si B € l 1 ∩l2, estando B en el
segundo cuadrante con C (0,5); AB+ BC = (1,7)y la pendiente de l 1 es - 3. Hallar la ecuación
vectorial de la bisectriz del ángulo α.
5. Hallar en el plano 2x-3y+3z=17 un punto P, de modo que la suma de sus distancias a los
puntos A(3,-4,7) y B(-5,-14,17) sea mínima.
6. Hallar la ecuación de la superficie esférica q pasa por la circunferencia de intersección de las
superficies: x^2 +y^2 +z^2 - 4x-8y+6z+12=0 ∩ x^2 +y^2 +z^2 - 4x+4y-6z-12=0 y es tangente al plano x+2y-
2z=
7. Determinar el plano q pasa por los puntos M(-1,4,-1) , N(-13,2,-10) y corta a los ejes X y Z en
segmentos de igual longitud, encontrar todas las posibilidades.
8. Dados los puntos A(1,1,0) ; B(1,0,1) del plano x+y+z=2. hallar C,D del mismo plano, tal q
A,B,C,D sean vértices de un cuadrado.
9. Hallar la ecuación del plano q pasa por P(5,0,-2) y forman un angulo de 30 grados con el eje
z
10. La traza de una superficie esférica con el plano z=0 es: x^2 +y^2 - 2x-4y-3=0. Hallar la ecuación
de la esfera si pasa por el punto (3,4,2)
11. Dado en tetraedro identificado por sus vértices, (1,1,1) ; (5,-1,0) y (-3,1,10) hallar la recta q
pasa por el vértice del primer octante y es perpendicular a la cara opuesta de la figura sólida
en (-2,-2,-2)
12. Hallar tres planos equidistantes q pasan por los puntos (1,4,0) , (2,-5,1) y (3,0,-2)
respectivamente, de tal forma q a su vez sean paralelos a: x-1=y-4=z
COMPETENCIAS MAT 102
13. Hallar la ecuación de la recta q pasa por el punto P(1,0,5) y pasa por el centro de la esfera
cuya ecuación es la q pasa por la intersección de x^2 +y^2 +z^2 - 4x-8y+6z+12=0 ∩ x^2 +y^2 +z^2 - 4x+4y-
6z-12=
y es tangente a x+2y-2z=
14. Mostrar q el punto de intersección de la recta representada por r - A B = 0 y el plano
representado por r - C D = 0es el punto cuyo vector de posición es:
D A + - A B B D
C
15. Se tienen dos túneles q parten de la superficie (suponer una superficie lisa y q se encuentra
en el plano XY) desde los puntos
1,A
P 0, ,
y P1,B(5,2,0) y llegan respectivamente a los
puntos P2,A(-7,-1,-7) y P2,B(-5,3,-5). Hallar la distancia mínima, distancia q debe tener un túnel
para quedar a nivel (paralelo al plano XY) y q interconecta a los túneles en los puntos A, B.
16. Hallar la ecuación de la esfera inscrita en un tetraedro formado por los planos 3x-2y+6z=8,
x=0, y=0, z=0.
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE ESCALAR
17. Considerar el plano q es perpendicular a xy y q pasa por P(2,1) y Q(3,2) ¿ cual es la pendiente
de la recta tangente a la curva de intersección de este plano con la superficie f(x,y)=4x 2 +y 2
en el punto R(2,1,17) en la dirección de Q?
18. Un proyectil se lanza desde el nivel del piso. Suponiendo q la única fuerza q actúa sobre el
objeto es la gravedad, hallar la altura máxima, el alcance horizontal, y la rapidez del proyectil
en el impacto si su ecuación de movimiento viene dado por:
2 f(t) = (70 2t,70 2t -16t )
19. Demostrar :
2
f f f
f f
20. Sea C: la curva de intersección entre el cono
2 2 z = 2 - x + y con el cilindro 1
2 2 x +(y -1)
en el primer octante, determinar la ecuación del plano q pasa por el punto de intersección
de la curva C. con el plano y=1 q tiene a los vectores T y Ben dicho punto.
21. Determinar el radio de curvatura en la curva de intersección de las superficies:
x 2 +y 2 +z 2
- 2x-2y-2z-97=0 y 2x+y+3z-8= 22. Sea la curva de intersección de la superficie
2 2 (x -1) (y + 3)
- =1 con el plano x + y + z = 0 4 9
calcular: el punto de la curva, por encima del plano XY. Más alejado de dicho punto.
El punto de la curva donde la curvatura es
La ecuación del plano osculador en el punto P (1, 0,2)
La torsión en el punto P (1, 0,2)
23. Hallar la longitud de arco de la curva cerrada dada por la ecuación: r=a(1-sinɵ) 24. Hallar la ecuación del plano osculador, normal y rectificador de la curva
C: x 2 +y 2 +z 2 =6 ∩ x 2
- y 2 +z 2 =4 en el punto P(1,1,2)
COMPETENCIAS MAT 102
42. Mediante derivadas sucesivas eliminar las funciones f y g si:
x z = f xy + g y
43. Calcular Zxy , si F(x+y+z, x^2 +y^2 +z^2 )= 44. Cambiar las variables x,y por las variables r,ɵ en xUy-yUx mediante coordenadas polares.
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES
45. Dadas las superficies S:
x y z
x,y,z >0 obtener un plano tangente dicha superficie en el punto
P(1,2,3) encontrar un punto en S para el q se hace mínima la suma de las coordenadas f(x,y,z)=x+y+z
46. Hallar la mínima distancia entre la elipse x^2 +2y^2 =6 y la recta x+y= 47. Cuál debe ser las dimensiones de una bañera cilíndrica abierta, con una sección transversal semi
circular, cuya superficie sea igual a S, para q su capacidad sea máxima?
48. Determine la ecuación del plano tangente a una superficie dada en coordenadas esféricas (r,ɵ,ɸ) en
un punto P luego calcule el plano tangente a r=4cos ɵ en 8 4 4
^
49. Un propietario de 40 departamentos puede alquilar cada uno a 100$; sin embargo obseva q puede
incrementar a 5$ el alquiler por cada departamento menos q alquila ¿Cuántos departamentos debe
alquilar para obtener el máximo ingreso?
50. Hallar las proyecciones de la elipse x^2 +y^2 +z^2 - xz-1=0 sobre los planos coordenados usando Max. Y
min.
51. Hallar el área min del triángulo q se puede circunscribir en una elipse:
2 2
2 2
x y
a b
52. Sea la función f(x,y,z)=ex+y+z^ y C la curva de intersección de las superficies 2x+y+z=2 y 2x^2 +y-z=0.
Determinar la derivada direccional de f en el punto (0,0,0) y en la dirección del vector curvatura de
C en el punto (0,1,1)
53. El radio de una esfera disminuye a razón de 2cm/s. y el radio de un cono recto inscrito en dicha esfera
aumenta a razón de 1cm/s. calcular la rapidez con la q varia el volumen del cono cuando el radio de
la esfera es 10cm, el radio de la base del cono es 6cm.
54. Determinar los valores de a y b de manera q los planos tangentes a la esfera
x^2 +y^2 +z^2 - 10x+ay+26z-113=0 paralelas a las rectas
x + 5 y -1 z +13 x +7 y +1 z - 8 = = , = = 2 -3 2 b -2 0
sean
4x+6y+5z-103=0 , 4x+6y+5z+205=
55. Hallar el punto del paraboloide
2 2 z = (x - 2) + (y -1) mas próximo al plano x+y+z=
56. Inscribir un paralelepípedo de volumen máximo en el cono 8
2 2 z = - x + y y el plano z=0.
57. Demostrar q de todos los triángulos inscritos en un círculo unitario el de mayor área es equilátero. 58. Dividir π en tres partes tales q el producto se sus senos sea máximo o minimo 59. Hallar la minima distancia entre y=x-3 y y=x^2 - 4x+ 60. Hallar la ecuación del plano tangente al elipsoide
2 2 2
2 2 2
x y z
, q con los planos coordenados del
primer octante conforme un volumen máximo.
61. Hallar la longitud mínima del segmento q divide el triángulo de lado “b” en dos figuras de áreas
iguales.
COMPETENCIAS MAT 102
62. a) Hallar la mínima distancia entre el paraboloide z= x^2 +y2 y el plano x+2y-z-4=0 b) hallar las
distancias de la recta q contiene al segmento de (a) con los ejes coordenados.
63. a) Un campo escalar está definido en los reales mediante la ecuación
n (^) f x = x , calcular su
derivada en un punto x en la dirección de un vector y b) considerar n=3 en (a) y hallar todos los
puntos (x,y,z) para los q la derivada en (1,2,3) en cualquier dirección sea cero.
64. Hallar la derivada direccional de f(x,y,z)=x^2 yz^3 en el punto P(1,1,-1) en dirección de la tangente a la
curva de intersección de as superficies z=3x^2 +y^2 +1 con el plano x=2 en el punto P(2,-1,14)
65. Maximizar x^3 +y^3 +2z^3 en la intercesión de las superficies esféricas x^2 +y^2 +z^2 =4 ∩ (x-3)^2 +y^2 +z^2 = 66. En la esfera (x-1)^2 +(y+2)^2 +(z-3)^2 =25, hallar el punto más próximo al plano 3x-4z+19=0, y calcular esta
distancia mínima.
67. Calcular el área máxima del rectángulo q se puede circunscribir alrededor de un rectángulo dado de
longitud L y anchura W.
INTEGRALES DOBLES
68. Calcular:
2 2
2 2
x +y 1
x + y I = - x - y dxdy 2
69. Calcular:
2 2 2 2 x +y 1
I = ln dxdy x + y
70. Calcular la integral: ^
2 2
R
y - x dxdy ; R : x y 4
71. Calcular la integral
2 3
0 1
2x - y dxdy
APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES DOBLES
72. Hallar el área común a:
2
r = 4sin
r = 8cos(2 )
(interior a ambas)
73. Aplicando integrales dobles, calcular el are de la región limitada por la curva: y =^ x(^ 2px - x)
donde p € R
74. Calcular el área de la figura limitada por:
2 2 x x 3 2 3 2 y = ;y = ;y = 2x ;y = 4x 4 2
75. Determinar el área de la elipse formada por la intersección del cilindro
2 2
2 2
x y
a b
y el plano
Ax+By+Cz=
76. Determinar el área de (x^2 +y^2 +4y)^2 = 4(x^2 +y^2 ) 77. Hallar el área de la superficie x^2 +y^2 =2az comprendida entre el interior de (x^2 +y^2 )^2 =2 a^2 xy 78. Hallar el área de la parte del cono
2 2 2 2 2 2 2 z = x + y cortado por : x + y = a x - y
79. Hallar el área de la superficie del paraboloide x^2 +y^2 =az q se encuentre entre en cilindro y^2 ≥az y el
plano z=a
COMPETENCIAS MAT 102
102. Calcular por una sola integral:
S
2 1+ z dv donde S:
2 2
2 2 2 2
2az = x + y
x + y - z = a
z = 0
INTEGRALES DE LINEA
103. Calcular:
2 2 2 2 2 2
C
I = yds c : (x + y ) = a (x - y )
104. Calcular: I=∮ (𝑦 + 𝑥 (^2) ) 𝑑𝑥 + ( 2 𝑥𝑦 − 𝑦 2 )𝑑𝑦 𝑐 c: y=x^2 ∩ x=y^2 105. Calcular la integral de línea
2
C
5y ds donde C es la curva de intersección x^2 +y^2 +z^2 =1 y el
plano x+y+z=
106. Calcular:
^
k
C
k 0 x ds si C : r = ae r a
107. Calcular:
^
k
C
k 0 x ds si C : r = a r a
108. Hallar el trabajo realizado por f = (x,y)a lo largo de la circunferencia x^2 +y^2 =π^2
COMPETENCIAS MAT 102
INTEGRALES ESPECIALES
109. Calcular la integral:
1
0
I = (sin( x))ln( (x))dx
110. Calcular:
1
0
lnt
I = - dt
t
111. Calcular:
2
4 0
l nx I = dx 1+ x
112. Calcular:
a-1 b-
0
x - x I = dx (x +1)lnx
113. Demostrar
b m n m+n+
a
(x - a) (b - x) dx = (b - a) (m +1,n +1)m>-1 , n>-1 , b>a
114. Calcular la integral
0
sinh(ax)
dx
sinh(bx)
; 0<a<b
115. Calcular la integral:
0
m
sin(ax) dx x
0<m<
116. Calcular la integral:
0 ^
n-
n
sin x dx 1- kcosx
117. Calcular la integral
1
0
ln x dx
SERIE DE POTENCIAS
118. Desarrollar en serie de potencias la siguiente función, alrededor de x=
f(x) = 1- sinx ; 0 x determinar el intervalo de convergencia.
119. La serie es CV o DV?
n
n=3 (^) n
sinx
dx
x
120. Si la serie es CV hallar la suma:
(^) n n=
(n + 4)!
3!n!
121. Desarrollar en serie de potencias alrededor de x=0
2 f(x) = arccos 1- 2x
122. Analizar 3
(^) n n=
cos + n a) analizar si es CV o DV, b) si es CV hallar la suma.
123. Hallar la suma de
(^3 ) n=
n + 3 arctg n + 4n + 4n + 3
