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Ejercicios de Vectores y Funciones Escalares de Variable Vectorial, Exams of Insurance law

Una serie de ejercicios relacionados con los temas de vectores y funciones escalares de variable vectorial. Incluye demostraciones, cálculos de ecuaciones de esferas, ángulos entre rectas, distancias mínimas, ecuaciones de planos, intersecciones de superficies, cálculo de derivadas direccionales, integrales de línea y volúmenes de sólidos. Los ejercicios abarcan una amplia variedad de conceptos matemáticos y pueden ser útiles para estudiantes universitarios que estén cursando cursos relacionados con álgebra lineal, geometría analítica, cálculo vectorial y análisis matemático. El documento podría servir como material de estudio, práctica y repaso para exámenes, trabajos y proyectos en estas áreas.

Typology: Exams

2022/2023

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Walter Edwin Canaza Trujillo
COMPETENCIAS MAT 102
Página 1 de 8
VECTORES
1. Demostrar:
4
a b b c a c b c c a a b abc
2. Se tiene un cuadrilátero ABCD si
AB
AE = 3
y F, G son puntos de trisección de CD, M punto
medio de EF, al expresar AM como una combinación lineal de AB, BC y CD, hallar la suma de
los escalares.
A
E
B
D
F
C
G
M
GEOMETRIA ANALITICA
3. Hallar la ecuación de la esfera con centro en C(2,3,-1), q corta con la recta
5x - 4y + 3z + 20 = 0
3x - 4y + z - 8 = 0
una cuerda de longitud igual a 16.
4. El ángulo α entre las rectas:
1
2
l : p = A + ta
l : p = C + mb
mide 45 grados, si B € l1 l2, estando B en el
segundo cuadrante con C (0,5);
AB+ BC = (1,7)
y la pendiente de l1 es -3. Hallar la ecuación
vectorial de la bisectriz del ángulo α.
5. Hallar en el plano 2x-3y+3z=17 un punto P, de modo que la suma de sus distancias a los
puntos A(3,-4,7) y B(-5,-14,17) sea mínima.
6. Hallar la ecuación de la superficie esférica q pasa por la circunferencia de intersección de las
superficies: x2+y2+z2-4x-8y+6z+12=0 x2+y2+z2-4x+4y-6z-12=0 y es tangente al plano x+2y-
2z=3
7. Determinar el plano q pasa por los puntos M(-1,4,-1) , N(-13,2,-10) y corta a los ejes X y Z en
segmentos de igual longitud, encontrar todas las posibilidades.
8. Dados los puntos A(1,1,0) ; B(1,0,1) del plano x+y+z=2 . hallar C,D del mismo plano, tal q
A,B,C,D sean vértices de un cuadrado.
9. Hallar la ecuación del plano q pasa por P(5,0,-2) y forman un angulo de 30 grados con el eje
z
10. La traza de una superficie esférica con el plano z=0 es: x2+y2-2x-4y-3=0. Hallar la ecuación
de la esfera si pasa por el punto (3,4,2)
11. Dado en tetraedro identificado por sus vértices, (1,1,1) ; (5,-1,0) y (-3,1,10) hallar la recta q
pasa por el vértice del primer octante y es perpendicular a la cara opuesta de la figura sólida
en (-2,-2,-2)
12. Hallar tres planos equidistantes q pasan por los puntos (1,4,0) , (2,-5,1) y (3,0,-2)
respectivamente, de tal forma q a su vez sean paralelos a: x-1=y-4=z
pf3
pf4
pf5
pf8

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COMPETENCIAS MAT 102

VECTORES

1. Demostrar:            

4                       a b b c a c b c c a a b abc

2. Se tiene un cuadrilátero ABCD si

AB

AE =

y F, G son puntos de trisección de CD, M punto

medio de EF, al expresar AM como una combinación lineal de AB, BC y CD, hallar la suma de

los escalares.

A

E

B

D

F

C

G

M

GEOMETRIA ANALITICA

3. Hallar la ecuación de la esfera con centro en C(2,3,- 1 ), q corta con la recta

5x - 4y + 3z + 20 = 0

3x - 4y + z - 8 = 0

una cuerda de longitud igual a 16.

4. El ángulo α entre las rectas:

1

2

l : p = A + ta

l : p = C + mb

mide 45 grados, si B € l 1 ∩l2, estando B en el

segundo cuadrante con C (0,5); AB+ BC = (1,7)y la pendiente de l 1 es - 3. Hallar la ecuación

vectorial de la bisectriz del ángulo α.

5. Hallar en el plano 2x-3y+3z=17 un punto P, de modo que la suma de sus distancias a los

puntos A(3,-4,7) y B(-5,-14,17) sea mínima.

6. Hallar la ecuación de la superficie esférica q pasa por la circunferencia de intersección de las

superficies: x^2 +y^2 +z^2 - 4x-8y+6z+12=0 ∩ x^2 +y^2 +z^2 - 4x+4y-6z-12=0 y es tangente al plano x+2y-

2z=

7. Determinar el plano q pasa por los puntos M(-1,4,-1) , N(-13,2,-10) y corta a los ejes X y Z en

segmentos de igual longitud, encontrar todas las posibilidades.

8. Dados los puntos A(1,1,0) ; B(1,0,1) del plano x+y+z=2. hallar C,D del mismo plano, tal q

A,B,C,D sean vértices de un cuadrado.

9. Hallar la ecuación del plano q pasa por P(5,0,-2) y forman un angulo de 30 grados con el eje

z

10. La traza de una superficie esférica con el plano z=0 es: x^2 +y^2 - 2x-4y-3=0. Hallar la ecuación

de la esfera si pasa por el punto (3,4,2)

11. Dado en tetraedro identificado por sus vértices, (1,1,1) ; (5,-1,0) y (-3,1,10) hallar la recta q

pasa por el vértice del primer octante y es perpendicular a la cara opuesta de la figura sólida

en (-2,-2,-2)

12. Hallar tres planos equidistantes q pasan por los puntos (1,4,0) , (2,-5,1) y (3,0,-2)

respectivamente, de tal forma q a su vez sean paralelos a: x-1=y-4=z

COMPETENCIAS MAT 102

13. Hallar la ecuación de la recta q pasa por el punto P(1,0,5) y pasa por el centro de la esfera

cuya ecuación es la q pasa por la intersección de x^2 +y^2 +z^2 - 4x-8y+6z+12=0 ∩ x^2 +y^2 +z^2 - 4x+4y-

6z-12=

y es tangente a x+2y-2z=

14. Mostrar q el punto de intersección de la recta representada por  r - A B = 0 y el plano

representado por  r - C  D = 0es el punto cuyo vector de posición es:  

       

D A + - A B B D

C

15. Se tienen dos túneles q parten de la superficie (suponer una superficie lisa y q se encuentra

en el plano XY) desde los puntos

1,A

P 0, ,

y P1,B(5,2,0) y llegan respectivamente a los

puntos P2,A(-7,-1,-7) y P2,B(-5,3,-5). Hallar la distancia mínima, distancia q debe tener un túnel

para quedar a nivel (paralelo al plano XY) y q interconecta a los túneles en los puntos A, B.

16. Hallar la ecuación de la esfera inscrita en un tetraedro formado por los planos 3x-2y+6z=8,

x=0, y=0, z=0.

FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE ESCALAR

17. Considerar el plano q es perpendicular a xy y q pasa por P(2,1) y Q(3,2) ¿ cual es la pendiente

de la recta tangente a la curva de intersección de este plano con la superficie f(x,y)=4x 2 +y 2

en el punto R(2,1,17) en la dirección de Q?

18. Un proyectil se lanza desde el nivel del piso. Suponiendo q la única fuerza q actúa sobre el

objeto es la gravedad, hallar la altura máxima, el alcance horizontal, y la rapidez del proyectil

en el impacto si su ecuación de movimiento viene dado por:

2 f(t) = (70 2t,70 2t -16t )

19. Demostrar :

2

f f f

f f

20. Sea C: la curva de intersección entre el cono

2 2 z = 2 - x + y con el cilindro  1

2 2 x +(y -1)

en el primer octante, determinar la ecuación del plano q pasa por el punto de intersección

de la curva C. con el plano y=1 q tiene a los vectores T y Ben dicho punto.

21. Determinar el radio de curvatura en la curva de intersección de las superficies:

x 2 +y 2 +z 2

  • 2x-2y-2z-97=0 y 2x+y+3z-8= 22. Sea la curva de intersección de la superficie

2 2 (x -1) (y + 3)

  • =1 con el plano x + y + z = 0 4 9

calcular: el punto de la curva, por encima del plano XY. Más alejado de dicho punto.

El punto de la curva donde la curvatura es

La ecuación del plano osculador en el punto P (1, 0,2)

La torsión en el punto P (1, 0,2)

23. Hallar la longitud de arco de la curva cerrada dada por la ecuación: r=a(1-sinɵ) 24. Hallar la ecuación del plano osculador, normal y rectificador de la curva

C: x 2 +y 2 +z 2 =6 ∩ x 2

  • y 2 +z 2 =4 en el punto P(1,1,2)

COMPETENCIAS MAT 102

42. Mediante derivadas sucesivas eliminar las funciones f y g si:  

x z = f xy + g y

43. Calcular Zxy , si F(x+y+z, x^2 +y^2 +z^2 )= 44. Cambiar las variables x,y por las variables r,ɵ en xUy-yUx mediante coordenadas polares.

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES

45. Dadas las superficies S:

x y z

x,y,z >0 obtener un plano tangente dicha superficie en el punto

P(1,2,3) encontrar un punto en S para el q se hace mínima la suma de las coordenadas f(x,y,z)=x+y+z

46. Hallar la mínima distancia entre la elipse x^2 +2y^2 =6 y la recta x+y= 47. Cuál debe ser las dimensiones de una bañera cilíndrica abierta, con una sección transversal semi

circular, cuya superficie sea igual a S, para q su capacidad sea máxima?

48. Determine la ecuación del plano tangente a una superficie dada en coordenadas esféricas (r,ɵ,ɸ) en

un punto P luego calcule el plano tangente a r=4cos ɵ en 8 4 4

 ^ 

49. Un propietario de 40 departamentos puede alquilar cada uno a 100$; sin embargo obseva q puede

incrementar a 5$ el alquiler por cada departamento menos q alquila ¿Cuántos departamentos debe

alquilar para obtener el máximo ingreso?

50. Hallar las proyecciones de la elipse x^2 +y^2 +z^2 - xz-1=0 sobre los planos coordenados usando Max. Y

min.

51. Hallar el área min del triángulo q se puede circunscribir en una elipse:

2 2

2 2

x y

a b

52. Sea la función f(x,y,z)=ex+y+z^ y C la curva de intersección de las superficies 2x+y+z=2 y 2x^2 +y-z=0.

Determinar la derivada direccional de f en el punto (0,0,0) y en la dirección del vector curvatura de

C en el punto (0,1,1)

53. El radio de una esfera disminuye a razón de 2cm/s. y el radio de un cono recto inscrito en dicha esfera

aumenta a razón de 1cm/s. calcular la rapidez con la q varia el volumen del cono cuando el radio de

la esfera es 10cm, el radio de la base del cono es 6cm.

54. Determinar los valores de a y b de manera q los planos tangentes a la esfera

x^2 +y^2 +z^2 - 10x+ay+26z-113=0 paralelas a las rectas

x + 5 y -1 z +13 x +7 y +1 z - 8 = = , = = 2 -3 2 b -2 0

sean

4x+6y+5z-103=0 , 4x+6y+5z+205=

55. Hallar el punto del paraboloide

2 2 z = (x - 2) + (y -1) mas próximo al plano x+y+z=

56. Inscribir un paralelepípedo de volumen máximo en el cono  8

2 2 z = - x + y y el plano z=0.

57. Demostrar q de todos los triángulos inscritos en un círculo unitario el de mayor área es equilátero. 58. Dividir π en tres partes tales q el producto se sus senos sea máximo o minimo 59. Hallar la minima distancia entre y=x-3 y y=x^2 - 4x+ 60. Hallar la ecuación del plano tangente al elipsoide

2 2 2

2 2 2

x y z

    • = a b c

, q con los planos coordenados del

primer octante conforme un volumen máximo.

61. Hallar la longitud mínima del segmento q divide el triángulo de lado “b” en dos figuras de áreas

iguales.

COMPETENCIAS MAT 102

62. a) Hallar la mínima distancia entre el paraboloide z= x^2 +y2 y el plano x+2y-z-4=0 b) hallar las

distancias de la recta q contiene al segmento de (a) con los ejes coordenados.

63. a) Un campo escalar está definido en los reales mediante la ecuación  

n (^) f x = x , calcular su

derivada en un punto x en la dirección de un vector y b) considerar n=3 en (a) y hallar todos los

puntos (x,y,z) para los q la derivada en (1,2,3) en cualquier dirección sea cero.

64. Hallar la derivada direccional de f(x,y,z)=x^2 yz^3 en el punto P(1,1,-1) en dirección de la tangente a la

curva de intersección de as superficies z=3x^2 +y^2 +1 con el plano x=2 en el punto P(2,-1,14)

65. Maximizar x^3 +y^3 +2z^3 en la intercesión de las superficies esféricas x^2 +y^2 +z^2 =4 ∩ (x-3)^2 +y^2 +z^2 = 66. En la esfera (x-1)^2 +(y+2)^2 +(z-3)^2 =25, hallar el punto más próximo al plano 3x-4z+19=0, y calcular esta

distancia mínima.

67. Calcular el área máxima del rectángulo q se puede circunscribir alrededor de un rectángulo dado de

longitud L y anchura W.

INTEGRALES DOBLES

68. Calcular:

 2 2

2 2

x +y 1

x + y I = - x - y dxdy 2

69. Calcular:

 2 2 2 2 x +y 1

I = ln dxdy x + y

70. Calcular la integral: ^  

2 2

R

y - x dxdy ; R : x y 4

71. Calcular la integral  

2 3

0 1

2x - y dxdy

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES DOBLES

72. Hallar el área común a:

2

r = 4sin

r = 8cos(2 )

(interior a ambas)

73. Aplicando integrales dobles, calcular el are de la región limitada por la curva: y =^ x(^ 2px - x)

donde p € R

74. Calcular el área de la figura limitada por:

2 2 x x 3 2 3 2 y = ;y = ;y = 2x ;y = 4x 4 2

75. Determinar el área de la elipse formada por la intersección del cilindro

2 2

2 2

x y

a b

y el plano

Ax+By+Cz=

76. Determinar el área de (x^2 +y^2 +4y)^2 = 4(x^2 +y^2 ) 77. Hallar el área de la superficie x^2 +y^2 =2az comprendida entre el interior de (x^2 +y^2 )^2 =2 a^2 xy 78. Hallar el área de la parte del cono    

2 2 2 2 2 2 2 z = x + y cortado por : x + y = a x - y

79. Hallar el área de la superficie del paraboloide x^2 +y^2 =az q se encuentre entre en cilindro y^2 ≥az y el

plano z=a

COMPETENCIAS MAT 102

102. Calcular por una sola integral:  

S



2 1+ z dv donde S:

2 2

2 2 2 2

2az = x + y

x + y - z = a

z = 0

INTEGRALES DE LINEA

103. Calcular: 

2 2 2 2 2 2

C

I = yds c : (x + y ) = a (x - y )

104. Calcular: I=∮ (𝑦 + 𝑥 (^2) ) 𝑑𝑥 + ( 2 𝑥𝑦 − 𝑦 2 )𝑑𝑦 𝑐 c: y=x^2 ∩ x=y^2 105. Calcular la integral de línea 

2

C

5y ds donde C es la curva de intersección x^2 +y^2 +z^2 =1 y el

plano x+y+z=

106. Calcular:

 ^ 

k

C

k 0 x ds si C : r = ae r a

107. Calcular:

 ^ 

k

C

k 0 x ds si C : r = a r a

108. Hallar el trabajo realizado por f = (x,y)a lo largo de la circunferencia x^2 +y^2 =π^2

COMPETENCIAS MAT 102

INTEGRALES ESPECIALES

109. Calcular la integral:   

1

0

I = (sin( x))ln( (x))dx

110. Calcular:

1

0

lnt

I = - dt

t

111. Calcular:

2

4 0

l nx I = dx 1+ x

112. Calcular:

a-1 b-

0

x - x I = dx (x +1)lnx

113. Demostrar 

b m n m+n+

a

(x - a) (b - x) dx = (b - a) (m +1,n +1)m>-1 , n>-1 , b>a

114. Calcular la integral

0

sinh(ax)

dx

sinh(bx)

; 0<a<b

115. Calcular la integral:

0

 m

sin(ax) dx x

0<m<

116. Calcular la integral:

0 ^ 

n-

n

sin x dx 1- kcosx

117. Calcular la integral  

1

0

ln       x dx

SERIE DE POTENCIAS

118. Desarrollar en serie de potencias la siguiente función, alrededor de x=

f(x) = 1- sinx ; 0  x determinar el intervalo de convergencia.

119. La serie es CV o DV?

 

n

n=3 (^) n

sinx

dx

x

120. Si la serie es CV hallar la suma:

 (^) n n=

(n + 4)!

3!n!

121. Desarrollar en serie de potencias alrededor de x=0  

2 f(x) = arccos 1- 2x

122. Analizar 3

 (^) n n=

cos + n a) analizar si es CV o DV, b) si es CV hallar la suma.

123. Hallar la suma de

      

 (^3 ) n=

n + 3 arctg n + 4n + 4n + 3