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Tarea 1
Mec´anica Cl´asica
Marianne Guiot Lomel´ı
Maestr´ıa en Ciencias (F´ısica Aplicada), Facultad de Ciencias F´ısico Matem´aticas, Benem´erita Universidad Aut´onoma de Puebla, Puebla. marianne.gl93@gmail.com
8 de marzo de 2018
Problema 2.
La velocidad de escape de una part´ıcula en la tierra es el m´ınimo de velocidad requerida en la superficie de la Tierra para que la part´ıcula pueda escapar del campo gravitacional de la Tierra. Despreciando la resistencia de la atm´osfera, el sistema es conservativo. Del teorema de conservac´on para la energ´ıa potencial m´as cin´etica muestre que la velocidad de escape para la Tierra, ignorando la presencia de la Luna, es de 6.95 mi/s.
Soluci´on Para este problema tenemos que utilizar el teorema de conservaci´on de energ´ıa potencial m´as cin´eti- ca. La energ´ıa cin´etica de la part´ıcula est´a dada por 12 mv^2 , mientras que la energ´ıa cin´etica ser´ıa − Gm RT^ mp Con esto, tenemos que 1 2 m p v
2 p −^
Gm T m p R = 0 donde G es la constante de gravitaci´on universal, m T es la masa de la Tierra, m p la masa de la part´ıcula, R es el radio de la Tierra y v p es la velocidad de la part´ıcula (que es el valor que queremos encontrar). De la ecuaci´on anterior podemos despejar la velocidad:
1 2 m p v
(^2) = Gm T^ m p R
v =
√ (2Gm T ) R Por ´ultimo nos queda sustituir los valores de la constante de gravitaci´on universal y de la masa
y radio terrestres en la ecuaci´on anterior:
v =
√√ √√ (2(6, 674 × 10 −^11 N m kg 22 )(5, 972 × 1024 kg) 6 , 371 × 106 m
√√ √√ 7 , 971 × 1014 m s 23 6 , 371 × 106 m =
√ 1 , 251 × 108 m/s
v = 1, 118 × 104 m/s = 6, 9509 mi/s
Problema 13.
Una part´ıcula se mueve en un plano bajo la influencia de una fuerza, actuando hacia el centro de la fuerza, cuya magnitud es
F =^1 r^2
( 1 − r˙
(^2) − 2¨rr c^2
) ,
donde r es la distancia de la part´ıcula al centro de la fuerza. Encuentre el potencial generalizado que dar´a como resultado tal fuerza, y de ah´ı el lagrangiano para el movimiento en un plano. (La expresi´on de F representa la fuerza entre dos cargas en la electrodin´amica de Weber.)
Soluci´on Debido a que queremos encontrar el potencial generalizado y ya se nos proporciona la fuerza bajo la que se mueve la part´ıcula, podemos hacer uso de la ecuaci´on que se vio en clase:
F = −
∂U
∂r +^
d dt
( ∂U
∂r
) (2)
y ya que el problema nos est´a proporcionando la magnitud de la fuerza, podemos igualar ambas expresiones:
−
∂U
∂r +^
d dt
( ∂U
∂r
)
r^2
( 1 −
r˙^2 c^2 +
2¨rr c^2
)
r^2 −^
r˙^2 c^2 r^2 +
2¨r c^2 r
Podemos ver que s´olo el tercer t´ermino (del lado derecho de la igualdad) tiene una segunda derivada temporal, por lo que podemos buscar una expresi´on que al derivarla respecto al tiempo nos arroje ese mismo valor: d dt
( (^) 2 ˙r rc^2
)
2¨r rc^2 −^
2 ˙r c^2
( (^) r˙ r^2
)
= 2¨r rc^2
− 2 ˙r
2 r^2 c^2
v^2 = ˙r^2 cos^2 θ + r^2 θ˙^2 sin^2 θ − 2 r r˙ θ˙ sin θ cos θ + ˙r^2 sin^2 θ + r^2 θ˙^2 cos^2 θ + 2r r˙ θ˙ sin θ cos θ = ˙r^2 + r^2 θ˙^2
Y bien sabemos que la energ´ıa cin´etica es T = 12 mv^2 as´ı que la Lagrangiana resulta:
L = T − U =^12 m
( r ˙^2 + r^2 θ˙^2
) − (^1) r − r˙
2 rc^2 (14)
L =^12 m
( r ˙^2 + r^2 θ˙^2
) − (^1) r
( 1 + r˙
2 c^2
) (15)
Problema 14.
Si L es una Lagrangiana del sistema de n grados de libertad satisface las ecuaciones de Lagrange, muestre por sustituci´on directa que
L′^ = L +
dF (q 1 , ..., q n , t) dt
tambi´en satisface las ecuaciones de Lagrange donde F es cualquier funci´on de sus argumentos, ar- bitraria, pero diferenciable.
Soluci´on Podemos sustituir L′^ en las ecuaciones de Lagrange:
d dt
( ∂L′
∂ q˙
) −
∂L′
∂q = 0 d dt
∂ q˙
(L + dF dt
) − ∂ ∂q
( L + dF dt
) = 0
d dt
[ ∂L
∂ q˙
∂ q˙
( (^) dF dt
)] − ∂L ∂q
∂q
( (^) dF dt
) = 0
d dt
( ∂L
∂ q˙
) − ∂L ︸ ︷︷ ∂q︸ =0 , ec. de Lagrange
∂ q˙
[ (^) dF dt
]) − ∂ ∂q
( (^) dF dt
) = 0
. Con esto, ´unicamente nos falta demostrar que el t´ermino que resta es igual a cero para que veamos que realmente se siguen satisfaciendo las ecuaciones de Lagrange:
d dt
∂ q˙
[ (^) dF dt
]) − ∂ ∂q
( (^) dF dt
) = 0
d dt
( ∂ F˙ ∂ q˙
)
∂ F˙
∂q
Problema 15.
Sea q 1 , ..., q n un conjunto de coordenadas generalizadas independiente para un sistema de n grados de libertad, con una Lagrangiana L(q, q, t˙ ). Suponga que transformamos a otro conjunto de coordenadas independientes s 1 , ...s n por medio de las ecuaciones de transformaci´on
q i = q i (s 1 , ..., s n , t), i = q, ..., n.
(Tal transformaci´on es llamada transformaci´on de punto .) Muestre que si la funci´on Lagrangiana es expresada como funci´on de s j , s˙ j , y t mediante las ecuaciones de transformaci´on, entonces L satisface las ecuaciones de Lagrange con respecto a las coordenadas s:
d dt
( ∂L ∂ s˙ j
) −
∂L
∂s j^ = 0
En otras palabras, la forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante bajo la transformaci´on de punto.
Soluci´on Podemos partir de lo que queremos demostrar:
d dt
( ∂L ∂ s˙ j
) − ∂L ∂s j
poniendo las derivadas parciales en t´erminos de las coordenadas q, utilizando la regla de la cadena de la siguiente manera ∂L ∂ s˙ j^ =^
∑ i
∂L
∂ q˙ i
∂ q˙ i ∂ s˙ j^ (17) ∂L ∂s
∑ i
∂L
∂q i
∂q i ∂s j
Ahora, usando ∂q i ∂s j
= ∂^ q˙ i ∂ s˙ j
en la ecuaci´on (17), la podemos reescribir como
∂L ∂ s˙ j
∑ i
∂L
∂ q˙ i
∂q i ∂s j
As´ı, usando los resultados de las ecuaciones (18) y (19), podemos ver que entonces la ecuaci´on (16) resulta: d dt
[∑
i
∂L
∂ q˙ i
∂q i ∂s j
] −
[∑
i
∂L
∂q i
∂q i ∂s j
] = 0, (20)
m^2 x˙^2 x¨ + 2mxV¨ (x) − m x˙^2 dV dx^ (x )+ 2m x˙^2 dV dx^ (x )+ 2V (x) dV dx^ (x )= 0
m^2 x˙^2 ¨x + 2mxV¨ (x) + m x˙^2 dV^ (x) dx
m x˙^2
( m¨x + dV dx^ (x)
)
( mx¨ + dV dx^ (x)
) = 0
( m x˙^2 + 2V (x)
) ( mx¨ +
dV (x) dx
) = 0
Problema 19.
Dos puntos masivos de masas m 1 y m 2 est´an conectados por una cuerda que pasa a trav´es de un agujero en una mesa lisa tal que m 1 descansa sobre la superficie de la mesa y m 2 se mantiene suspendida. Asumiendo que m 2 se mueve s´olo en una l´ınea vertical, ¿cu´ales son las coordenadas ge- neralizadas del sistema? Escriba las ecuaciones de Lagrange para el sistema y, si es posible, discuta cualquier significado f´ısico que puedan tener. Reduzca el problema a una sola ecuaci´on diferencial de segundo orden y obtenga la primer integral de la ecuaci´on. ¿Cu´al es su significado f´ısico? (Considere el movimiento s´olo mientras ni m 1 ni m 2 pasen a trav´es del agujero.)
Soluci´on
(a) Vista desde arriba. (b) Vista frontal.
Figura 1: (a) El radio de la circunferencia de una posible trayectoria de la masa m 1 depende de la posici´on de la masa m 2 en z. (b)La masa m 2 s´olo puede moverse sobre el eje z sin poder pasar m´as all´a del origen.
Tenemos que encontrar los vectores de posici´on r 1 y r 2 :
~r 1 = x 1 ˆi + y 1 ˆj + z 1 kˆ
~r 2 = x 2 ˆi + y 2 ˆj + z 2 kˆ
Si tenemos el sistema visto desde arriba, es decir, justo por encima de la mesa, y nos fijamos en un momento en el que la masa m 2 est´a lo m´as cercana posible al agujero, sin pasar por ´el, podemos ver que el movimiento de la masa m 1 se puede ver como en el caso que vimos en clase, del p´endulo plano, donde r 1 es el vector que va desde el origen (que va a estar situado en donde est´a el agujero de la mesa) hasta la masa m 1 y θ el ´angulo medido respecto al eje x. Por otra parte tenemos que para analizar el movimiento de la part´ıcula de masa m 2 tenemos que ver el sistema en un costado, as´ı vemos que s´olo se puede mover como dice el problema, en una l´ınea vertical. Las constricciones de este problema ser´ıan:
- z 1 = 0
- x 2 = 0
- y 2 = 0
- |~r 1 | + |~r 2 | = a
donde a es una la longitud de la cuerda que sostiene ambas masas, por tanto es una constante. Y ya que el sistema tiene 2 part´ıculas tenemos 2 grados de libertad, por lo que s´olo necesitamos 2 coordenadas generalizadas. En coordenadas polares podemos escribir los vectores r 1 y r 2 :
~r 1 = r cos θˆi + r sin θˆj (25)
~r 2 = −(a − |~r 1 |)kˆ = (r − a)ˆk (26) Y para obtener las velocidades al cuadrado (necesarias para conocer la energ´ıa cin´etica de ambas part´ıculas) debemos primero derivar estos vectores respecto al tiempo:
~v 1 = d~ dtr^1 =
( r ˙ cos θ − r θ˙ sin θ
) ˆi +
( r ˙ sin θ + r θ˙ cos θ
) ˆj (27)
~v 2 =
d~r 2 dt = ˙r^ (28)
v 12 = ˙r^2 + r^2 θ˙^2 , v 22 = ˙r^2 (29) Ahora s´ı podemos conocer las energ´ıas de las masas:
T 1 =^1 2
m 1 ( ˙r^2 + r^2 θ˙^2 ), V 1 = 0. (30)
T 2 =^1
m 2 r˙^2 , V = m 2 gr (31) Entonces la Lagrangiana del sistema es:
L =^1 2
(m 1 + m 2 ) ˙r^2 +^1 2
m 1 r^2 θ˙^2 − m 2 gr (32)
