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Documento de estudo para ALGA, Cheat Sheet of Linear Algebra

esse documenta se trata sobre exercicios de Algebra linear

Typology: Cheat Sheet

2023/2024

Uploaded on 06/05/2025

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Faculdade de Ciˆencias & Tecnologia
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Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica I
Cursos: Mat., EQB, EA, EE, EC, EM, EGI, EIC 1ºAno
Condensa¸ao e caracter´ıstica de uma matriz
Jo˜ao Carlos Lopes Horta
Praia, Outubro de 2021
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Faculdade de Ciˆencias & Tecnologia

Algebra Linear e Geometria Anal´^ ´ ıtica I

Cursos: Mat., EQB, EA, EE, EC, EM, EGI, EIC – 1º Ano

Condensa¸c˜ao e caracter´ıstica de uma matriz

Jo˜ao Carlos Lopes Horta

Praia, Outubro de 2021

Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre

1 Condensa¸c˜ao de uma matriz

1.1 Opera¸c˜oes elementares sobre linhas (colunas) de uma matriz

Definic¸˜ao 1.1 (Opera¸c˜oes elementares). Chamam-se opera¸c˜oes elementares sobre as linhas (colunas) de uma matriz as que se seguem:

OE1) Trocar entre si duas linhas (colunas);

OE2) Multiplicar uma linha (coluna) por um escalar diferente de zero;

OE3) Substitui¸c˜ao de uma linha (coluna) pela sua soma com outra linha (coluna), multiplicada por um escalar arbitr´ario.

Representa¸c˜oes das opera¸c˜oes elementares

(A) Operac¸˜oes elementares sobre linhas

  • Dadas duas linhas, Li e Lk , i 6 = k , de uma matriz A , a troca entre si destas linhas representa- se por LiLk ;
  • A multiplica¸c˜ao da linha Li de uma matriz A pelo escalar λ representa-se por LiλLi ;
  • Dadas duas linhas, Li e Lk , i 6 = k , de uma matriz A e λ ∈ F, a substitui¸c˜ao da linha Li pela linha Li + λLk representa-se por LiLi + λLk ;

(B) Operac¸˜oes elementares sobre colunas

  • Dadas duas colunas, Cj e Cl , j 6 = l , de uma matriz A , a troca entre si destas colunas representa-se por CjCl ;
  • A multiplica¸c˜ao da coluna Cj da matriz A pelo escalar β representa-se por CjβCj ;
  • Dadas duas colunas, Cj e Cl , j 6 = l , de uma matriz A e β ∈ F, a substitui¸c˜ao da coluna Cj pela coluna Cj + βCl representa-se por CjCj + βCl.

Exemplo 1.1. Seja A =

 

  ∈ R 3 × (^4).

1. Troca da 1ª e 3ª linhas:

A =

  

   (^) L −→ 1 ↔ L 3

  

   ;

2. Multiplica¸c˜ao da 1ª linha por

A =

 

  −→ L 1 ← 12 L 1

 

  ;

3. Substitui¸c˜ao da 3ª linha pela sua soma com a 2ª linha multiplicada por (−1) :

A =

  

   −→ L 3 ← L 3 +(−1) L 2

  

   ;

Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre

Exemplo 1.3. Seja uma matriz real A =

  

   ∈ R^4 ×^3_._

Reduzir a matriz A `a forma escalonada.

Resolu¸c˜ao.   

   −→ L 1 ↔ L 3

  

   −→ L 2 ← L 2 − 2 L 1

  

  

L 4 ← L 4 − 3 L 1

   

   

L 2 ← − 31 L 2

   

   

L 3 ← L 3 − 3 L 2

   

   

L 4 ← L 4 +7 L 2

   

   

L 4 ← L 4 − 3 L 3

   

   

Nota 1.1. Para reduzir a entrada aij 6 = 0 , da linha Li, a zero utilizando a entrada akj 6 = 0 , da linha Lk, aplica-se a seguinte opera¸c˜ao elementar:

LiLi

aij akj Lk.

Para reduzir a entrada akj 6 = 0 , da linha Lk, `a unidade, 1 , aplica-se a seguinte opera¸c˜ao elementar:

Lk

akj

Lk.

Opera¸c˜oes semelhantes a estas podem ser realizadas sobre as colunas de uma matriz e, muitas vezes, s˜ao muito ´uteis, principalmente na discuss˜ao de um sistema de equa¸c˜oes lineares e na determina¸c˜ao de caracter´ıstica de uma matriz – que se vˆe mais adiante.

_No entanto, pode-se aplicar apenas as opera¸c˜oes elementares sobre linhas na redu¸c˜ao de qualquer matriz a forma escalonada. Neste sentido, dependendo das opera¸c˜oes elementares aplicadas,_ uma matriz pode ser reduzida a diferentes matrizes na forma escalonada_. No entanto,_ cada matriz ´e reduzidaa uma ´unica matriz na forma escalonada reduzida , independentemente das opera¸c˜oes elementares, sobre linhas aplicadas.

Para reduzir uma matriz a forma escalonada reduzida _, reduzem-se todos os pivotsa unidade,_ 1 , e anulam-se todos os elementos acima e abaixo de cada pivot.

Definic¸˜ao 1.3 (Caracter´ıstica de uma matriz na forma escalonada). A caracter´ıstica de uma matriz na forma escalonada ´e igual ao n.º de linhas n˜ao nulas dessa matriz.

Exemplo 1.4. As matrizes A =

   

    e B =

  

   tˆem caracter´ısticas iguais

a 3_._

Teorema 1.1. Seja A ∈ F m × n. Se a matriz A ´e reduzida a duas matrizes, B e C, na forma escalonada, ent˜ao B e C tˆem o mesmo n´umero de linhas n˜ao nulas.

Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre

2 Caracter´ıstica de uma matriz

Definic¸˜ao 2.1 ( Caracter´ıstica de uma matriz ). Seja A ∈ F m × n. A caracter´ıstica da matriz A, que se denota por c ( A ) ou r ( A ) , ´e igual a caracter´ıstica da matriz escalonada, que se obt´em a partir de A, efetuando opera¸c˜oes elementares.

Exemplo 2.1. A caracter´ıstica da matriz A =

  

   , do exemplo 1.3, ´e tamb´em^^3_._

Teorema 2.1 ( Propriedades de caracter´ıstica ). Sejam A ∈ F m × n^ , B ∈ F n × p^ e λ ∈ F \ { 0 }. Ent˜ao:

(C1) c ( A ) 6 m e c ( A ) 6 n;

(C2) c ( λA ) = c ( A ) ;

(C3) c ( AB ) 6 c ( A ) e c ( AB ) 6 c ( B ) ;

(Ct) c ( At ) = c ( A ).

Exerc´ıcios

  1. Em cada caso, determine a caracter´ıstica:

(a) A =

  

  

(b) B =

  

  

  1. Considere a matriz A do “ exemplo 1.3 .”; reduza-a `a matriz C , na forma escalonada reduzida.
  2. Em cada uma das al´ıneas que se seguem, discuta a caracter´ıstica da matriz considerada em fun¸c˜ao do(s) parˆametro(s) indicado(s):

(a) A =

 

a 1 − 1 2

 , onde a ∈ R;

(b) A =

 

2 1 α 1 1 1 α α/ 2 1 β α 1

 , onde α , β ∈ R;

(c) A =

  

λ 0 λ 0 2 λ 2 1 − 1 λ

  , onde^ λ^ ∈^ R.

  1. Considere a matriz

A =

  

0 0 a − 2 0

  .