Faculdade de Ciˆencias & Tecnologia
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Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica I
Cursos: Mat., EQB, EA, EE, EC, EM, EGI, EIC – 1ºAno
Condensa¸c˜ao e caracter´ıstica de uma matriz
Jo˜ao Carlos Lopes Horta
Praia, Outubro de 2021
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Documento de estudo para ALGA, Cheat Sheet of Linear Algebra
esse documenta se trata sobre exercicios de Algebra linear
Typology: Cheat Sheet
2023/2024
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Faculdade de Ciˆencias & Tecnologia
Algebra Linear e Geometria Anal´^ ´ ıtica I
Cursos: Mat., EQB, EA, EE, EC, EM, EGI, EIC – 1º Ano
Condensa¸c˜ao e caracter´ıstica de uma matriz
Jo˜ao Carlos Lopes Horta
Praia, Outubro de 2021
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
1 Condensa¸c˜ao de uma matriz
1.1 Opera¸c˜oes elementares sobre linhas (colunas) de uma matriz
Definic¸˜ao 1.1 (Opera¸c˜oes elementares). Chamam-se opera¸c˜oes elementares sobre as linhas (colunas) de uma matriz as que se seguem:
OE1) Trocar entre si duas linhas (colunas);
OE2) Multiplicar uma linha (coluna) por um escalar diferente de zero;
OE3) Substitui¸c˜ao de uma linha (coluna) pela sua soma com outra linha (coluna), multiplicada por um escalar arbitr´ario.
Representa¸c˜oes das opera¸c˜oes elementares
(A) Operac¸˜oes elementares sobre linhas
- Dadas duas linhas, Li e Lk , i 6 = k , de uma matriz A , a troca entre si destas linhas representa- se por Li ↔ Lk ;
- A multiplica¸c˜ao da linha Li de uma matriz A pelo escalar λ representa-se por Li ← λLi ;
- Dadas duas linhas, Li e Lk , i 6 = k , de uma matriz A e λ ∈ F, a substitui¸c˜ao da linha Li pela linha Li + λLk representa-se por Li ← Li + λLk ;
(B) Operac¸˜oes elementares sobre colunas
- Dadas duas colunas, Cj e Cl , j 6 = l , de uma matriz A , a troca entre si destas colunas representa-se por Cj ↔ Cl ;
- A multiplica¸c˜ao da coluna Cj da matriz A pelo escalar β representa-se por Cj ← βCj ;
- Dadas duas colunas, Cj e Cl , j 6 = l , de uma matriz A e β ∈ F, a substitui¸c˜ao da coluna Cj pela coluna Cj + βCl representa-se por Cj ← Cj + βCl.
Exemplo 1.1. Seja A =
∈ R 3 × (^4).
1. Troca da 1ª e 3ª linhas:
A =
(^) L −→ 1 ↔ L 3
;
2. Multiplica¸c˜ao da 1ª linha por
A =
−→ L 1 ← 12 L 1
;
3. Substitui¸c˜ao da 3ª linha pela sua soma com a 2ª linha multiplicada por (−1) :
A =
−→ L 3 ← L 3 +(−1) L 2
;
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
Exemplo 1.3. Seja uma matriz real A =
∈ R^4 ×^3_._
Reduzir a matriz A `a forma escalonada.
Resolu¸c˜ao.
−→ L 1 ↔ L 3
−→ L 2 ← L 2 − 2 L 1
L 4 ← L 4 − 3 L 1
L 2 ← − 31 L 2
L 3 ← L 3 − 3 L 2
L 4 ← L 4 +7 L 2
L 4 ← L 4 − 3 L 3
Nota 1.1. Para reduzir a entrada aij 6 = 0 , da linha Li, a zero utilizando a entrada akj 6 = 0 , da linha Lk, aplica-se a seguinte opera¸c˜ao elementar:
Li ← Li −
aij akj Lk.
Para reduzir a entrada akj 6 = 0 , da linha Lk, `a unidade, 1 , aplica-se a seguinte opera¸c˜ao elementar:
Lk ←
akj
Lk.
Opera¸c˜oes semelhantes a estas podem ser realizadas sobre as colunas de uma matriz e, muitas vezes, s˜ao muito ´uteis, principalmente na discuss˜ao de um sistema de equa¸c˜oes lineares e na determina¸c˜ao de caracter´ıstica de uma matriz – que se vˆe mais adiante.
_No entanto, pode-se aplicar apenas as opera¸c˜oes elementares sobre linhas na redu¸c˜ao de qualquer matriz a forma escalonada. Neste sentido, dependendo das opera¸c˜oes elementares aplicadas,_ uma matriz pode ser reduzida a diferentes matrizes na forma escalonada_. No entanto,_ cada matriz ´e reduzidaa uma ´unica matriz na forma escalonada reduzida , independentemente das opera¸c˜oes elementares, sobre linhas aplicadas.
Para reduzir uma matriz a forma escalonada reduzida _, reduzem-se todos os pivotsa unidade,_ 1 , e anulam-se todos os elementos acima e abaixo de cada pivot.
Definic¸˜ao 1.3 (Caracter´ıstica de uma matriz na forma escalonada). A caracter´ıstica de uma matriz na forma escalonada ´e igual ao n.º de linhas n˜ao nulas dessa matriz.
Exemplo 1.4. As matrizes A =
e B =
tˆem caracter´ısticas iguais
a 3_._
Teorema 1.1. Seja A ∈ F m × n. Se a matriz A ´e reduzida a duas matrizes, B e C, na forma escalonada, ent˜ao B e C tˆem o mesmo n´umero de linhas n˜ao nulas.
Ano: 1º Ano Algebra Linea e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
2 Caracter´ıstica de uma matriz
Definic¸˜ao 2.1 ( Caracter´ıstica de uma matriz ). Seja A ∈ F m × n. A caracter´ıstica da matriz A, que se denota por c ( A ) ou r ( A ) , ´e igual a caracter´ıstica da matriz escalonada, que se obt´em a partir de A, efetuando opera¸c˜oes elementares.
Exemplo 2.1. A caracter´ıstica da matriz A =
, do exemplo 1.3, ´e tamb´em^^3_._
Teorema 2.1 ( Propriedades de caracter´ıstica ). Sejam A ∈ F m × n^ , B ∈ F n × p^ e λ ∈ F \ { 0 }. Ent˜ao:
(C1) c ( A ) 6 m e c ( A ) 6 n;
(C2) c ( λA ) = c ( A ) ;
(C3) c ( AB ) 6 c ( A ) e c ( AB ) 6 c ( B ) ;
(Ct) c ( At ) = c ( A ).
Exerc´ıcios
- Em cada caso, determine a caracter´ıstica:
(a) A =
(b) B =
- Considere a matriz A do “ exemplo 1.3 .”; reduza-a `a matriz C , na forma escalonada reduzida.
- Em cada uma das al´ıneas que se seguem, discuta a caracter´ıstica da matriz considerada em fun¸c˜ao do(s) parˆametro(s) indicado(s):
(a) A =
a 1 − 1 2
, onde a ∈ R;
(b) A =
2 1 α 1 1 1 α α/ 2 1 β α 1
, onde α , β ∈ R;
(c) A =
λ 0 λ 0 2 λ 2 1 − 1 λ
, onde^ λ^ ∈^ R.
- Considere a matriz
A =
0 0 a − 2 0
.