
CHAPTER 5
Differentiation
Differentiation is a technique that enables us to find out how a function
changes when its argument changes. It is an essential tool in economics.
If you have done A-level maths, much of the maths in this chapter will
be revision, but the economic applications may be new. We use the first
and second derivatives to work out the shapes of simple functions,
and find maximum and minimum points. These techniques are
applied to cost, production and consumption functions.Concave
and convex functions are important in economics.
—./—
1. What is a Derivative?
1.1. Why We Are Interested in the Gradient of a Function
In many economic applications we want to know how a function changes when its argument
changes – so we need to know its gradient.
This graph shows the production function Y(L)
of a firm: if it employs Lworkers it produces Y
units of output.
gradient = ∆Y
∆L=200
10 = 20
The gradient represents the marginal product of
labour - the firm produces 20 more units of out-
put for each extra worker it employs.
The steeper the production function, the greater
is the marginal product of labour.
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.L
Y
Y(L)
∆L
∆Y
10 20 30 40 50
200
400
600
800
With this production function, the gradient
changes as we move along the graph.
The gradient of a curve at a particular point is
the gradient of the tangent.
The gradient, and hence the marginal product
of labour, is higher when the firm employs 10
workers than when it employs 40 workers. .
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L
Y
Y(L)
10 20 30 40 50
200
400
600
800
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