Download Điều khiển thích nghi cho robot NDOF trên cơ sở bộ quan sát and more Thesis Electrical Engineering in PDF only on Docsity!
L ỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan bản đồ án t ốt nghiệp: “Điề u khi ể n thích nghi Robot nDOF trên cơ sở b ộ quan sát” do em t ự thiết kế dƣới s ự hƣớn g d ẫn của PGS.TS. Nguyễn Phạm Thục Anh. Các s ố liệu và kết quả là hoàn toàn đúng với thực tế. Để hoàn thành đồ án này em chỉ sử dụng những tài liệu đƣợc ghi trong danh mục tài liệu tham khảo và không sao chép hay sử dụng bất kỳ tài liệu nào khác. Nếu phát hiện có sự sao chép em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Hà N ội , ngày 21 tháng 5 năm 2016 Ngƣờ i th ự c hi ệ n Khƣơng Đứ c H ạ nh
MỤC LỤC
DANH M Ụ C B Ả NG BI Ể U , HÌNH V Ẽ
- LỜI CAM ĐOAN.....................................................................................................................
- MỞ ĐẦU
- 1 Lý do chọn đề tài:
- 2 Mục tiêu nghiên cứu:
- 3 Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu:
- 4 Phƣơng pháp nghiên cứu:
- 5 Ý nghĩa kho a học và thực tiễn của đề tài
- 6 C ấu tr úc luận văn:
- Chƣơng 1 : TỔNG QUAN PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN ROBOT..............................
- 1 .1. Tổng quan robot
- 1 .1.1. Lịch sử phát triển robot
- 1 .1.2. Cấu tạo robot
- 1 .1.3. Cơ cấu cơ khí của robot
- 1 .1.4. Các thông số đặc trƣng của hệ thống robot
- 1 .1.5. Hệ thống truyền động robot
- 1 .1.6. Hệ thống điều khiển chuyển động
- 1 .1.7. Cảm biến
- 1 .1.8. Ứng dụng robot công nghiệp
- 1 .2. Phƣơng pháp điều khiển robot
- 1 .2.1. Phƣơng pháp PD bù trọng trƣờng
- 1 .2.2. Thuật toán PID
- 1 .2.3. Phƣơng pháp điều khiển phi tuyến trên cơ sở mô hình
- 1 .2.4. Phƣơng pháp điều khiển Li - Slotine
- THÍCH NGHI Chƣơng 2 :BỘ ĐIỀU KHIỂN LI- SLOTINE THÍCH NGHI VÀ BỘ QUAN SÁT
- 2 .1. Cơ sở lý thuyết hệ phi tuyến...................................................................................
- 2 .1.1. Hệ phi tuyến
- 2 .1.2. Điểm cân bằng và điểm dừng của hệ
- 2 .1.3. Tính ổn định của điểm cân bằng...................................................................
- 2 .1.4. Tiêu chuẩn Lyapunov
- 2 .2. Phƣơng pháp điều khiển thích nghi Li - Slotine
- 2 .3. Bộ quan sát trạng thái thích nghi
- 2 .3.1. Bộ quan sát trạng thái của Luenberger
- 2 .3.2. Bộ quan sát thích nghi cho robot
- Chƣơng 3 : MÔ HÌNH TOÁN ROBOT PLANAR
- 3 .1. Cấu trúc và tham số robot
- 3 .2. Bài toán động học thuận vị trí
- 3 .2.1. Tham số thanh nối khớp
- 3 .2.2. Phƣơng pháp thiết kế khung tọa độ
- 3 .3. Bài toán động học ngƣợc vị trí
- 3 .4. Động lực học robot
- 3 .5. Thiết kế quỹ đạo chuyển động
- Chƣơng 4 : MÔ PHỎNG TRÊN MATLAB/SIMULINK.................................................
- 4 .1. Sơ đồ nguyên lý điều khiển
- 4 .2. Sơ đồ các khối mô phỏng trong Matlab/simulink
- 4 .3.Kết quả mô phỏng cho robot Pelican
- 4 .3.1. Kết quả mô phỏng cho bộ quan sát thích nghi
- 4 .3.2. Kết quả mô phỏng bộ điều khiển thích nghi Li-SIotine
- KẾT LUẬN
- TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................................
- PHỤ LỤC
- Bảng 3 .1: Thông số robot Pelican B Ả NG
- Bảng 4 .1 : Tham số ƣớc lƣợng chorobot
- Bảng 4 .2 : Bảng tham số bộ điều khiển...............................................................................
- Bảng 4 .3 : Tham số bộ quan sát............................................................................................
- Hình 1 .1. Bộ phận cấu thành Robot HÌNH V Ẽ
- Hình 1 .2: Khớp tịnh tiến và khớp quay
- Hình 1 .3 Cấu tạo một bàn tay máy.........................................................................................
- Hình 1 .4: Dạng tay gắn vào thân
- Hình 1 .5: D ạng h ệ tọ a độ cự c .................................................................................................
- Hình 1 .6: Dạng hình trụ
- Hình 1 .7: D ạn g SCARA..........................................................................................................
- Hình 1 .8: Robot sử dụng trong công đoạn cấp liệu và lắp ráp
- Hình 1 .9: Sơ đồ nguyên lý điều khiển
- Hình 1 .1 0 : Sơ đồ khối các thuật toán điều khiển robot
- Hình 1 .1 1 : Sơ đồ khối của phƣơng pháp điều khiển PD bù trọng trƣờng......................
- Hình 1 .1 2 : Sơ đồ điều khiển PID
- Hình 1 .1 3 : Sơ đồ nghiệm khi ∆ =
- Hình 1 .1 4 Điều khiển phi tuyến trên cơ sở mô hình
- Hình 1 .1 6 Sơ đồ luật điều khiển Li-Slotine
- Hình 2 .1: Minh họa khái niệm ổn định và ổn định tiệm cận
- Hình 2 .2: Tƣ tƣởng phƣơng pháp Lyapunov
- Hình 2 .3: Tạo họ đƣờng cong kín chứa gốc tọa độ
- Hình 2 .4: Sơ đồ điều khiển Li-slotine thích nghi
- Hình 3 .1: Robot Pelican
- Hình 3 .2: Khung tọa độ cho robot Planar
- Hình 3 .3: Tọa độ thanh nối robot
- Hình 4 .1: Sơ đồ nguyên lý điều khiển
- Hình 4 .2: Sơ đồ điều khiển chung
- Hình 4 .3 Khối điều khiển thích nghi Li-Slotine
- Hình 4 .4: Khối tính giá trị V, r
- Hình 4 .5: Khối robot Planar
- Hình 4 .6: Khối quan sát thích nghi
- Hình 4 .7: Khảo sát vị trí khớp
- Hình 4 .8: Khảo sát vị trí khớp 1 với tín hiệu đặt hình sin
- Hình 4 .9: Khảo sát vị trí khớp
- Hình 4 .1 0 : Khảo sát vị trí khớp 2 với tín hiệu đặt hình sin
- Hình 4 .1 1 : Khảo sát tốc độ khớp
- Hình 4 .1 2 : Khảo sát tốc độ khớp
- Hình 4 .1 3 : Sai lệch quan sát tốc độ.....................................................................................
- Hình 4 .1 4 : Khảo sát vị trí khớp 1 khi tín hiệu đặt là hằng số
- Hình 4 .1 5 : Khảo sát vị trí khớp 1 khi tín hiệu đặt là hàm hình sin
- Hình 4 .1 6 : Sai lệch vị trí khớp 1 khi tín hiệu đặt là hằng số............................................
- Hình 4 .1 7 : Khảo sát khớp 2 khi tín hiệu đặt là hằng số
- Hình 4 .1 8 : Khảo sát khớp 2 khi tín hiệ u đặt là hàm hình sin
- Hình 4 .1 9 : Sai lệch vị trí khớp 2 khi tín hiệu đặt là hằng số............................................
4. Phƣơng pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu tổng quan về các phƣơng pháp điều khiển Robot, trong đó nghiên cứu phƣơng pháp điều khiển Li – Slotine.
- Xây dựng thuật toán điều khiển thích nghi Li – Slotine và bộ quan sát thích nghi.
- Từ kết quả tính toán, sử dụng công cụ mô phỏng để trình bày kết quả nghiên cứu đạt đƣợc. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Đề tài sẽ mang lại một hƣớng đi mới trong việc điều khiển robot công nghiệp. Phƣơng pháp ứng dụng thuật toán điều khiển thích nghi giúp giải quyết hiệu quả các vấn đề bất định của đối tƣợng nhƣ vị trí, tốc độ. Qua đó tạo ra một công c ụ điều khiển mạnh trong quá trình t ự độ ng hóa s ản xuất.
- C ấ u trúc lu ận văn: Cấu trúc luận văn gồm 4 chƣơng: Chƣơng 1 : Trình bày t ổn g quan các vấn đề về Robot; về lịch s ử phát triển Robot công nghiệp; các khái niệm cơ bản của Robot công nghiệp. Chƣơng 2 : Trình bày về bộ điều khiển Li – Slotine thích nghi và b ộquan sát thích nghi. Chƣơng 3: Trình bày về mô hình toán h ọc Robot Planar, bài toán động học thuận và động học ngƣợ c vị trí. Chƣơng 4: Mô phỏng trên Matlab/Simulink. Dƣớ i s ự hƣớng d ẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Phạm Thục Anh luận văn của em đã hoàn thiện. Do quá trình công tác và điều kiện đi lại nên luận văn còn nhiều hạn chế. Em rất mong nhận đƣợc s ự đóng góp của thầy cô và các b ạn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà N ội , ngày 21 tháng 5 năm 2016 Ngƣờ i th ự c hi ệ n Khƣơng Đứ c H ạ nh
Chƣơng 1
T ỔNG QUAN PHƢƠNG PHÁP ĐIỀ U KHI Ể N ROBOT
- T ổ ng quan robot 1.1.1. L ị ch s ử p hát tri ể n robot “ Robot” đƣợc ra đời từ những mong ƣớ c của con ngƣời là mu ố n có những c ỗ máy gần giống con ngƣời có thể làm những công việc thay thế con ngƣời. Năm 1921 trong vở kị ch Rosum’s Universal Robot của Karel Capek thì Rossum và con trai đã chế tạo ra những chiếc máy gần giống con ngƣời để phục vụ con ngƣời. Có lẽ đây là những gợi ý đầu tiên cho các nhà sáng chế kĩ thuật về các cơ c ấu máy móc bắt chƣớ c hoạ t động của con ngƣời. Đầu những năm 60 , công ty Mỹ AMF quảng cáo một loại máy tự độ ng vạn năng gọi là “ ngƣời máy công nghiệp” và ngày nay đƣợc đặt tên là Robot công nghiệp. Ngày nay những lo ại thiết bị có dáng dấp và có m ột vài chức năng nhƣ tay ngƣời đƣợc điều khiển tự động để thực hiện mộ t s ốthao tác sản xuất cũng đƣợ c gọ i là robot công nghiệp. Về mặt kĩ thuật thì robot công nghiệp ngày nay có nguồn gố c từ hai lĩnh vực đó là các cơ cấu điều khiển từ xa và các máy công cụ điều khiển số. Các cơ cấu điều khiển từ xa đã phát triển mạnh trong chiến tranh thế giới lần thứ hai nhằm nghiên cứu các vật liệu phóng xạ. Còn các máy công c ụ điều khiển s ốra đời vào những năm 1949 nhằm đáp ứng yêu c ầu gia công các chi tiết trong ngành chế tạ o máy bay. Tiếp theo Mỹ, các nƣớc khác cũng bắt đầu sản xuất robot công nghiệp: Anh -1 96 7, Thụy Điển và Nhậ t – 1968 , CHLB Đứ c – 1971 , Pháp – 1972 , Ý- 1973 , … Tính năng làm việc của robot ngày càng đƣợc nâng cao, nhất là khả năng nhận biết và xử lý. Năm 1967 ở trƣờng Đại họ c tổ ng hợp Standford c ủa Mỹ đã chế tạo ra mẫu robot hoạt động theo mô hình “mắ t – tay”, có khảnăng nhận biết và định hƣớng bàn kẹp theo vị trí vật kẹp nhờ các c ảm biến.
Hình 1. 1. B ộ ph ậ n c ấ u thành Robot H ệ thố ng truyền động có thể là cơ khí, thuỷ khí hoặc điện khí: là bộ phận chủ yếu tạo nên sự chuyển dịch các khớp động. H ệ thống điề u khi ển đảm bảo sự hoạt động của Robot theo các thông tin đặt trƣớc hoặc nhận biết trong quá trình làm việc. H ệ thốn g c ả m bi ế n tín hi ệ u thực hiện việc nhận biết và biến đổi thông tin về hoạt động của bản thân Robot (cảm biến nội tín hiệu) và của môi trƣờng, đối tƣợng mà Robot phục vụ (cảm biến ngoại tín hiệu). 1.1.3. Cơ cấu cơ khí củ a robot Cấu trúc cơ khí của robot bao gồm một chuỗi thanh nối đƣợc gắn với nhau bởi các khớp. Mỗi khớp đƣợc truyền động tạo nên một chuyển động độc lập. Số bậc tự do của robot phụ thuộc vào số chuyển động độc lập của nó và độ dịch chuyển linh hoạt khi chuyển động sẽ tăng khi số bậc tự do tăng. Hai loại khớp cơ bản trong hệ thống robot là khớp tịnh tiến và khớp quay.
Hình 1. 2 : Kh ớ p t ị nh ti ế n và kh ớ p quay Các khớp đƣợc truyền động nhờ động cơ chấp hành gắn trên trục của nó. Chuyển động của khớp tạo nên chuyển động tƣơng đối giữa hai thanh nốii gắn với nó, một gọi là thanh nối đầu vào, một gọi là thanh nối đầu ra. Từ các khớp cơ bản trên ngƣời ta còn phân loại các khớp theo chuyển động tƣơng đối giữa các liên kết với khớp thành năm loại khớp chính sau : Khớp tuyến tính ( kí hiệu là khớp L ) : dạng khớp này tạo ra chuyển động tƣơng đối giữa hai thanh nối là chuyển động trƣợt tuyến tính, trục của hai thanh nối song song với nhau. Khớp trực giao (O) : vẫn là chuyển động trƣọt nhƣng hai trục của thanh nối đầu vào và đầu ra vuông góc với nhau. Khớp quay (R ): dạng khớp này tạo ra chuyển động quay xung quanh trục vuông với góc các trục của thanh nối đầu vào và đầu ra. Khớp xoắn (T): vẫn là chuyển động quay nhƣng trục quay của khớp songsong với trục của hai thanh nối đầu vào và đầu ra. Khớp chữ V : với dạng khớp này, trục của hai thanh nối đầu vào và đầu ra vuông góc với nhau, trục quay của khớp song song với trục của thanh nối đầu vào. Mỗi robot thƣờng có một đế gắn cố đinh đƣợc gọi là thanh nối 0. Một robot n bậc tự do thông thƣờng có n khớp đánh số từ 1 đến n và n+ 1 thanh nối. Khớp i
- Dạng SCARA Hình 1. 4 : D ạ n g tay g ắ n vào thân Hình 1. 5 : D ạ ng h ệ t ọa độ c ự c Hình 1. 6 : D ạ ng hình tr ụ Hình 1. 7 : D ạ ng SCARA
- Các thông số đặc trƣng của hệ thống robot Hệ thống điều khiển robot cũng đƣợc đặc trƣng bởi các khái niệm về độ phân giải, độ chính xác, độ lặp lại. Độ phân gi ải đặc trƣng bởi khoảng cách nhỏ nhất có thể biểu diễn đƣợc trên toàn bộ dải chuyển động của một khớp :
CR=(dải chuyển động)/ 2 n (1.1) trong đó n là số bit để biểu diễn một số trong hệ thống điều khiển. Tuy nhiên đây mới là độ phân giải cho một khớp robot. Đối với robot ngƣời ta đƣa ra khái niệm về độ phân giải không gian. Khái niệm này kết hợp độ phân giải của hệ thống điều khiển vớii sai số do hệ thống cơ khí gây ra trên các khớp và các mối liên kết. Nói chung sai số cơ khí tuân theo phân bố xác suất chuẩn và ngƣời ta xác định độ phân giải không gian, kí hiệu là SR, nhƣ sau : SR = CR + 6 (1.2) Độ chính xác đặc trƣng cho khả năng của robot điều chỉnh điểm cuối của tay máy đến một điểm bất kỳ trong không gian hoạt động của nó. Độ chính xác = CR/2 + 3 (1.3) Độ chính xác liên quan đến độ phân giải không gian đƣợc xác định là : Độ chính xác = SR/2 (1.4) Độ lặ p l ại đặc trƣng cho khả năng của robot đƣa đầu cuối bàn tay của nó chạm vào một điểm theo chƣơng trình định sẵn. Mỗi lần robot định chạm vào một điểm đãđƣợc lập trình trƣớc đó, nó sẽ chỉ chạm đƣợc vào gần đó do hệ thống cơ khí có sai số. Do đó độ lặp lại của robot đƣợc xác định bằng : Độ lặp lại =(+/-) 3 (1. 5 )
- H ệ th ố ng truy ền độ ng robot Các khớp có thể đƣợc thực hiện các chuyển động nhờ vào các cơ cấu chấp hành đƣợc truyền động bởi các hệ truyền động khác nhau nhƣ truyền động điện, thủy lực, khí nén. Các hệ thống truyền động điện cho khả năng về điều khiển linh hoạt tốt hơn cả và dễ dàng phối hợp với máy tính trong hệ thống điều khiển. Các hệ truyền động thủy lực có tốc độ cao hơn và công suất cũng lớn hơn. Các hệ khí nén chỉ đƣợc dùng trong công suất nhỏ và cho các ứng dụng đơn giản nhƣ cơ cấu vận chuyển, bàn kẹp.
Robot có thể thay thế con ngƣời làm việc ổn định bằng các thao tác đơn giản và hợp lý, đồng thời có khả năng thay đổi công việc để thích nghi với sự thay đổi của qui trình công nghệ. Sự thay thế hợp lý của robot còn góp phần giảm giá thành sản phẩm, tiết kiệm nhân công ở những nƣớc mà nguồn nhân công là rất ít hoặc chi phí cao nhƣ : Nhật Bản, các nƣớc Tây Âu, Hoa Kỳ... Tất nhiên nguồn năng lƣợng từ robot là rất lớn, chính vì vậy nếu có nhu cầu tăng năng suất thì cần có sự hỗ trợ của chúng mói thay thế đƣợc sức lao động của con ngƣời. Chúng có thể làm những công việc đơn giản nhƣng dễ nhầm lẫn, nhàm chán. Robot có khả năng nghe đƣợc siêu âm, cảm nhận đƣợc từ trƣờng Bên cạnh đó, một ƣu điểm nổi bậc của robot là môi trƣờng làm việc. Chúng có thể thay con ngƣời làm việc ở nhũng môi trƣờng độc hại, ẩm ƣớt, bụi bặm hay nguy hiểm. Ở những nơi nhƣ các nhà máy hoá chất, các nhà máy phóng xạ, trong lòng đại dƣơng, hay các hành tinh khác ... thì việc ứng dụng robot để cải thiện điều kiện làm việc là rất hữu dụng.
- Ứng dụng trong các lĩnh vực sản xuất cơ khí: Trong lĩnh vực cơ khí, robot đƣợc ứng dụng khá phổ biến nhờ khả năng hoạt động chính xác và tính linh hoạt cao. Các loại robot hàn là một ứng dụng quan trọng trong các nhà máy sản xuất ôtô, sản xuất các loại vỏ bọc cơ khí... Ngoài ra ngƣời ta còn sử dụng robot phục vụ cho các công nghệ đúc, một môi trƣờng nóng bức, bụi bặm và các thao tác luôn đ òii hỏi độ tin cậy. Đặc biệt trong các hệ thống sản xuất linh hoạt (FMS), Robot đóng vai trò rất quan trọng trong việc vận chuyển và kết nối các công đoạn sản xuất với nhau.
- Ứng dụng trong các lĩnh vực gia công lắp ráp: Các thao tác này thƣờng đƣợc tự động hóa bởi các robot đƣợc gia công chính xác và mức tin cậy cao.
Hình 1. 8 : Robot s ử d ụng trong công đoạ n c ấ p li ệ u và l ắ p ráp
- Ứng dụng trong các hệ thống y học, quân sự, khảo sát địa chất: Ngày nay, việc sử dụng các tiện ích từ Robot đến các lĩnh vực quân sự, y tế, ...rất đƣợc quan tâm. Nhờ khả năng hoạt động ổn định và chính xác, robot đặc biệt là tay máy đƣợc dùng trong kĩ thuật dò tìm, bệ phóng, và trong các ca phẫu thuật y khoa với độ tin cậy cao. Ngoài ra, tuỳ thuộc vào các ứng dụng cụ thể khác mà Robot đƣợc thiết kế để phục vụ cho các mục đích khác nhau, tận dụng đƣợc các ƣu điểm lớn của chúng đồng thời thể hiện khả năng công nghệ trong quá trình làm việc.
- P hƣơng pháp điề u khi ể n robot Khi xét bài toán điều khiển tay máy cho một robot nào đó, trƣớc hết chúng ta sẽ phải mô hình hóa tay máy đó là một cơ cấu - đối tƣợng đƣợc điều khiển, trong đó các cảm biến đƣợc đặt tại các khớp để quan sát trạng thái của các khớp. Chúng ta luôn muốn điều khiển các khớp của robot bám đúng quỹ đạo đƣợc thiết kế. Do vậy chúng ta phải sử dụng các hệ điều khiển để tính toán các lệnh phù hợp nhất cho các phần tử này sao cho chúng thục hiện đúng các quy luật chuyển động mong muốn. Trong nhiều trƣờng hợp nhờ sử dụng tín hiệu phản hồi, moment đầu ra thực tế sẽ đƣợc kiểm soát để tính toán moment mong muốn.
- Điều khiển trong không gian làm việc Tín hiệu đặt là vị trí bàn tay máy Qũy đạo chuyển động của tay máy E là , , , , , T X x y z x y z Qũy đạo đặt của tay máy E là , , , (^) d , , d T X (^) d xd yd zd x y d z Bài toán điều khiển chuyển động trong không gian Decac là tìm tín hiệu điều khiển momen M sao cho X X (^) d khi (^) t Hình 1. 10 : Sơ đồ kh ố i các thu ật toán điề u khi ể n robot Đề tài giới hạn điều khiển chuyển động trong không gian khớp khi chƣa biết chính xác các thông số động lực học, một số biến điều khiển không đo đƣợc. Từ đó tìm ra giải pháp để nghiên cứu, đánh giá, qua đó lựa chọn phƣơng pháp điều khiển phù hợp. Thuật toán điều khiển chuyển Thuật toán điều khiển chuyển ĐK chuyển động trong không gian khớp ĐK chuyển động trong không gian khớp ĐK chuyển động trong không gian làm việc ĐK chuyển động trong không gian làm việc Phƣơng pháp PD bù trọng trƣờng Phƣơng pháp PD bù trọng trƣờng pháp PID pháp PID ĐK phi tuyến trên cơ sở mô hình ĐK phi tuyến trên cơ sở mô hình Thuật toán Li- slotine thích nghi Thuật toán Li- slotine thích nghi ĐK ma trận Jacobi vị ĐK ma trận Jacobi vị ĐK ma trận Jacobi đảo ĐK ma trận Jacobi đảo
- 1 .Ph ƣơng pháp PD bù tr ọ ng trƣờ ng Yêu cầu đặt ra là tổng hợp bộ điều khiển đảm bảo hệ thống ổn định tuyệt đối xung quanh điểm cân bằng ( E= qd - q = 0). Xét tính ổn định của hệ thống theo Lyapunov. Phƣơng trình điều khiển: M Kp E Kd E G ( ) q (1.6) Các thông số bộ điều khiển bao gồm K (^) p là ma trận đƣờng chéo xác định dƣơng K (^) d là ma trận đƣờng chéo xác định dƣơng E là^ sai^ số^ vị^ trí^ khớp^ robot^ E^ q^ d q E là sai số tốc độ khớp robot E = qd - q Phƣơng trình động lực học kín : 1 ( ) ( ) ( , ) 2 H q q H q S q q q K (^) P E K (^) Dq (1.7) Do (^) qT S ( q , q ) q 0 1 ( ) 2 T T T p D d q H q q E K E q K q dt
Rõ ràng V ( E , E )là hàm xác định dƣơng V ( E , E ) 0 Hàm V ( E , E )chỉ bằng 0 khi đồng thời E , q đều bằng 0. 0 ( , ) 0 0 E q d q V E E q q 0 khi t Thay vào phƣơng trình (1.7) ta đƣợc: 0 0 p d K E khi t E q q khi t Điều đó có nghĩa là sai số vị trí hội tụ về 0 khi t tiến tới vô cùng
