Download collision of two body and more Exercises Physics in PDF only on Docsity!
Momentum merupakan besaran vektor. Jika benda bermassa m bergerak dengan kecepatan ~v, maka momentum
~p pada benda adalah
~p = m~v. (1)
Karena momentum merupakan besaran vektor, maka momentum memiliki besar pada masing-masing komponennya.
Pada bidang dua dimensi (dengan koordinat kartesius), momentum ~p dapat kita tulis sebagai berikut
~p = p x
i + p y
j, (2)
atau dalam tiga dimensi bisa kita tulis
p ~ = px
i + py
j + pz
k, (3)
di mana p x
, p y
, dan p z
merupakan besar momentum pada setiap sumbu x, y, dan z. Jika hanya kasus dua
dimensi, maka sumbu z bisa kita hilangkan sehingga persamaan 3 menjadi 2. Mengingat persamaan 1, maka
persamaan 3 di atas dapat kita tulis menjadi
~p = mvx
i + mvy
j + mvz
k, (4)
di mana v x
, v y
, dan v z
adalah besar kecepatan pada sumbu x, y, dan z (kita ingat, vektor ~v dapat kita tulis
menjadi ~v = vx
i + vy
j + vz
k).
Momentum juga harus mematuhi hukum kekekalan momentum, maka total momentum awal harus sama
dengan total momentum akhir. Karena momentum adalah peristiwa tumbukan, maka total momentum sebelum
tumbukan sama dengan total momentum setelah tumbukan
~p sebelum tumbukan
~p sesudah tumbukan
Pada tumbukan elastis (tidak ada energi terbuang menjadi panas atau getaran), terdapat hukum kekekalan
energi kinetik Ek,
Ek sebelum tumbukan
Ek sesudah tumbukan
dengan besar E k
1
2
mv
2 untuk satu partikel bermasaa m dan kecepatan v.
Perhatikan soal berikut!
Gambar 1: soal
Sebuah proton bertabrakan secara elastis dengan proton lain. Besar kecepatan proton yang bergerak diberikan
oleh v 1 i = 3, 5 × 10
5 m/s. Karena proton yang bergerak ke kanan (sumbu x positif) dan tidak ada komponen
kecepatan pada arah sumbu y, maka vektor kecepatan ~v dapat ditulis menjadi
~v 1 i
= (3, 5 × 10
5 m/s)ˆi. (7)
Setelah terjadi tumbukan elastis, kedua proton bergerak. Pada proton dengan massa m 1 bergerak dengan
kecepatan ~v 1 f membentuk sudut θ = 37
◦ terhadap arah horizontal, sementara pada proton dengan massa
m 2 , bergerak dengan kecepatan ~v 2 f dan membentuk sudut φ terhadap arah horizontal. Skenario sebelum
tumbukan dan setelah tumbukan bisa kita perhatikan pada gambar di soal atau pada gambar di bawah ini.
Gambar 2: skenario kasus kita
Pada Gambar 2, terlihat setelah tumbukan kecepatan massa m 1
dan m 2
memiliki komponen arah masing-
masing karena kedua massa tersebut membentuk sudut θ untuk massa m 1
dan φ untuk massa m 2
. Besar
kecepatan proton m 1
pada sumbu x ke kanan adalah v 1 f
cos θ dan pada sumbu y ke atas adalah v 1 f
sin θ;
sedangkan pada proton massa m 2
, besar kecepatan pada sumbu x ke kanan adalah v 2 f
cos φ dan besar kecepatan
pada sumbu y ke bawah adalah v 2 f sin φ. Maka vektor kecepatan pada masing-masing massa setelah tumbukan
adalah
~v 1 f = (v 1 f cos θ)ˆi + (v 1 f sin θ)ˆj (untuk m 1 ) (8)
~v 2 f = (v 2 f cos φ)ˆi − (v 2 f sin φ)ˆj (untuk m 2 ). (9)
Sekarang kita ingin menentukan besar kecepatan v 1 f dan v 2 f , serta besar sudut φ.
Dari hukum kekekalan momentum di persamaan 5 dan mengingat persamaan 8 dan 9, maka
~p sebelum tumbukan
~p sesudah tumbukan
m 1 ~v 1 i + 0 = m 1 ~v 1 f + m 2 ~v 2 f ,
m 1 ~v 1 i + 0 = m 1 [(v 1 f cos θ)ˆi + (v 1 f sin θ)ˆj] + m 2 [(v 2 f cos φ)ˆi − (v 2 f sin φ)ˆj]
m 1 ~v 1 i + 0 = [m 1 v 1 f cos θ + m 2 v 2 f cos φ]ˆi + [m 1 v 1 f sin θ − m 2 v 2 f sin φ]ˆj (10)
~v 1 i telah diketahui yang ditunjukkan oleh persamaan 7, maka persamaan 10 dapat kita tulis menjadi
[(3, 5 × 10
5 )m 1 ]ˆi = [m 1 v 1 f cos θ + m 2 v 2 f cos φ]ˆi + [m 1 v 1 f sin θ − m 2 v 2 f sin φ]ˆj. (11)
Perhatikan persamaan 11, suku sebelah kiri tidak ada komponen
j, sementara di suku sebelah kanan terdapat
komponen
j. Jika kita kita selesaikan untuk masing komponenannya, maka
[(3, 5 × 10
5
)m 1 ]ˆi = [m 1 v 1 f cos θ + m 2 v 2 f cos φ]ˆi. (12)
Terlihat besar nilai kurung kotak sebelah kiri harus sama besar dengan kurung kotak sebelah kanan,
sehingga
(3, 5 × 10
5 )m 1
= m 1
v 1 f
cos θ + m 2
v 2 f
cos φ. (13)
Persamaan 16 kita substitusi ke persamaan 19, maka
m 1
v
2
1 i
m 1
v
2
1 f
m 2
m 1
m 2
sin θ
sin φ
v 1 f
2
m 1
v
2
1 i
m 1
v
2
1 f
m 2
m
2
1
m
2
2
sin
2
θ
sin
2 φ
v
2
1 f
m 1 v
2
1 i
m 1 v
2
1 f
m 2
m
2
1
m
2
2
sin
2 θ
sin
2 φ
v
2
1 f
v
2
1 i
= v
2
1 f
m 1
m 2
sin
2
θ
sin
2 φ
v
2
1 f
(3, 5 × 10
5 )
2 = v
2
1 f
m 1
m 2
sin
2
θ
sin
2 φ
Substitusi persamaan 17, ke persamaan 20
(3, 5 × 10
5 )
2
3 , 5 × 10
5 ×
sin φ
cos θ sin φ + sin θ cos φ
2
m 1
m 2
sin
2 θ
sin
2 φ
(3, 5 × 10
5 )
2 = (3, 5 × 10
5 )
2 ×
sin
2 φ
(cos θ sin φ + sin θ cos φ)
2
m 1
m 2
sin
2 θ
sin
2 φ
(3, 5 × 10
5
)
2
=
(3, 5 × 10
5
)
2
×
sin
2 φ
(cos θ sin φ + sin θ cos φ)
2
m 1
m 2
sin
2 φ
(cos θ sin φ + sin θ cos φ)
2
sin
2 θ
sin
2 φ
sin
2 φ
(cos θ sin φ + sin θ cos φ)
2
m 1
m 2
sin
2 φ
(cos θ sin φ + sin θ cos φ)
2
sin
2 θ
sin
2 φ
sin
2
φ
(cos θ sin φ + sin θ cos φ)
2
m 1
m 2
sin
2
θ
(cos θ sin φ + sin θ cos φ)
2
sin
2 φ +
m 1
m 2
sin
2 θ = (cos θ sin φ + sin θ cos φ)
2
sin
2 φ +
m 1
m 2
sin
2 θ = cos
2 θ sin
2 φ + sin
2 θ cos
2 φ + 2 sin θ cos θ sin φ cos φ]
m 1
m 2
sin
2
θ = cos
2
θ sin
2
φ − sin
2
φ + sin
2
θ cos
2
φ + 2 sin θ cos θ sin φ cos φ
m 1
m 2
sin
2 θ = sin
2 φ(cos
2 θ − 1) + sin
2 θ cos
2 φ + 2 sin θ cos θ sin φ cos φ
m 1
m 2
sin
2 θ = − sin
2 φ sin
2 θ + sin
2 θ cos
2 φ + 2 sin θ cos θ sin φ cos φ
m 1
m 2
sin
2
θ = sin
2
θ(cos
2
φ − sin
2
φ) + sin 2θ sin φ cos φ
m 1
m 2
sin
2 θ + sin
2 θ(cos
2 φ − sin
2 φ) + sin 2θ sin φ cos φ (21)
Persamaan 21 kita kali kedua ruas dengan
1
cos
2 φ
, sehingga bentuknya menjadi
m 1
m 2
sin
2
θ ×
cos
2 φ
2
θ(cos
2
φ − sin
2
φ) ×
cos
2 φ
cos
2 φ
m 1
m 2
sin
2 θ
×
cos
2 φ
2 θ
1 − tan
2 φ
Karena kita tahu bahwa
1
cos
2 φ
= tan
2 φ + 1, maka
m 1
m 2
sin
2 θ
(tan
2 φ + 1) + sin
2 θ
1 − tan
2 φ
[(
m 1
m 2
sin
2
θ
]
tan
2 θ − sin 2θ tan φ +
m 1
m 2
sin
2
θ = 0. (23)
Persamaan 23 memiliki bentuk persamaan kuadrat dengan bentuk ax
2
- bx + c = 0, dimana kita misalkan
a =
[(
m 1
m 2
sin
2 θ
]
(24)
b = − sin 2θ (25)
c =
m 1
m 2
sin
2 θ (26)
x = tan φ, (27)
sehingga dengan rumus mencari akar-akar persamaan kuadrat (dikenal dengan rumus abc), yaitu
x 1 , 2 =
−b ±
b
2 − 4 ac
2 a
(28)
maka kita peroleh
x 1 , 2 =
sin 2θ ±
sin
2 2 θ + 4
m
2
1
m
2
2
sin
4 θ
[(
m 1
m 2
sin
2 θ
] (29)
Karena sudut θ = 37
◦
sin θ =
3
5
; cos θ =
4
5
; sin 2θ =
4
5
dan x = tan φ, maka
tan φ 1 , 2
4
5
4
5
2
m
2 1
m
2 2
3
5
4
[(
m 1
m 2
3
5
2
] , (30)
maka φ adalah
tan φ 1 =
4
5
4
5
2
m
2
1
m
2
2
3
5
4
[(
m 1
m 2
3
5
2
] (31)
tan φ 2 =
4
5
4
5
2
m
2
1
m
2
2
3
5
4
[(
m 1
m 2
3
5
2
] (32)
Karena massa proton sama, maka m 1 = m 2 , sehingga suku
m 1
m 2
− 1 = 0, sehingga kita peroleh
tan φ 1
4
5
4
5
2
[
3
5
2
] =
(33)
tan φ 2 = 0. (34)
Sehingga kita pilih nilai tan φ 1 , maka sin φ =
10 √
181
dan cos φ =
9 √
181
. Kecepatan akhir v 1 f dapat menggunakan
persamaan 17, sehingga
v 1 f = 3 , 5 × 10
5 ×
sin φ
cos θ sin φ + sin θ cos φ
= 3 , 5 × 10
5 ×
10 √
181
4
5
10 √
181
3
5
9 √
181
v 1 f
= 2 , 6 × 10
5 m/s. (35)
Dan kecepatan v 2 f dapat diperoleh dari persamaan 16 dengan menggunakan kedua massa proton sama m 1 =
m 2 ,
v 2 f =
m 1
m 2
sin θ
sin φ
v 1 f
3
5
10 √
181
× 2 , 6 × 10
5
v 2 f = 2 , 1 × 10
5
m/s. (36)
