PHY 3131, Hiver 2018 M´ecanique classique 2
31 janvier 2018 Devoir 2 – Page 1
Devoir 2
`
A remettre en classe jeudi le 8 f´evrier
1. (Pas `a remettre.)
(a) En classe, on a utilis´e souvent l’identit´e
ijk ilm =δjl δkm −δjm δkl.
V´erifiez cette identit´e. (Suggestion : si vous n’avez pas envie de v´erifier les 81
valeurs possibles des 4 indices non somm´es j, k, l, m, trouvez des relations qui
simplifient la tˆache. Par exemple, le membre de gauche Gjklm est clairement anti-
sym´etrique en jk. Si vous pouvez vous convaincre que tel est le cas aussi pour le
membre de droite Djklm,j=kest trivialement satisfait (0=0), et vous n’avez pas
`a consid´erer la relation pour j, k = 2,1 si vous l’avez d´ej`a v´erifi´ee pour j, k = 1,2.
Par contre, si vous avez envie de v´erifier les 81 valeurs possibles des 4 indices non
somm´es j, k, l, m, amusez-vous bien !)
(b) D´erivez des identit´es pour (i) ijk ijl et pour (ii) ij kij k.
(c) En classe, on a vu que δij est un tenseur invariant, c’est-`a-dire, que
δ0
ij ≡Rii0Rjj0δi0j0=δij .
Montrez que ijk est aussi un tenseur invariant.
2. GPS, exercice 5.14.
3. GPS, exercice 5.17, sans utiliser les angles d’Euler. Une approche possible : ´evaluez le
tenseur d’inertie dans un r´ef´erentiel Kbayant l’origine au sommet du cˆone (mettant
l’axe x3le long de l’axe de sym´etrie du cˆone). L’origine ´etant immobile, le mouvement
du corps est pˆurement rotationnel. D´eterminez le vecteur de vitesse angulaire ωau
moment o`u l’axe x1se trouve dans le plan sur lequel le cˆone roule.
4. (Pas `a remettre.) GPS, exercice 5.20. (Determinez le Lagrangien ; en d´eduire les
´equations d’Euler-Lagrange est facile mais d´esagr´eable.)
5. (a) D´erivez la relation entre le tenseur d’inertie d’un corps rigide de masse Mdans
deux r´ef´erentiels : Kb(celui du centre de masse) et K0
b(d´eplac´e par un vecteur de
translation a; voir figure). La r´eponse est de la forme I0
jk =Ijk + (`a d´eterminer)j k.
Kb
K'b
a
