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Classical mechanics problems goldstein, Exams of Classical Mechanics

Some of the problems of the goldstein classical mechanics manual chapter 5

Typology: Exams

2017/2018

Uploaded on 02/03/2018

Pierrot95
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bg1
PHY 3131, Hiver 2018 ecanique classique 2
31 janvier 2018 Devoir 2 Page 1
Devoir 2
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A remettre en classe jeudi le 8 evrier
1. (Pas `a remettre.)
(a) En classe, on a utilis´e souvent l’identit´e
ijk ilm =δjl δkm δjm δkl.
erifiez cette identit´e. (Suggestion : si vous n’avez pas envie de erifier les 81
valeurs possibles des 4 indices non somm´es j, k, l, m, trouvez des relations qui
simplifient la ache. Par exemple, le membre de gauche Gjklm est clairement anti-
sym´etrique en jk. Si vous pouvez vous convaincre que tel est le cas aussi pour le
membre de droite Djklm,j=kest trivialement satisfait (0=0), et vous n’avez pas
`a consid´erer la relation pour j, k = 2,1 si vous l’avez d´ej`a erifi´ee pour j, k = 1,2.
Par contre, si vous avez envie de v´erifier les 81 valeurs possibles des 4 indices non
somm´es j, k, l, m, amusez-vous bien !)
(b) erivez des identit´es pour (i) ijk ijl et pour (ii) ij kij k.
(c) En classe, on a vu que δij est un tenseur invariant, c’est-`a-dire, que
δ0
ij Rii0Rjj0δi0j0=δij .
Montrez que ijk est aussi un tenseur invariant.
2. GPS, exercice 5.14.
3. GPS, exercice 5.17, sans utiliser les angles d’Euler. Une approche possible : ´evaluez le
tenseur d’inertie dans un ef´erentiel Kbayant l’origine au sommet du one (mettant
l’axe x3le long de l’axe de sym´etrie du one). L’origine ´etant immobile, le mouvement
du corps est urement rotationnel. eterminez le vecteur de vitesse angulaire ωau
moment o`u l’axe x1se trouve dans le plan sur lequel le one roule.
4. (Pas `a remettre.) GPS, exercice 5.20. (Determinez le Lagrangien ; en eduire les
´equations d’Euler-Lagrange est facile mais esagr´eable.)
5. (a) erivez la relation entre le tenseur d’inertie d’un corps rigide de masse Mdans
deux ef´erentiels : Kb(celui du centre de masse) et K0
b(d´eplac´e par un vecteur de
translation a; voir figure). La eponse est de la forme I0
jk =Ijk + (`a eterminer)j k.
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PHY 3131, Hiver 2018 M´ecanique classique 2 31 janvier 2018 Devoir 2 – Page 1

Devoir 2

A remettre en classe jeudi le 8 f´^ ` evrier

  1. (Pas `a remettre.) (a) En classe, on a utilis´e souvent l’identit´e ijkilm = δjlδkm − δjmδkl.

V´erifiez cette identit´e. (Suggestion : si vous n’avez pas envie de v´erifier les 81 valeurs possibles des 4 indices non somm´es j, k, l, m, trouvez des relations qui simplifient la tˆache. Par exemple, le membre de gauche Gjklm est clairement anti- sym´etrique en jk. Si vous pouvez vous convaincre que tel est le cas aussi pour le membre de droite Djklm, j = k est trivialement satisfait (0=0), et vous n’avez pas a consid´erer la relation pour j, k = 2, 1 si vous l’avez d´eja v´erifi´ee pour j, k = 1, 2. Par contre, si vous avez envie de v´erifier les 81 valeurs possibles des 4 indices non somm´es j, k, l, m, amusez-vous bien !) (b) D´erivez des identit´es pour (i) ijkijl et pour (ii) ijkijk. (c) En classe, on a vu que δij est un tenseur invariant, c’est-`a-dire, que

δ′ ij ≡ Rii′ Rjj′ δi′j′ = δij.

Montrez que ijk est aussi un tenseur invariant.

  1. GPS, exercice 5.14.
  2. GPS, exercice 5.17, sans utiliser les angles d’Euler. Une approche possible : ´evaluez le tenseur d’inertie dans un r´ef´erentiel Kb ayant l’origine au sommet du cˆone (mettant l’axe x 3 le long de l’axe de sym´etrie du cˆone). L’origine ´etant immobile, le mouvement du corps est pˆurement rotationnel. D´eterminez le vecteur de vitesse angulaire ω au moment o`u l’axe x 1 se trouve dans le plan sur lequel le cˆone roule.
  3. (Pas `a remettre.) GPS, exercice 5.20. (Determinez le Lagrangien ; en d´eduire les ´equations d’Euler-Lagrange est facile mais d´esagr´eable.)
  4. (a) D´erivez la relation entre le tenseur d’inertie d’un corps rigide de masse M dans deux r´ef´erentiels : Kb (celui du centre de masse) et K b′ (d´eplac´e par un vecteur de translation a ; voir figure). La r´eponse est de la forme I jk′ = Ijk + (`a d´eterminer)jk.

K (^) b

K' (^) b

a

PHY 3131, Hiver 2018 M´ecanique classique 2 31 janvier 2018 Devoir 2 – Page 2

(b) V´erifiez ce th´eoreme pour l’exemple d’un cube uniforme de cˆot´e l et de masse M , prenant l’origine de K b′a un sommet du cube (ce-dernier dans le premier octant) (donc, a = (l/2)(1, 1 , 1)). (c) D´eterminez le tenseur d’inertie d’une sphere uniforme de rayon R et de masse M si la surface de la sphere passe par l’origine et son centre est en direction (1, 1 , 1). (Vous pouvez faire un calcul direct ou [indice subtil] utiliser le th´eor`eme de (a).) Quelles sont les moments principaux d’inertie dans ce r´ef´erentiel?