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Some of the problems of the goldstein classical mechanics manual chapter 5
Typology: Exams
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PHY 3131, Hiver 2018 M´ecanique classique 2 31 janvier 2018 Devoir 2 – Page 1
A remettre en classe jeudi le 8 f´^ ` evrier
V´erifiez cette identit´e. (Suggestion : si vous n’avez pas envie de v´erifier les 81 valeurs possibles des 4 indices non somm´es j, k, l, m, trouvez des relations qui simplifient la tˆache. Par exemple, le membre de gauche Gjklm est clairement anti- sym´etrique en jk. Si vous pouvez vous convaincre que tel est le cas aussi pour le membre de droite Djklm, j = k est trivialement satisfait (0=0), et vous n’avez pas a consid´erer la relation pour j, k = 2, 1 si vous l’avez d´ej
a v´erifi´ee pour j, k = 1, 2. Par contre, si vous avez envie de v´erifier les 81 valeurs possibles des 4 indices non somm´es j, k, l, m, amusez-vous bien !) (b) D´erivez des identit´es pour (i) ijkijl et pour (ii) ijkijk. (c) En classe, on a vu que δij est un tenseur invariant, c’est-`a-dire, que
δ′ ij ≡ Rii′ Rjj′ δi′j′ = δij.
Montrez que ijk est aussi un tenseur invariant.
K (^) b
K' (^) b
a
PHY 3131, Hiver 2018 M´ecanique classique 2 31 janvier 2018 Devoir 2 – Page 2
(b) V´erifiez ce th´eoreme pour l’exemple d’un cube uniforme de cˆot´e l et de masse M , prenant l’origine de K b′
a un sommet du cube (ce-dernier dans le premier octant) (donc, a = (l/2)(1, 1 , 1)). (c) D´eterminez le tenseur d’inertie d’une sphere uniforme de rayon R et de masse M si la surface de la sph
ere passe par l’origine et son centre est en direction (1, 1 , 1). (Vous pouvez faire un calcul direct ou [indice subtil] utiliser le th´eor`eme de (a).) Quelles sont les moments principaux d’inertie dans ce r´ef´erentiel?