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ESERCIZIO 3.
La scrivania ha un peso di 360 N ed è appoggiata sul pavimento con coefficiente di attrito f s
=0,.
Determinare la forza P che deve sviluppare il ragazzo in figura per spostare la scrivania; inoltre,
determinare il minimo coefficiente di attrito tra il pavimento e le suole del ragazzo, che pesa 600 N,
affinché quest’ultimo non scivoli.
Svolgimento
Si scriva l’equilibrio della scrivania alle traslazioni:
P W N
P f N
s
s
sen 30
cos 30
in cui per la forza di attrito si è considerato il massimo valore fornito dal caso statico. La soluzione della
(1) fornisce:
P
G
W
s
N
T
P
W
r
N
r
T
Capitolo terzo
N
f
f W
P
N
f
W
N
s
s s
s
s
cos 30 sen 30
1 tan 30
L’equilibrio verticale del ragazzo consente di determinare la reazione normale del pavimento:
N
r
r
→ N
r
= 539 N
Allora la condizione di aderenza tra suole del ragazzo e pavimento fornisce:
cos 30
cos 30 =
r
s r s
N
P
T P f N f
sen cos 0
cos sen 0
M Tr T r
T N T
N mg N T
A B
A B B
A B B
Le incognite del problema sono M , N A
, T
A
, N
B
, T
B
; tuttavia in condizioni limite di distacco le
reazioni in A sono nulle ( N A
= T
A
= 0 ) per cui il sistema (2) risulta ben posto è può essere risolto
per trovare:
M Tr Nm
T N N
N
mg
N
B
B B
B
tan 51 , 31
cos tan sen
Perché il rullo sia in aderenza nel punto B è necessario che valga la seguente disuguaglianza:
≤ → ≥tan α= 0 , 48
s s
B
B
f f
N
T
ESERCIZIO 3.
Determinare quale distanza d può percorrere la ragazza in figura, di massa m =60 kg, lungo la passerella
senza che questa scivoli. Il coefficiente di attrito degli appoggi in A e B vale f s
=0,3.
Svolgimento
Si scrivono le equazioni di equilibrio del sistema costituito da passerella e ragazza: la figura precedente
ne rappresenta il diagramma di corpo libero; l’equilibrio alle traslazioni viene scritto proiettando le
forze nella direzione longitudinale ed in quella trasversale alla passarella, mentre per l’equilibrio alle
rotazioni si considera il polo A :
cos 20 sen 20 cos 10 sen 10 0
cos 20 sen 20 cos 20 cos 10 sen 10 0
sen 20 cos 20 sen 20 sen 10 cos 10 0
mg d mg h N l T l
N T mg N T
N T mg N T
B B
A A B B
A A B B
Le incognite del problema sono d , N A
, T A
, N B
, T B
; tuttavia in condizioni limite di aderenza in A e B si
possono aggiungere le relazioni:
5 m
d
0,9 m
A
B
l
d
h
A
B
N
A
T
A
T
B
N
B
Capitolo terzo
ESERCIZIO 3.
Una autovettura a benzina ha massa m =1 200 kg e coefficiente di attrito volvente alle ruote f v
=0,013 in
condizioni di pressione normali; sapendo che se la pressione è inferiore del 20% esso arriva a
triplicarsi, determinare il corrispondente incremento di consumo di combustibile ogni 100 km. Sono
noti: il potere calorifico della benzina P c
=33,12 MJ/l, il rendimento del motore η m
=0,35 e della
trasmissione η t
=0,7.
Svolgimento
L’equazione (3.26) mostra che la forza di traino T i
necessaria a vincere le resistenze al rotolamento
della i-‐esima ruota vale T i
= f v
N i
; sommando il contributo di tutte le ruote si ottiene la forza di trazione
totale T :
T = T
i
i = 1
4
∑
f
v
N
i
i = 1
4
∑
f
v
mg = 153 N (1)
Pertanto in condizioni di pressione normale degli pneumatici il lavoro dissipato dalle resistenze al
rotolamento delle ruote per compiere un percorso di l=100 km vale:
L f mgl MJ
R v
( 2 )
Quando la pressione di gonfiaggio è inferiore del 20%, il corrispondente lavoro si triplica:
L f mgl MJ
R v
20
per cui l’incremento di lavoro dissipato alle ruote vale:
L mg fl MJ
R v
Per ottenere il corrispondente lavoro motore bisogna tenere conto dei rendimenti della trasmissione e
del motore:
Capitolo terzo
MJ
L
L
m t
R
m
( 5 )
Questa variazione si traduce in un incremento di consumo pari a:
l
P
L
c
c
m
( 6 )
cos cos
cos cos
1 1 1 1
2 2
2 2
e
v v
v v
A B
B A
(2)
- conservazione della quantità di moto di entrambe le particelle lungo la direzione normale alla
linea d’urto :
2 2 1 1
sen α sen α
A A A A
m v = m v (3)
2 2 1 1
sen β sen β
B B B B
m v = m v (4)
Sostituendo i dati noti nelle (1-‐4) si ottiene il sistema:
sen
sen
cos cos
cos 2 cos
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
β
α
β α
α β
B
A
B A
A B
v
v
v v
v v
( 5 )
Sommando le prime 2 equazioni in (5) e considerando il risultato insieme alla quarta si ottiene:
sen
cos
2 2
2 2
B
B
v
v
( 6 )
e quindi:
0 , 52 rad 30,
arctan
1 , 41 m/s
2
2
2
2
B
v
( 7 )
In modo analogo sottraendo il doppio della seconda equazione dalla prima in (5) e considerando il
risultato insieme alla terza si ottiene:
sen
cos
2 2
2 2
A
A
v
v
( 8 )
e quindi:
0 , 87 rad 50,
arctan
1 , 96 m/s
2
2
2
2
A
v
( 9 )
Le velocità ricavate si possono esprimere anche tramite le loro componenti cartesiane:
0 , 71 m/s
1 , 22 m/s
1 , 50 m/s
1 , 26 m/s
2
2
2
2
By
Bx
Ay
Ax
v
v
v
v
( 10 )
Si introduce la terna cartesiana mostrata in figura e si indicano con v A
e v
B
le velocità delle due auto
subito prima dell’urto e con v AB
la loro velocità (comune) subito dopo l’urto. Quest’ultima può essere
determinata a partire dalla conoscenza dello spazio percorso e del coefficiente di attrito; infatti il
sistema subito dopo l’urto è sottoposto solo alla forza (costante) di attrito:
T f ( m m ) g
d A B
per cui il teorema dell’energia cinetica consente di scrivere:
( ) ( )
2
d A B A B AB
L = Δ T → f m + m gs = m + m v (2)
e quindi la velocità delle 2 auto subito dopo l’urto vale:
v f gs m s km h
AB d
A questo punto la conservazione della quantità di moto dell’intero sistema nelle 2 direzioni cartesiane
fornisce le velocità delle 2 auto subito prima dell’impatto:
( )
( )
sen 72
cos 72
A A A B AB
B B A B AB
mv m m v
m v m m v
(4)
v m s km h
m
m m
v
v m s km h
m
m m
v
AB
A
A B
A
AB
B
A B
B
sen 72 20 , 5 / 73 , 9 /
cos 72 5 , 2 / 18 , 7 /
(5)
