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Claegari esercizi svolti capitolo 3 unico, Exercises of Applied Mechanics

correzione esercizi meccanica applicata

Typology: Exercises

2015/2016
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Uploaded on 04/20/2016

ARNOLD89
ARNOLD89 🇨🇦

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bg1
Callegari, Fanghella, Pellicano, Meccanica applicata alle macchine, Città Studi, © De Agostini Scuola 2013
!
!
!
ESERCIZIO!3.1!
La! scrivania! ha! un! peso! di! 360$ N! ed! è! appoggiata! sul!pavimento! con! coefficiente! di! attrito! fs=0,25.!
Determinare! la! forza! P!che! deve! sviluppare! il! ragazzo! in! figura! per! spostare! la! scrivania;! inoltre,!
determinare!il! minimo!coefficiente! di!attrito! tra!il! pavimento!e! le!suole!del! ragazzo,!che! pesa!600$ N,!
affinché!quest’ultimo!non!scivoli.!
Svolgimento!
Si!scriva!l’equilibrio!della!scrivania!alle!traslazioni:!
!
⎩
⎨
⎧
=+°
=°
NWP
NfP
s
s
30sen
30co s
!
(1)!
in!cui!per!la!forza!di!attrito!si!è!considerato!il!massimo!valore!fornito!dal!caso!statico.!La!soluzione!della!
(1)!fornisce:$
!
P
G
Ws
N
T
P
Wr
Nr
T
Capitolo!!
terzo!
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
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ESERCIZIO 3.

La scrivania ha un peso di 360 N ed è appoggiata sul pavimento con coefficiente di attrito f s

=0,.

Determinare la forza P che deve sviluppare il ragazzo in figura per spostare la scrivania; inoltre,

determinare il minimo coefficiente di attrito tra il pavimento e le suole del ragazzo, che pesa 600 N,

affinché quest’ultimo non scivoli.

Svolgimento

Si scriva l’equilibrio della scrivania alle traslazioni:

P W N

P f N

s

s

sen 30

cos 30

in cui per la forza di attrito si è considerato il massimo valore fornito dal caso statico. La soluzione della

(1) fornisce:

P

G

W

s

N

T

P

W

r

N

r

T

Capitolo terzo

N

f

f W

P

N

f

W

N

s

s s

s

s

cos 30 sen 30

1 tan 30

L’equilibrio verticale del ragazzo consente di determinare la reazione normale del pavimento:

N

r

  • P sen 30 ° = W

r

→ N

r

= 539 N

Allora la condizione di aderenza tra suole del ragazzo e pavimento fornisce:

cos 30

cos 30 =

r

s r s

N

P

T P f N f

sen cos 0

cos sen 0

M Tr T r

T N T

N mg N T

A B

A B B

A B B

Le incognite del problema sono M , N A

, T

A

, N

B

, T

B

; tuttavia in condizioni limite di distacco le

reazioni in A sono nulle ( N A

= T

A

= 0 ) per cui il sistema (2) risulta ben posto è può essere risolto

per trovare:

M Tr Nm

T N N

N

mg

N

B

B B

B

tan 51 , 31

cos tan sen

Perché il rullo sia in aderenza nel punto B è necessario che valga la seguente disuguaglianza:

≤ → ≥tan α= 0 , 48

s s

B

B

f f

N

T

ESERCIZIO 3.

Determinare quale distanza d può percorrere la ragazza in figura, di massa m =60 kg, lungo la passerella

senza che questa scivoli. Il coefficiente di attrito degli appoggi in A e B vale f s

=0,3.

Svolgimento

Si scrivono le equazioni di equilibrio del sistema costituito da passerella e ragazza: la figura precedente

ne rappresenta il diagramma di corpo libero; l’equilibrio alle traslazioni viene scritto proiettando le

forze nella direzione longitudinale ed in quella trasversale alla passarella, mentre per l’equilibrio alle

rotazioni si considera il polo A :

cos 20 sen 20 cos 10 sen 10 0

cos 20 sen 20 cos 20 cos 10 sen 10 0

sen 20 cos 20 sen 20 sen 10 cos 10 0

mg d mg h N l T l

N T mg N T

N T mg N T

B B

A A B B

A A B B

Le incognite del problema sono d , N A

, T A

, N B

, T B

; tuttavia in condizioni limite di aderenza in A e B si

possono aggiungere le relazioni:

5 m

d

0,9 m

A

B

l

d

h

A

B

N

A

T

A

T

B

N

B

Capitolo terzo

ESERCIZIO 3.

Una autovettura a benzina ha massa m =1 200 kg e coefficiente di attrito volvente alle ruote f v

=0,013 in

condizioni di pressione normali; sapendo che se la pressione è inferiore del 20% esso arriva a

triplicarsi, determinare il corrispondente incremento di consumo di combustibile ogni 100 km. Sono

noti: il potere calorifico della benzina P c

=33,12 MJ/l, il rendimento del motore η m

=0,35 e della

trasmissione η t

=0,7.

Svolgimento

L’equazione (3.26) mostra che la forza di traino T i

necessaria a vincere le resistenze al rotolamento

della i-­‐esima ruota vale T i

= f v

N i

; sommando il contributo di tutte le ruote si ottiene la forza di trazione

totale T :

T = T

i

i = 1

4

f

v

N

i

i = 1

4

f

v

mg = 153 N (1)

Pertanto in condizioni di pressione normale degli pneumatici il lavoro dissipato dalle resistenze al

rotolamento delle ruote per compiere un percorso di l=100 km vale:

L f mgl MJ

R v

( 2 )

Quando la pressione di gonfiaggio è inferiore del 20%, il corrispondente lavoro si triplica:

L f mgl MJ

R v

20

per cui l’incremento di lavoro dissipato alle ruote vale:

L mg fl MJ

R v

Per ottenere il corrispondente lavoro motore bisogna tenere conto dei rendimenti della trasmissione e

del motore:

Capitolo terzo

MJ

L

L

m t

R

m

( 5 )

Questa variazione si traduce in un incremento di consumo pari a:

l

P

L

c

c

m

( 6 )

cos cos

cos cos

1 1 1 1

2 2

2 2

e

v v

v v

A B

B A

(2)

  • conservazione della quantità di moto di entrambe le particelle lungo la direzione normale alla

linea d’urto :

2 2 1 1

sen α sen α

A A A A

m v = m v (3)

2 2 1 1

sen β sen β

B B B B

m v = m v (4)

Sostituendo i dati noti nelle (1-­‐4) si ottiene il sistema:

sen

sen

cos cos

cos 2 cos

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

β

α

β α

α β

B

A

B A

A B

v

v

v v

v v

( 5 )

Sommando le prime 2 equazioni in (5) e considerando il risultato insieme alla quarta si ottiene:

sen

cos

2 2

2 2

B

B

v

v

( 6 )

e quindi:

0 , 52 rad 30,

arctan

1 , 41 m/s

2

2

2

2

B

v

( 7 )

In modo analogo sottraendo il doppio della seconda equazione dalla prima in (5) e considerando il

risultato insieme alla terza si ottiene:

sen

cos

2 2

2 2

A

A

v

v

( 8 )

e quindi:

0 , 87 rad 50,

arctan

1 , 96 m/s

2

2

2

2

A

v

( 9 )

Le velocità ricavate si possono esprimere anche tramite le loro componenti cartesiane:

0 , 71 m/s

1 , 22 m/s

1 , 50 m/s

1 , 26 m/s

2

2

2

2

By

Bx

Ay

Ax

v

v

v

v

( 10 )

Si introduce la terna cartesiana mostrata in figura e si indicano con v A

e v

B

le velocità delle due auto

subito prima dell’urto e con v AB

la loro velocità (comune) subito dopo l’urto. Quest’ultima può essere

determinata a partire dalla conoscenza dello spazio percorso e del coefficiente di attrito; infatti il

sistema subito dopo l’urto è sottoposto solo alla forza (costante) di attrito:

T f ( m m ) g

d A B

per cui il teorema dell’energia cinetica consente di scrivere:

( ) ( )

2

d A B A B AB

L = Δ Tf m + m gs = m + m v (2)

e quindi la velocità delle 2 auto subito dopo l’urto vale:

v f gs m s km h

AB d

A questo punto la conservazione della quantità di moto dell’intero sistema nelle 2 direzioni cartesiane

fornisce le velocità delle 2 auto subito prima dell’impatto:

( )

( )

sen 72

cos 72

A A A B AB

B B A B AB

mv m m v

m v m m v

(4)

v m s km h

m

m m

v

v m s km h

m

m m

v

AB

A

A B

A

AB

B

A B

B

sen 72 20 , 5 / 73 , 9 /

cos 72 5 , 2 / 18 , 7 /

(5)