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Calculo Integral Folhas, Study Guides, Projects, Research of Calculus

Folhas calculo integral. Métodologia

Typology: Study Guides, Projects, Research

2017/2018

Uploaded on 04/07/2018

guilherme-silverio
guilherme-silverio 🇧🇷

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1.7 Cálculo integral
Motivação
Consideremos uma função contínua f:[a, b]Rtal que f0em [a, b].
Pretende-se calcular a área da região Rdelimitada pelo gráfico de fe pelo
eixo dos xx,
R=!(x, y)R2:axb, 0yf(x)",
que se encontra assinalada na seguinte figura.
R
y=f(x)
abx
y
Designamos esta área por integral de fem [a, b], que denotamos por
b
#
a
f(x)dx.
A função fdesigna-se por função integranda.
Exemplos
1. Se fé a função constante de valor k, o valor da área é k(ba),
abx
y
k
53
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe

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1.7 Cálculo integral

Motivação

Consideremos uma função contínua f : [a, b] → R tal que f ≥ 0 em [a, b].

Pretende-se calcular a área da região R delimitada pelo gráfico de f e pelo

eixo dos xx,

R =

(x, y) ∈ R

2

: a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)

que se encontra assinalada na seguinte figura.

R

y = f (x)

a (^) b

x

y

Designamos esta área por integral de f em [a, b], que denotamos por

b

a

f (x)dx.

A função f designa-se por função integranda.

Exemplos

1. Se f é a função constante de valor k, o valor da área é k(b − a),

a (^) b

x

y

k

Portanto,

b

a

k dx = k(b − a).

2. Mais geralmente, se f é uma função linear o valor da área é

f (a) + f (b)

(b − a),

como se pode constatar imediatamente na seguinte figura.

a (^) b

x

y

f (b)

f (a)

f (a)+f (b)

2

a+b

2

Portanto,

b

a

f (x)dx =

f (a) + f (b)

(b − a).

  • Podemos estender a noção de integral para funções contínuas f que

tomam valores positivos e negativos. Nessa altura, define-se integral

de f em [a, b] como sendo a diferença entre os valores das áreas das

regiões delimitadas pelo gráfico de f e pelo o eixo dos xx, que se

encontram acima e abaixo do eixo dos xx, respectivamente.

Se h é suficientemente pequeno, vem

f (ai ) ≈

F (a

i

+ h) − F (a

i

h

F (a

i+

) − F (a

i

h

e portanto,

(f (a 0 ) + f (a 1 ) + · · · + f (a (^) n− 1 )) h

F (a 1 ) − F (a 0 )

h

F (a 2 ) − F (a 1 )

h

F (a (^) n ) − F (a (^) n− 1 )

h

h

= F (a 1

) − F (a 0

) + F (a 2

) − F (a 1

) + F (a 3

) − F (a 2

· · · + F (a (^) n− 2 ) − F (a (^) n− 3 ) + F (a (^) n− 1 ) − F (a (^) n− 2 ) + F (a (^) n ) − F (a (^) n− 1 ).

Na expressão anterior cada parcela F (a (^) i ) aparece duas vezes e com sinais opostos,

com excepção das parcelas −F (a 0

) e F (a n

) que só figuram uma vez. Logo,

(f (a 0

) + f (a 1

) + · · · + f (a n− 1

)) h ≈ −F (a 0

) + F (a n

) = F (b) − F (a).

Esta aproximação será tanto melhor quanto mais pequeno for a amplitude h dos su-

bintervalos [a (^) i , a (^) i+1 ]. Pode-se provar que no limite, quando h → 0 , se obtém mesmo

uma igualdade. Atendendo às considerações anteriores, concluímos finalmente que

Área da região = F (b) − F (a).

Obtivemos assim uma fórmula surpreendente que relaciona dois conceitos apa-

rentemente desconexos, a saber, o conceito de integral que envolve a noção de área e

o conceito de primitiva, que envolve a noção de derivada. Esta fórmula é conhecida

por fórmula fundamental do cálculo integral (ou fórmula de Barrow).

As conclusões anteriores mantêm-se válidas se f tomar valores positivos e ne-

gativos.

Tem-se então o seguinte resultado.

Teorema Sejam f : I = [a, b] → R uma função contínua e F : I → R uma

primitiva de f. Então

b ∫

a

f (x)dx =

[

F (x)

]

b

a

= F (b) − F (a).

Exemplos

b ∫

a

k dx = k

b ∫

a

1 dx = k[x]

b

a

= k(b − a).

1 ∫

0

x dx =

[

x

2

]

1

0

  1. Pretende-se calcular

6 ∫

2

x + 1 dx.

Recordemos que P f

′ f

α

f

α+

α + 1

(α (= − 1 ). Assim,

6 ∫

2

x + 1 dx =

6 ∫

2

(x + 1)

1

2 dx =

[

(x + 1)

3

2

3

2

]

6

2

[

(x + 1)

3

2

]

6

2

3

2 − 3

3

2 ).

  1. Pretende-se calcular

3 ∫

1

e

−x dx.

Recordando que P (f

′ e

f ) = e

f , vem

3 ∫

1

e

−x dx = −

3 ∫

1

−e

−x dx = −

[

e

−x

]

3

1

= −(e

− 3 − e

− 1 ) = e

− 1 − e

− 3 .

  1. Pretende-se calcular

∫^3

1

| 2 − x| dx.

Tem-se | 2 − x| =

2 − x, 2 − x ≥ 0

x − 2 , 2 − x ≤ 0

2 − x, 1 ≤ x ≤ 2

x − 2 , 2 ≤ x ≤ 3

  1. Pretende-se calcular

3 ∫

1

dx

arctg x(1 + x

2 )

Recordando que P

f

f

= ln |f |,

P

arctg x(1 + x

2 )

= P

1

1+x

2

arctg x

= log |arctg x|,

e portanto,

3 ∫

1

dx

arctg x(1 + x

2 )

[

log |arctg x|

]

3

1

= log |arctg

3 | − log |arctg 1 |

= log

π

− log

π

= log

  1. Pretende-se calcular,

√ 2

∫^2

√ 2

2

x dx

1 − x

4

Recordando que (arcsen x)

1 √

1 −x

2

, e que

(arcsen f )

=

1 − f

2

f

=

f

1 − f

2

vem

P

x

1 − x

4

P

2 x

1 − (x

2 )

2

arcsen x

2 ,

e portanto,

√ 2

2 ∫

√ 2

2

x dx

1 − x

4

[

arcsen x

2

]

√ 2

2

√ 2

2

arcsen

− arcsen

  1. Pretende-se calcular,

1 ∫

− 1

dx

x

2 − 4

A função

x

2 − 4

é uma função racional própria pois é um quociente de dois

polinómios, sendo que o grau do denominador superior ao do numerador. O

polinómio x

2 − 4 tem duas raízes simples − 2 , 2 e portanto admite a facto-

rização x

2 − 4 = (x + 2)(x − 2). Assim existem constantes reais A, B tais

que

x

2 − 4

(x − 2)(x + 2)

A

x − 2

B

x + 2

A(x + 2) + B(x − 2)

(x − 2)(x + 2)

(A + B)x + 2(A − B)

x

2 − 4

e portanto

A + B = 0

2(A − B) = 1

B = −A

4 A = 1

B = −

1

4

A =

1

4

Daqui resulta que

x

2 − 4

4(x − 2)

4(x + 2)

e portanto

1 ∫

− 1

dx

x

2 − 4

1 ∫

− 1

[

4(x − 2)

4(x + 2)

]

dx

1 ∫

− 1

dx

x − 2

1 ∫

− 1

dx

x + 2

[

log |x − 2 | − log |x + 2|

]

1

− 1

(log 1 − log 3 − log 3 + log 1) = −

log 3

Propriedades do integral

Sejam f, g : I = [a, b] → R funções contínuas em [a, b], λ ∈ R e c ∈ [a, b]. Tem-se:

  • Linearidade do integral:

b ∫

a

(f (x) + g(x))dx =

b ∫

a

f (x)dx +

b ∫

a

g(x)dx.

b ∫

a

λ f (x) dx = λ

b ∫

a

f (x)dx.

Como vimos anteriormente, o valor da área da região delimitada pelo eixo dos

xx e pelo gráfico de uma função contínua f ≥ 0 num intervalo [a, b], é dado por

b ∫

a

f (x)dx.

No caso f ≤ 0 , o integral representa o simétrico do valor da área dessa região.

Exemplo

Consideremos a função f (x) = sin x em [−π, π]. No intervalo [0, π] temos f (x) ≥ 0

e no intervalo [−π, 0] temos f (x) ≤ 0. As áreas em cada um dos sub-intervalos são

iguais mas os integrais têm sinais contrários. Assim,

π ∫

−π

sin x dx =

0 ∫

−π

sin x dx +

π ∫

0

sin x dx = 0.

y = sin x

−π

π

x

y

Aplicações do cálculo integral

  • Cálculo de áreas.
  • Cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Cálculo de áreas

Teorema Sejam f, g : I = [a, b] → R são funções contínuas tais que f (x) ≥ g(x)

para todo o x ∈ [a, b]. A área da região

{(x, y) ∈ R

2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f (x)}.

é dada pelo integral

b ∫

a

(f (x) − g(x))dx.

y

a

g

f

b

x

R b

a

(f (x) − g(x))dx

Se o sinal de f − g não for constante no intervalo [a, b] temos que determinar os

pontos onde os gráficos de ambas as funções se intersectam e decompôr o intervalo

em subintervalos onde esse sinal se mantenha constante. O valor da área será então

a soma das áreas em cada um desses subintervalos. No exemplo descrito na seguinte

figura a área da região assinalada vem dada pelo integral

c ∫

a

(g(x) − f (x)) dx +

d ∫

c

(f (x) − g(x)) dx +

b ∫

d

(g(x) − f (x)) dx.

a b

g

f

x

y

c d

Exemplos

  1. Calcular a área da região delimitada por y = |x| e y = 2 − x

2 .

y = 2x obtém-se resolvendo o sistema

y =

1

x

y = 2x

y =

1

x

1

x

= 2x

y =

1

x

x

2 = 2.

Como y ≥ 0 obtemos o ponto (

2

2

2). Analogamente a intersecção da

hipérbole y =

1

x

com a recta y =

x

4

obtém-se resolvendo o sistema

y =

1

x

y =

x

2

y =

1

x

1

x

x

2

y =

1

x

x

2 = 4.

Como y ≥ 0 obtemos o ponto (2,

1

2

). Assim,

Área =

√ 2

∫^2

0

2 x −

x

dx +

2 ∫

√ 2

2

x

x

dx

[

x

2

]

√ 2

2

0

[

log |x| −

x

2

] 2

√ 2

2

Cálculo de volumes de sólidos de revolução

Vejamos agora como calcular o volume de sólidos de revolução usando o integral

definido.

Seja f : [a, b] → R é uma função contínua tal que f (x) ≥ 0. Seja V ⊂ R

3 o

sólido de revolução em torno do eixo do xx definido por f , i.e., o volume da região

definida por rotação da área

{(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)},

em torno do eixo do xx.

f (x)

z

x

y

a b

Teorema O volume do sólido de revolução definido por y = f (x) é dado pela

fórmula,

V =

b ∫

a

π f

2 (x) dx.

Exemplo

Pretende-se calcular o volume do cone de altura h = 1 e cuja base é uma disco de

raio R = 1. O cone é o sólido de revolução definido pela função f : [0, 1] → R

definida por f (x) = x.

1

1

f (x)

x

z

y

O volume do cone é dado por

V =

1 ∫

0

π x

2 dx = π

[

x

3

] 1

0

π