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Documento que contiene ejercicios resueltos de cálculo relacionados con el cálculo de áreas encerradas por curvas y el uso de rectángulos para estimarlas. Contiene ejercicios resueltos con diferentes métodas y curvas, como la función cuadrática y la función seno.
What you will learn
Typology: Exercises
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Semana 1 Ejercicios Resueltos
5 5 5 5 5 5 5 5 3 = (1^2 + 22 + 32 + 42 + 52 ) = = 11.88. 3 6 9 y = x 2 1 2 3 x 0
Como suma inferior (caso (a) es como suma superior) el área de los cinco rectángulos es igual a: 2 2 2 2 2 3 3 3 6 3 9 3 12
5 5 5 5 5 5 5 5 3 = (0^2 + 12 + 22 + 32 + 42 ) = = 6. Concluimos que el área es menor que 11.88 pero mayor que 6.48. Estime el área bajo y = x 2 y sobre [1,2] de la siguiente manera: (a) Divida el intervalo [1,2] en cinco secciones de igual longitud. (Trácelas). (b) Halle las coordenadas del punto medio de cada sección. (Señale los puntos en el diagrama). (c) En cada sección trace un rectángulo cuya altura sea el valor de x 2 en el punto medio. (Elabore los cinco rectángulos) (d) Halle la altura de cada rectángulo. (Señale las alturas en el diagrama). (e) Halle el área total de los cinco rectángulos. ( b) 3 6 9 y = x 2 x y 0 1 2 3
Un negocio que en la actualidad no obtiene beneficios debe aumentarlos de manera gradual en los próximos tres años hasta que alcance una razón de 9 millones de dólares por año. Al final del primer semestre la razón debe ser un cuarto de millón anual, y al final del segundo año de 4 millones anuales. En general, al cabo de t años, en que t es un numero entre 0 y 3, su razón de beneficios ha de ser t 2 millones anuales. Estime el beneficio total durante esos tres años si el plan es exitoso. Utilice seis subintervalos de igual longitud y los puntos medios. Dividiendo el periodo de 3 años en 6 subintervalos de igual longitud total es aproximadamente. 2 2 2 2 2 2 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11
2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 = (1^2 + 32 + 52 + 72 + 92 + 112 ) = = 8.9375 millones de dólares.
Dibuje la región b) Trace seis rectángulos del mismo ancho cuya área total se aproxima por exceso al área de la región c) En el dibujo indique la altura y el ancho de cada rectángulo d) Halle el área total de los seis rectángulos (b) y 1 1 1 x
(d) El área total es igual a la suma de los seis términos: sin + sin + sin + sin + sin + sin = sin + sin + sin = sin + sin + sin Considere un estimativo del área de la región por debajo de x 2 y sobre [0,3] obtenido por la división en n secciones de igual longitud, donde n es un entero positivo. Sean B(n) el valor del estimativo por exceso obtenido mediante los extremos derechos y C(n) el valor del estimativo por el defecto usando los extremos izquierdos. Sea A el área por calcular. [Ya se sabe que C(12) = 7.90625 ≤ A ≤ 10.15625 = B(12)]. (a) Explique por qué B(n) – C(n) = 27/n (b) ¿Qué tan grande debe ser el valor de n para que B(n) – C(n) ≤ 0.01? y = sin x
b) Note que (x 2 + 1) 2 = x 4 + 2x 2 +1, luego una antiderivada es x (^) 5
2 x^3 + x + C , 5 3 C cte.
c) Dado que (cosx 2 )'=−2xsenx (^2) , concluimos que cos x (^) 2 ' = x senx 2 , luego − 2 una antiderivada de x senx 2 es − cos x^2 + C, C cte. d) Como (x 4 )'= 4x 3 y x 1 2 '^ =^ −^ x 2 3 se sigue que la antiderivada de^ x^3 + x 1 3 es x 44 − 21 x (^) 2 + C, C cte. e) Como ( x )'= 1 , es claro que (2 x + C) '^ = 1 , C cte. 2 x x
Ejercicios de Autoevaluación