Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

Ejercicios Resueltos de Cálculo: Área Encerrada por Curvas y Rectángulos, Exercises of Calculus

Documento que contiene ejercicios resueltos de cálculo relacionados con el cálculo de áreas encerradas por curvas y el uso de rectángulos para estimarlas. Contiene ejercicios resueltos con diferentes métodas y curvas, como la función cuadrática y la función seno.

What you will learn

  • ¿Cómo se calcula la antiderivada de la función x² + 1?
  • ¿Cómo se calcula el valor de c para que la área encerrada por la función f(t) = t(1 - t)² sea igual a ½?
  • Cómo se calcula la área encerrada por la curva y = x² entre x = 0 y x = 3 usando rectángulos?
  • ¿Cómo se calcula la razón de beneficios de un negocio que desea aumentar gradualmente en los próximos tres años?
  • ¿Cómo se calcula la área bajo la curva y = sin(x) entre x = 0 y x = π?

Typology: Exercises

2020/2021

Uploaded on 10/22/2022

Jhon_Fernando_22
Jhon_Fernando_22 🇺🇸

4 documents

1 / 11

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
CÁLCULO Ejercicios Resueltos
Semana 1
Ejercicios Resueltos
1. Estime el área encerrada por la curva de ecuación y = x 2 , el eje X y x = 3, para ello,
divida el intervalo [0,3] en cinco partes iguales, y estime el área mediante la suma de
áreas de los cinco rectángulos cuyas alturas se determinan por: (a) los extremos de la
derecha, y (b) los extremos de la izquierda. (c) A partir de la información reunida en
(a) y (b), complete esta afirmación: El área es menor que ______________, pero
mayor que ______________.
(a) y
De la figura, el ancho de cada rectángulo es 3/5 y el alto es determinado por el valor a
la derecha de cada rectángulo bajo y = x 2 , El área de los cinco rectángulos es igual a:
2 2 2 2 2
36 3 9 3 12 3 15
+ + + +
5 5 5 5 5 5 5 5
3
= (12 + 22 + 32 + 42 + 52 ) =
= 11.88.
3
6
9
y = x 2
1 2 3 x
0
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa

Partial preview of the text

Download Ejercicios Resueltos de Cálculo: Área Encerrada por Curvas y Rectángulos and more Exercises Calculus in PDF only on Docsity!

CÁLCULO Ejercicios Resueltos

Semana 1 Ejercicios Resueltos

  1. Estime el área encerrada por la curva de ecuación y = x 2 , el eje X y x = 3, para ello, divida el intervalo [0,3] en cinco partes iguales, y estime el área mediante la suma de áreas de los cinco rectángulos cuyas alturas se determinan por: (a) los extremos de la derecha, y (b) los extremos de la izquierda. (c) A partir de la información reunida en (a) y (b), complete esta afirmación: El área es menor que ______________, pero mayor que ______________. (a) (^) y De la figura, el ancho de cada rectángulo es 3/5 y el alto es determinado por el valor a la derecha de cada rectángulo bajo y = x 2 , El área de los cinco rectángulos es igual a: 2 2 2 2 2 3 6 3 9 3 12 3 15

5 5 5 5 5 5 5 5 3 = (1^2 + 22 + 32 + 42 + 52 ) = = 11.88. 3 6 9 y = x 2 1 2 3 x 0

Como suma inferior (caso (a) es como suma superior) el área de los cinco rectángulos es igual a: 2 2 2 2 2 3 3 3 6 3 9 3 12

5 5 5 5 5 5 5 5 3 = (0^2 + 12 + 22 + 32 + 42 ) = = 6. Concluimos que el área es menor que 11.88 pero mayor que 6.48. Estime el área bajo y = x 2 y sobre [1,2] de la siguiente manera: (a) Divida el intervalo [1,2] en cinco secciones de igual longitud. (Trácelas). (b) Halle las coordenadas del punto medio de cada sección. (Señale los puntos en el diagrama). (c) En cada sección trace un rectángulo cuya altura sea el valor de x 2 en el punto medio. (Elabore los cinco rectángulos) (d) Halle la altura de cada rectángulo. (Señale las alturas en el diagrama). (e) Halle el área total de los cinco rectángulos. ( b) 3 6 9 y = x 2 x y 0 1 2 3

Un negocio que en la actualidad no obtiene beneficios debe aumentarlos de manera gradual en los próximos tres años hasta que alcance una razón de 9 millones de dólares por año. Al final del primer semestre la razón debe ser un cuarto de millón anual, y al final del segundo año de 4 millones anuales. En general, al cabo de t años, en que t es un numero entre 0 y 3, su razón de beneficios ha de ser t 2 millones anuales. Estime el beneficio total durante esos tres años si el plan es exitoso. Utilice seis subintervalos de igual longitud y los puntos medios. Dividiendo el periodo de 3 años en 6 subintervalos de igual longitud total es aproximadamente. 2 2 2 2 2 2 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11

2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 = (1^2 + 32 + 52 + 72 + 92 + 112 ) = = 8.9375 millones de dólares.

Para la curva de ecuación y = senx, con x ∈[0,π]. a)

Dibuje la región b) Trace seis rectángulos del mismo ancho cuya área total se aproxima por exceso al área de la región c) En el dibujo indique la altura y el ancho de cada rectángulo d) Halle el área total de los seis rectángulos (b) y 1 1 1 x

(d) El área total es igual a la suma de los seis términos: sin + sin + sin + sin + sin + sin = sin + sin + sin = sin + sin + sin Considere un estimativo del área de la región por debajo de x 2 y sobre [0,3] obtenido por la división en n secciones de igual longitud, donde n es un entero positivo. Sean B(n) el valor del estimativo por exceso obtenido mediante los extremos derechos y C(n) el valor del estimativo por el defecto usando los extremos izquierdos. Sea A el área por calcular. [Ya se sabe que C(12) = 7.90625 ≤ A ≤ 10.15625 = B(12)]. (a) Explique por qué B(n) – C(n) = 27/n (b) ¿Qué tan grande debe ser el valor de n para que B(n) – C(n) ≤ 0.01? y = sin x

b) Note que (x 2 + 1) 2 = x 4 + 2x 2 +1, luego una antiderivada es x (^) 5

2 x^3 + x + C , 5 3 C cte.

c) Dado que (cosx 2 )'=−2xsenx (^2) , concluimos que cos x (^) 2 ' = x senx 2 , luego − 2 una antiderivada de x senx 2 es − cos x^2 + C, C cte. d) Como (x 4 )'= 4x 3 y x 1 2 '^ =^ −^ x 2 3 se sigue que la antiderivada de^ x^3 + x 1 3 es x 44 − 21 x (^) 2 + C, C cte. e) Como ( x )'= 1 , es claro que (2 x + C) '^ = 1 , C cte. 2 x x

Ejercicios de Autoevaluación

  1. Dada la función f(x) = ex^2 , estime por exceso el área encerrada por la función f(x), las rectas x = 0; x = 1 e y = 0 mediante rectángulos de base ½. (Certamen 1, 27/08/05).
  2. Determine valores para m, M∈R que acoten el área encerrada por f(x) = sen^2 x

1 + para x ∈[0,π/ 2] entre las rectas x = 0; x = π/2. (Certamen 1, 2

  1. Encuentre una antiderivada para la función f definida por x^2 0 ≤ x ≤ 1 f(x) = (Certamen 1, 22/12/06).
  2. Encuentre el valor de c∈R de manera que el área encerrada por f(t) = t , 1 − t 2 x = 1 y x = c sea igual a ½. (Certamen 2, 29/10/83).
  3. Demuestre justificadamente que el área encerrada por la función f(t) = et^2 entre t = 0 y t = 2 es menor o igual que 2. (Certamen recuperativo, 30/09/98).
  4. Encuentre la ecuación y = f(x) de la curva tal que: i) Contenga al punto (1,1). ii) Sea simétrica respecto del origen y. iii) ddx 2 2 y = (^) x 23 para cada x≠ 0 (Certamen 1, 10/09/93)
  1. Suponga que un tanque de agua de 5000 litros tarda 10 minutos en vaciarse y que después de t minutos, la cantidad de agua que queda en el tanque es v(t) = 50(10 – t) 2 litros. ¿Cuál es la mejor aproximación al promedio del agua en el tanque durante el tiempo en que se vacía? (Certamen 1, 07/09/2000).