Limites Trigonométricos: Cómo Resolver Ejercicios de Límites de Funciones Trigonométricas, Slides of Information Systems

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Ovando Pérez Erick Alejandro

Grado y Grupo: 2-O

Licenciatura en Ingeniera en

Desarrollo y Tecnologías de Software

Act: 2.

LIMITES CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Los límites trigonométricos son límites que se calculan sobre funciones trigonométricas. Para resolver límites trigonométricos se debe aplicar un procedimiento previo, ya que suelen dar indeterminaciones. Además, los límites al infinito de las funciones trigonométricas no existen, porque son funciones periódicas. Es decir, sus gráficas se van repitiendo continuamente de manera periódica sin tender a ningún valor concreto. Todos los límites trigonométricos se calculan a partir de las siguientes dos fórmulas:

Ejercicio 2

Calcula el siguiente límite trigonométrico: En primer lugar, intentamos hallar el límite trigonométrico: Pero se consigue la forma indeterminada cero partido cero. Entonces, convertimos la tangente en el cociente del seno y el coseno: Multiplicamos y dividimos por el coseno de x: Sacamos factor común en el numerador y separamos el límite trigonométrico en dos: Y, por último, hallamos el resultado del límite trigonométrico:

LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO.

Los limites infinitos comprenden un gran estudio al igual que los limites al infinito, tratar de abarcar todo esto en un tema escrito seria algo impensable, por tal dejaremos unos cuantos vídeos que explican de modo practico el tema, sin embargo como un breve resumen podemos decir que: Si una variable independiente X comienza a elevarse de manera indefinida se representa como X tiende a más infinito y por el contrario si esta variable comienza a decrecer a través de valores negativos se representa como X tiende a menos infinito De manera igualitaria si la función f(x) crece de manera indefinida y adquiere valores positivos cada vez mayores, esta se escribe ƒ(x)→ + ∞ y si decrece tomando valores negativos se escribe ƒ(x)→ – ∞.

DEFINICIÓN DE ASÍNTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES. Una asíntota es una recta a la cual la función se acerca indefinidamente. En este tema, vamos a hablar a detalle de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, y también resolveremos muchos problemas. Informalmente, decimos que la recta 𝑟 es una asíntota de la función 𝑟 si la gráfica de 𝑓 se acerca infinitamente a la recta 𝑟. La función 𝑓(𝑥) = 1 /𝑥 tiene asíntotas en las rectas 𝑦 = 0 𝑦 𝑥 = 0 : Ejemplo:

Asíntota horizontal

La recta horizontal 𝑦 = 𝑎 es una asíntota horizontal de 𝑓 si el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a +∞ o a −∞ es 𝑎. La recta y=a es una asíntota horizontal por la izquierda si La recta y=a es una asíntota horizontal por la derecha si lim 𝑥 → +∞

Lim 𝑥 → −∞

Según la función, puede ocurrir:

• Sólo uno de los límites es finito, por lo que la asíntota lo es en uno u otro lado (derecha o izquierda).
• Los dos límites son finitos. Si son distintos, hay una asíntota distinta en cada lado. Si coinciden, la asíntota es común en ambos lados.

Ejercicio 1

Encontrar las asíntotas verticales de la función racional Las funciones racionales tienen asíntotas en los puntos que anulan al denominador. El denominador de 𝑓 se anula cuando 𝑥 = 1. Por tanto, 𝑥 = 1 es una posible asíntota vertical. Calculamos el límite cuando 𝑥 tiene a 1 por la izquierda: Y por la derecha: Por tanto, la recta 𝑥 = 1 es una asíntota vertical (por derecha e izquierda). La gráfica de 𝒇 es

Problema 4

Calcular la asíntota horizontal de la siguiente función en la que el grado del polinomio del denominador es mayor que el del numerador: Para encontrar las asíntotas horizontales, debemos calcular el límite de la función en los infinitos: Por otro lado, Los límites son 0 precisamente porque el grado del polinomio del denominador es mayor que el del numerador. La asíntota horizontal (para ambas ramas de la función) es la recta 𝑦 = 0. Gráfica de 𝑓 :

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de R en R es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo). La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Ejercicio 1.

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

Límites laterales

Límite por la izquierda de una función 𝒇 en 𝒙𝟎 : Si 𝑓 está definida a la izquierda de 𝑥0, aunque no lo esté en 𝑥0, diremos que el límite de 𝑓 cuando 𝒙 tiende a 𝒙𝟎 por la izquierda es 𝑳, si (𝑥) tiende al valor 𝐿 cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 por valores menores que 𝑥0, y lo escribiremos así: lim 𝑥 → 𝑥 0 −

Límite por la derecha de una función 𝒇 en 𝒙𝟎 : Si 𝑓 está definida a la derecha de 𝑥0, aunque no lo esté en 𝑥0, diremos que el límite de 𝑓 cuando 𝒙 tiende a 𝒙𝟎 por la derecha es 𝑳, si (𝑥) tiende al valor 𝐿 cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 por valores mayores que 𝑥0, y lo escribiremos así: lim 𝑥 → 𝑥 0

+ 𝑓^ 𝑥^ =^ 𝐿

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

En cambio, si se aproxima a 2 por su izquierda, el denominador es positivo: Como consecuencia, no existe el límite en x= 2. Gráfica:

Ejercicio 2

Calcular los siguientes límites laterales: Razonamos del mismo que en el problema anterior: Si x se aproxima por la derecha de 0 , Si x se aproxima por la izquierda de 0,