Cálculo a través de sucesiones, Lecture notes of Calculus

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Una mirada al C´alculo

a trav´es de las sucesiones

Luis, Julieta, Oscar

• 1. Las primeras sesiones Prefacio V
  • 1.1. El problema del futbol
  • 1.2. Inducci´on matem´atica
  • 1.3. F´ormula del binomio de Newton
  • 1.4. Las torres de Hanoi
  • 1.5. El geoplano
  • 1.6. Resumen
• 2. Los n´umeros reales
  • 2.1. El orden en los n´umeros reales
  • 2.2. Medias aritm´etica, geom´etrica y arm´onica
  • 2.3. Desigualdad de Cauchy
  • 2.4. Valor absoluto
• 3. Sucesiones
  • 3.1. Listas
  • 3.2. Otras formas de construir listas
  • 3.3. Definici´on y ejemplos
  • 3.4. Tendencia de una sucesi´on
• 4. Convergencia
  • 4.1. Definici´on y ejemplos
  • 4.2. Sucesiones de Cauchy
  • 4.3. Divergencia
  • 4.4. Sucesiones mon´otonas iv ´Indice general
  • 4.5. L´ımite de sucesiones mon´otonas
• 5. Sucesiones recurrentes
  • 5.1. Sucesi´on de Fibonacci
  • 5.2. Otras sucesiones recurrentes
  • 5.3. Otro vistazo a la sucesi´on de Fibonacci
  • 5.4. El n´umero e
• 6. Series
  • 6.1. Introducci´on
  • 6.2. Series geom´etricas
  • 6.3. Criterios de convergencia
  • 6.4. La serie arm´onica
  • 6.5. Series alternantes
  • 6.6. Convergencia absoluta
  • 6.7. Series telesc´opicas

Prefacio

¿C´omo iniciar un curso de c´alculo de nivel licenciatura? Esta pregunta ha sido planteada y respondida de maneras muy diversas a lo largo de los a˜nos.

Algunos cursos inician con una “revisi´on” de material de los cursos de matem´aticas en niveles anteriores: algo de ´algebra por aqu´ı, un poco de geo- metr´ıa anal´ıtica por all´a. En este sentido, se inicia con una especie de mini- curso que intenta “remediar” las deficiencias de algunos de los estudiantes que comienzan una carrera.

Aunque es innegable que muchos de los estudiantes que ingresan a un curso de nivel superior no conocen o no tienen soltura con una gran parte de los conocimientos matem´aticos deseables en esta etapa, estamos convencidos que el tipo de matem´aticas por resaltar deber´ıa ser otro. Habr´a que plantear, en su momento, los aspectos mec´anicos de las matem´aticas, pero nos parece fundamental enfatizar otros aspectos de la actividad matem´atica, entendida como una actividad de reflexi´on, discusi´on, cuestionamiento y profundizaci´on del conocimiento. En particular, es importante enfatizar el uso de argumentos para justificar las propias afirmaciones; as´ı como el uso de ejemplos para aclarar conceptos y refutar argumentos.

En otras palabras, nos interesa la construcci´on del conocimiento de ma- nera din´amica, en contraposici´on a la presentaci´on de las matem´aticas como algo acabado. Para desarrollar este proceso es necesario promover la parti- cipaci´on de los estudiantes, para lo cual nosotros hemos utilizado a lo largo de varios a˜nos diversos problemas cuya soluci´on requiere cierto ingenio o la construcci´on de nuevos conceptos y resultados; son estos problemas la base de este texto.

Como fruto de nuestras vivencias, estas p´aginas reflejan algunas de las discusiones surgidas en nuestros salones de clase, aunque somos concientes que esta obra s´olo puede representar una m´ınima parte de la diversidad de experiencias que agradecemos a nuestros estudiantes.

v

Cap´ıtulo 0. Prefacio vii

una vez que se sugiere que estos caminos tambi´en son v´alidos y en oca- siones m´as claros para expresar una idea general, avanzan r´apidamente y buscan argumentos de otro tipo para expresar sus procedimientos.

Esta peque˜na lista de posibles m´etodos es una muestra de la diversidad de caminos para llegar a un mismo resultado con l´ogicas distintas. Es importante observar y discutir la validez, los alcances y los l´ımites de estos m´etodos, desarrollando a la vez una mejor comunicaci´on del pensamiento, tanto entre profesores y estudiantes como entre los propios estudiantes. Esta comunicaci´on es importante tambi´en en otro sentido: Puede ser que algunos estudiantes hayan comprendido otra cosa en el enunciado del proble- ma y est´en tratando de resolver, o incluso resuelvan, un problema totalmente diferente al que est´an resolviendo los dem´as. Cuando surja este tipo de si- tuaci´on, la discusi´on podr´ıa aclarar por qu´e se resolvi´o otro problema y cu´al es el error, si lo hay. As´ı, en vez de decir al compa˜nero un simple “est´a mal” cuando obtiene un resultado diferente al propio, es m´as conveniente reali- zar un cierto an´alisis. Para saber si se est´a resolviendo el mismo problema o incluso explorar la posibilidad de la propia equivocaci´on. Tambi´en puede surgir la situaci´on en que la soluci´on “est´e mal”, pero que los estudiantes no encuentren d´onde est´a el error; por ejemplo, podr´ıan usar la regla de tres en un problema donde este modelo no sea el adecuado. Aqu´ı corresponder´a al profesor conducir la discusi´on a buen t´ermino. En general, la idea es que los estudiantes aprendan de sus “errores” y no teman equivocarse. Como el lector podr´a imaginar, invertimos mucho tiempo con estos pro- blemas, para que quede claro el esp´ıritu de la clase, para que los estudian- tes vayan desarrollando una estructura l´ogica, para que experimenten en un ambiente de continuo cuestionamiento, para que afinen los argumentos que sustenten la certeza o falsedad de una respuesta y para que adquieran cada vez mayor confianza para resolver problemas. Una vez generado este ambiente en un grupo, habr´a que subir el grado de dificultad de las preguntas, para que los estudiantes conozcan o recreen diversos temas, como la estructura y naturaleza del conjunto de n´umeros naturales, el uso del principio de inducci´on matem´atica o los conceptos de sucesor de un n´umero, sucesiones y l´ımite, para posteriormente introducir los temas espec´ıficos del curso de c´alculo tradicional.

2 1.1. El problema del futbol

Aqu´ı surge el problema de ordenar el conteo, para garantizar que se cuentan todos los partidos y que cada uno fue contado una sola vez.

2. Es posible guiar una forma de obtener la respuesta mediante algunas preguntas. Supongamos que los equipos est´an numerados del 1 al 12. ¿Cu´antos equipos enfrenta el equipo n´umero 1? ¿Cu´antos equipos M AS´ enfrenta el equipo n´umero 2 (es decir, sin contar de nuevo el enfrenta- miento de ´este con el primer equipo)? ¿Cu´antos equipos M AS enfrenta´ el equipo n´umero 3? (Ya no se cuentan los partidos jugados contra el primer y el segundo equipo.) Se contin´ua de esta manera hasta el equi- po n´umero 11. (¿Por qu´e no se contin´ua hasta el 12?) Con base en estas ideas, el lector podr´a escribir una expresi´on para el n´umero de partidos, como por ejemplo

11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Pero como el torneo es a visita rec´ıproca, el resultado final es:

2(11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1).

3. ¿Qu´e ocurre si se cuenta de una vez los dos partidos de cada equipo (el de ida y el de vuelta), numerando los partidos jugados por cada equipo mediante pares solamente? Si contamos usando este punto de vista, el equipo n´umero 1 juega 22 partidos, dos por cada equipo, el equipo 2 juega 20 partidos m´as, y as´ı sucesivamente. De esta manera, el n´umero de partidos a jugar es:

22 + 20 + 18 + 16 + 14 + 12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2.

4. Otras soluciones usan un arreglo cuadrado donde las columnas repre- sentan a los equipos visitantes y los renglones a los equipos locales. En este esquema, los cuadritos de la diagonal no representan ning´un

Cap´ıtulo 1. Las primeras sesiones 3

partido. ¿Cu´antos renglones tiene el arreglo? ¿Cu´antos partidos est´an representados cada rengl´on? ¿Cu´al es entonces el n´umero de partidos del torneo?

5. (Variante del m´etodo anterior.) Una vez representados los partidos en un arreglo como el anterior, es posible preguntarse ¿cu´antos partidos habr´ıa en total? (Es decir, ¿cu´antos elementos tiene el arreglo en total?) ¿Cu´antos partidos no son v´alidos? Esto nos lleva a la expresi´on 12(12)−
6. Tambi´en se puede argumentar as´ı: Cada equipo tiene que enfrentarse a 11 equipos en alg´un momento de la primera vuelta. Como el partido del equipo A contra el equipo B es el mismo que el partido B contra A, si multiplicamos el total de 12 equipos por los 11 partidos que juega cada uno, obtendremos el total de partidos, repetidos dos veces. Al dividir este n´umero entre dos se tendr´a el n´umero de partidos jugados en una vuelta. Como son dos vueltas, tendremos que multiplicar el resultado por dos. En este caso, se tiene que el n´umero de partidos viene dado por la expresi´on 12(11) 2

7. Diremos que una jornada es el n´umero de partidos simult´aneos que pueden llevarse a cabo. ¿Cu´antos partidos habr´ıa en cada jornada de la primera vuelta? Como cada equipo debe jugar contra alguno de los 11 restantes en cada jornada, ¿cu´antos partidos habr´ıa en la primera vuelta? ¿Es correcto decir que en el torneo se efectuar´a un total de 12 2 (11)(2) partidos en las dos vueltas?

Cap´ıtulo 1. Las primeras sesiones 5

[

n + (n)(n 2 −3)

]

Una vez obtenidas varias expresiones para el n´umero de partidos, es ne- cesario ver que cualquiera de esas expresiones es igual a la otra, es decir, son diferentes representaciones de un mismo n´umero. En varios casos, basta hacer algunas operaciones para mostrar la igualdad entre las expresiones. Sin embargo, en otros casos esto no es inmediato, como al tratar de demostrar las siguientes igualdades:

2 [(n − 1) + (n − 2) + (n − 3) + · · · + 3 + 2 + 1] = n(n − 1) 2(n − 1) + 2(n − 2) + 2(n − 3) +( · · · + 6 + 4 + 2 = n(n) − n n + (n)(n 2 −3)

(2) = n(n 2 − 1)(2)

Cada una de estas igualdades es, por lo pronto, una conjetura.^2 Una con- jetura es, en el contexto de las matem´aticas, una especie de aproximaci´on a la respuesta que debe verificarse de alguna manera. Aqu´ı aparece un as- pecto delicado y fundamental del trabajo matem´atico: Una vez establecida una conjetura, ¿c´omo comprobar que es correcta? ¿C´omo comprobar que es incorrecta?

Veamos por ejemplo la manera de hacer ver que la primera de las ex- presiones en (1.1) es verdadera. Para esto, tenemos que comprobar que las dos expresiones que aparecen en la igualdad siempre arrojan el mismo n´ume- ro para cualquier valor de n. Comprobemos esto en casos particulares; por ejemplo, si n = 2 tenemos 2(1) = 2 del lado izquierdo y 2(2 − 1) = 2 del lado derecho. Obtenemos el mismo n´umero.

Si n = 3, del lado izquierdo tenemos: 2(2 + 1) = 6 y del lado derecho 3(3 − 1) = 6. De nuevo, tenemos el mismo n´umero.

Aunque la igualdad se cumple en estos casos particulares, no basta con esto, es necesario saber que en general las listas de n´umeros generados por las expresiones de cada uno de los lados de la igualdad “crecen” siempre de la misma manera.

A continuaci´on tenemos una tabla con los n´umeros que generan las dos

(^2) Seg´un el diccionario de la Real Academia Espa˜nola, una conjetura es un “juicio que

se forma por indicios y observaciones”.

6 1.1. El problema del futbol

expresiones:

N´umero 2[(n − 1) + (n − 2) + · · · + 2 + 1] n(n − 1) Incremento de equipos por rengl´on 2 2(1) = 2 2(2 − 1) = 2 2 3 2(2 + 1) = 6 3(3 − 1) = 6 4 .. .

.. .

.. .

.. . k 2[(k − 1) + (k − 2) + · · · + 2 + 1] k(k − 1) k + 1 As´ı, si hay k participantes se juegan 2 [(k − 1) + (k − 2) + · · · + 3 + 2 + 1]

partidos. ¿C´omo podemos usar esta informaci´on para saber de antemano cu´antos partidos se jugar´an y no volver a hacer toda la cuenta? Debemos contar los partidos que deben agregarse cuando llega un nuevo equipo. Al nuevo participante le falta jugar contra todos los equipos que ya hab´ıa antes; esto es, le toca jugar contra k equipos a dos vueltas, de modo que debe- mos agregar 2(k) partidos a la expresi´on para el n´umero de partidos con k participantes:

2 [(k − 1) + (k − 2) + · · · + 3 + 2 + 1] + 2(k) = 2(k) + 2 [(k − 1) + (k − 2) + · · · + 3 + 2 + 1] = 2 [((k + 1) − 1) + (k − 1) + (k − 2) + · · · + 3 + 2 + 1]. La ´ultima expresi´on es precisamente el n´umero de partidos que se jugar´an si hay k+1 equipos. As´ı, hemos demostrado que las dos listas empiezan igual y rengl´on a rengl´on crecen de la misma manera. De este modo, las expresiones generan los mismos n´umeros. Podemos concluir que nuestra conjetura es verdadera siempre:

2 [(n − 1) + (n − 2) + (n − 3) + · · · + 3 + 2 + 1] = n(n − 1)

es cierto para cualquier n´umero natural n. De igual manera se hace ver que las otras conjeturas que aparecen en (1.1) son verdaderas. Es posible que en esta discusi´on surjan conjeturas que no se obtienen directamente del problema de los partidos, sino de las igualdades anteriores; por ejemplo:

1 + 2 + 3 + 4 + · · · + (n − 1) + n =

n(n + 1) 2

8 1.1. El problema del futbol

Cerraremos esta secci´on usando la f´ormula anterior para hacer un breve comentario sobre los n´umeros figurados, aquellos que tienen alguna represen- taci´on geom´etrica. Los griegos de la antig¨uedad estudiaron varios de estos n´umeros, entre ellos los n´umeros triangulares:

Los primeros seis n´umeros triangulares.

Se puede utilizar la expresi´on (1.2) para ver que un n´umero triangular representa la suma de los primeros n´umeros naturales. Es decir,

n(n + 1) 2

es igual al n-´esimo n´umero triangular. Observemos que los n´umeros triangulares tienen ciertas relaciones intere- santes entre s´ı. Por ejemplo, veamos cu´anto vale la suma de dos n´umeros triangulares consecutivos cualesquiera. De nuevo empecemos por la observaci´on de casos particulares. Podemos colocar la informaci´on en una tabla como ´esta:

n Suma de triangulares Resultado 1 T 1 + T 2 = 1 + 3 4 2 T 2 + T 3 = 3 + 6 9 3 T 3 + T 4 = 6 + 10 16 4 T 4 + T 5 = 10 + 15 25 5 T 5 + T 6 = 15 + 21 36 .. .

Podemos utilizar tambi´en la siguiente representaci´on geom´etrica de la suma de dos n´umeros triangulares consecutivos para los primeros cuatro casos particulares:

Cap´ıtulo 1. Las primeras sesiones 9

Suma de dos n´umeros triangulares consecutivos: T 1 + T 2 , T 2 + T 3 , T 3 + T 4 y T 4 + T 5.

Observamos que en estos casos particulares cada suma de dos triangulares consecutivos nos da un n´umero cuadrado, es decir, un n´umero de la forma n^2. ¿Seguir´a ocurriendo esta regularidad para los dem´as casos? ¿Ser´a cierto que la suma de dos triangulares consecutivos siempre es un n´umero cuadrado? Para demostrar esta conjetura, podemos usar la expresi´on (1.2):

Tk + Tk+1 =

k(k + 1) 2

(k + 1)(k + 2) 2

(k + 1)(2k + 2) 2

= (k + 1)^2. (1.3)

As´ı, esta conjetura resulta ser verdadera: la suma de dos triangulares consecutivos siempre resulta un n´umero cuadrado. En la siguiente secci´on veremos otra relaci´on entre los n´umeros cuadrados y los n´umeros triangulares.

En esta secci´on hemos mostrado que (1.2) vale para cada n´umero natural n. En la siguiente secci´on presentaremos un ´util m´etodo general para demos- trar enunciados como ´este, basado en el principio de inducci´on matem´atica. Posteriormente continuaremos nuestra discusi´on de otros problemas, con un sabor m´as formal, pues nos interesa mostrar una forma de generar un am- biente de discusi´on de ideas matem´aticas cada vez m´as avanzadas.

1.2. Inducci´on matem´atica

Como hemos anunciado, ahora analizaremos un m´etodo que nos permi- tir´a mostrar la validez de muchas propiedades de los n´umeros naturales. Comenzaremos con un ejemplo, partiendo de la siguiente pregunta.

¿Cu´anto vale la suma de los cuadrados de los primeros n n´umeros naturales?

Cap´ıtulo 1. Las primeras sesiones 11

Y la suma de los tres primeros n´umeros cuadrados como:

Podemos pensar cada uno de estos arreglos de bloques contenidos en cubos de aristas 2 y 3 respectivamente, de donde quitamos algunos cubitos. En el primer caso tenemos 2^3 − 3 cubitos y en el segundo 3^3 − (3 + 5 + 5):

La suma de los primeros tres cuadrados completando un cubo de arista 3. A la derecha aparece cada uno de los tres niveles del cubo, comenzando desde el primero.

Ahora veamos qu´e pasa en el tercer caso:

12 1.2. Inducci´on matem´atica

La suma de los primeros cuatro cuadrados completando un cubo de arista 4. A la derecha aparece cada uno de los cuatro niveles del cubo, comenzando desde el primero.

De manera general, podemos representar la suma de los primeros n´umeros cuadrados dentro de un cubo de arista n y luego restar por pisos los elementos que no debemos considerar en la suma que buscamos. Para los casos que hemos visto y algunos m´as tenemos:

n Suma de los Quitando lo que primeros n cuadrados no debemos sumar: 1 1 13 −0(1) = 1 2 5 23 −[0(1) + 1(3)] = 5 3 14 33 −[0(1) + 1(3) + 2(5)] = 14 4 30 43 −[0(1) + 1(3) + 2(5) + 3(7)] = 30 5 55 53 −[0(1) + 1(3) + 2(5) + 3(7) + 4(9)] = 55

Estas observaciones sugieren como conjetura que al volumen de un cubo de arista n debemos restarle lo siguiente

0(1) + 1(3) + 2(5) + 3(7) + · · · + (n − 1)(2(n − 1) + 1).

Escribimos entonces

12 +2^2 + · · · + n^2 = n^3 − [0(1) + 1(3) + 2(5) + · · · + (n − 1) (2(n − 1) + 1)] = n^3 − [0(1) + 1(3) + 2(5) + · · · + (n − 1)(2n − 1)] = n^3 −[0(1) + 1(3) + 2(5) + · · · +

2 n^2 − 3 n + 1

]

= n^3 −

[

2 (1^2 ) +2 (2^2 ) +2 (3^2 ) + · · · + 2n^2

]

+3 [1 + 2 + 3 + · · · + n] −(n)(1) = n^3 − 2

[

12 +2^2 + · · · + n^2

]

+3 (1 + 2 + · · · + n) −n