Báo cáo giải tích 2 HCMUT, Essays (university) of Mathematics

Download Báo cáo giải tích 2 HCMUT and more Essays (university) Mathematics in PDF only on Docsity!

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

GVHD: Lê Nguyễn Hạnh Vy

NHÓM: GT2-L32-

Ngày 22 tháng 4 năm 2023

Bảng phân công công việc

STT MSSV Họ Tên Phân công công việc Ghi chú 1 2212753 PHẠM ĐĂNG QUANG Định nghĩa Gradient, Divergence 2 2211616 NGUYỄN ÂN KHOA Làm Powerpoint 3 2213763 ĐÀO ANH TUẤN Toán tử Rot 4 2212657 TRƯƠNG ĐÌNH PHÚC Soạn bài báo cáo 5 2211452 NGUYỄN MINH KHANG Định lý Stokes 6 2213812 NGUYỄN TUỆ Định lý Gauss 7 2212611 ĐỖ HOÀNG PHÚC Ý nghĩa vật lý định lý Divergence

Nội dung câu hỏi

1. Nêu định nghĩa Gradient, Divergence, Curl/Rot.
2. Nêu ý nghĩa vật lý của các định lý Gauss-Ostrogratsky (Định lý Divergence), định lý Stokes của tích phân mặt.
3. Làm bài tập 38 phần 15.7, Calculus Early Transcendental, Howard Anton, 10th edition

Mục lục

1 Định nghĩa Gradient. Divergence, Curl/Rot 4 1.1 Vector Gradient..................................... 4 1.2 Vector Divergence.................................... 4 1.3 Định nghĩa Curl/Rot.................................. 5

2 Ý nghĩa vật lý của các định lý Gauss-Ostrogratsky (Định lý Divergence), định lý Stokes của tích phân mặt 6 2.1 Ý nghĩa vật lý của định lý Gauss-Ostrogratsky (Định lý Divergence)... 6 2.2 Định lý Stokes của tích phân mặt.......................... 9

3 Bài tập 38 phần 15.7, Calculus Early Transcendental, Howard Anton, 10th edi- tion. 10

4 Tổng kết 11

1 Định nghĩa Gradient. Divergence, Curl/Rot

1.1 Vector Gradient

Gradient vector (còn gọi là vectơ gradient) là một vectơ đa chiều có các thành phần là các đạo hàm riêng của một hàm số đa biến theo từng biến. Nó được ký hiệu bằng "grad"và được tính toán bằng cách lấy các đạo hàm riêng của hàm số theo từng biến và sắp xếp chúng thành một vectơ cột. Cụ thể, nếu f(x1, x2, ..., xn) là một hàm số đa biến n, thì gradient vector grad(f) được xác định như sau:

∆f = ( (^) ∂x∂f 1 , (^) ∂x∂f 2 , ..., (^) ∂x∂fn )

Trong đó, (^) ∂x∂fi là đạo hàm riêng của f theo biến xi Giả sử chúng ta có một hàm số đa biến f (x, y, z) = x^2 + y^3 z. Vector gradient của hàm số này tại điểm (1, 2, 3) được tính bằng cách lấy đạo hàm riêng theo từng biến và đặt vào một vector.

∆f (1, 2 , 3) = ( ∂f∂x , ∂f∂y , ∂f∂z ) = (2x, 3 y^2 , y^3 )

Đặt giá trị của các biến vào ta có: ∇f (1, 2 , 3) = (2, 18 , 8) Vậy vector gradient của hàm số f (x, y, z) = x^2 + y^3 z tại điểm (1, 2, 3) là (2, 18, 8) Ứng dụng của vector gradient:

1. Tìm kiếm điểm cực trị: Vector gradient được sử dụng để tìm các điểm cực trị của hàm số đa biến, tức là điểm mà đạo hàm riêng theo các biến bằng 0 hoặc không tồn tại.
2. Xác định hướng đạo hàm lớn nhất: Vector gradient cũng được sử dụng để xác định hướng đạo hàm lớn nhất của hàm số tại một điểm. Hướng đạo hàm lớn nhất này chính là hướng tăng nhanh nhất của hàm số.
3. Phân tích trường vector: Vector gradient được sử dụng để phân tích trường vector trong không gian ba chiều. Trong trường hợp này, giá trị của vector gradient tại một điểm cụ thể cho biết hướng và độ lớn của vector đạo hàm tại điểm đó.
4. Giải các vấn đề liên quan đến vật lý toán học: Vector gradient cũng có ứng dụng rất quan trọng trong các vấn đề liên quan đến vật lý toán học như điện trường, từ trường, sóng âm, v.v.

1.2 Vector Divergence

Vector divergence (độ lệch) là một khái niệm trong toán học, được sử dụng để mô tả độ lan rộng của một trường vector trong không gian ba chiều. Vector divergence của một trường vector F = (Fx, Fy, Fz) được định nghĩa bằng công thức sau:

Div(F) = ( (^) ∂x∂′ (^) ∂y∂′ (^) ∂z∂′ ).(F x, F y, F z) = ∂F x∂x + ∂F y∂y + ∂F z∂z

Giả sử chúng ta có một vector trường trong không gian hai chiều được biểu diễn bằng công thức:

Trong trường hợp này, ta cần tính các đạo hàm riêng theo từng chiều của trường vector F. Ta có: ∂F x ∂z = 0 ∂F y ∂z = 0 ∂F z ∂x = 0 ∂F z ∂y = 5 ∂F x ∂y = 3 ∂F y ∂x = 2 Áp dụng vào công thức, ta tính được: ∇ x F = 5i + (−3)j + (−1)k Vậy kết quả của toán tử rot của trường vector F là vector (5, -3, -1)

Ứng dụng của toán tử Rot Toán tử rot có rất nhiều ứng dụng trong giải tích, đặc biệt là trong lĩnh vực cơ học lưu chất và điện từ. Dưới đây là một số ví dụ về ứng dụng của toán tử rot:

1. Điện từ học: Toán tử rot được sử dụng để mô tả các dòng điện xoay quanh các vật thể. Các phương trình Maxwell của điện từ học cũng sử dụng toán tử rot để mô tả sự thay đổi của các trường điện và từ trường.
2. Cơ học lưu chất: Toán tử rot được sử dụng để mô tả các vòng xoáy trong dòng chảy của chất lỏng hoặc khí. Nó cũng được sử dụng để tính toán lưu lượng dòng chảy của chất lỏng hoặc khí qua một bề mặt nhất định.
3. Lý thuyết thống kê: Toán tử rot cũng được sử dụng trong lý thuyết thống kê để tính toán các gradient và divergence của các hàm.
4. Cơ học đất và môi trường: Toán tử rot được sử dụng để tính toán lưu lượng nước dưới đất, xác định các đặc tính về dòng chảy của môi trường đất và các quá trình hóa học liên quan.
5. Mô phỏng máy tính: Toán tử rot được sử dụng để mô phỏng các hiện tượng xoay và lưu chất trong các ứng dụng tính toán và mô hình hóa.
6. Kỹ thuật điều khiển: Toán tử rot được sử dụng để thiết kế các hệ thống điều khiển tự động để điều khiển các thiết bị xoay như động cơ điện, máy bay quay trục hoặc tàu vận tải hàng hải.

2 Ý nghĩa vật lý của các định lý Gauss-Ostrogratsky (Định

lý Divergence), định lý Stokes của tích phân mặt

2.1 Ý nghĩa vật lý của định lý Gauss-Ostrogratsky (Định lý Divergence)

Cho V là miền đóng, bị chặn trong R3 có biên giới hạn bởi mặt cong kín S trơn hay trơn từng mảnh. Và P,Q, R là các hàm khả vi, liên tục trên V

RR

S

P dydz + Qdzdx + Rdxdy =

RRR

V

( ∂P∂x + ∂Q∂y + ∂R∂z )dxdydz

Trong đó tích phân mặt loại 2 lấy theo hướng pháp tuyến hướng ra phía ngoài miền V.

· Nếu tích phân mặt loại 2 lấy theo hướng pháp tuyến hướng vào trong thì lấy dấu − ở vế phải.

· Nếu S không kín, có thể bổ sung thêm mặt để áp dụng định lí G-O, sau đó trừ ra.

Ứng dụng của định luât Gauss Trường vector: Nếu mọi điểm M(x, y, z) ∈ V ∈ R^3 xác định 1 vecto F⃗ (M ) = P (M )⃗ i + Q(M )⃗j + R(M )⃗k

thì ta nói trường vecto F⃗ (x, y, z) ∈ V Thông lượng của 1 trường vecto F⃗ (Q, P, R) được xác định bởi công thức

Φ =

RR

S

F⃗nds =

RR

S

P dydx + Qdxdz + Rdxdy⃗

n là vecto đơn vị , vecto pháp tuyến của mặt cong Ý nghĩa của thông lượng: thông lượng của trường vecto vận tốc của dòng chảy qua một bề mặt là đại lượng chỉ lượng xuyên qua mặt này trong một đơn vị thời gian.

Ý nghĩa của định lý G-O (định lý divergen)

Φ =

RR

S

F⃗nds =

RRR

V

div⃗F dxdydz

Ý nghĩa vật lý của định lý của div F(p) chính là mật độ điện tích được phân bố bên trong mặt kín S. Ý nghĩa của định lý Divergence (còn gọi là định lý Ostrogradski-Gauss) chính là điện tích bên trong mặt kín bằng thông lượng điện chảy qua mặt kín S Định lý Divergence có nhiều ứng dụng trong vật lí như tính thông lượng của 1 trường vector. Ngoài ra biến đổi tích phân khi tính thông lượng người ta còn dẫn đến các phương trình Maxwell trong điện động lực học.

2.2 Định lý Stokes của tích phân mặt

Định lý Stokes nói lên mối quan hệ giữa tích phân mặt trên một mặt S với tích phân đường theo đường cong là biên của mặt S (đường cong trong không gian). Hình vẽ trên cho biết mặt được định hướng với vecto pháp đơn vị n. Hướng của S bao gồm hướng dương của đường cong biên C. Điều này có nghĩa là nếu bạn đi trên chiều dương quanh C mà đầu của bạn đặt theo hướng của n thì mặt S luôn nằm bên trái của bạn. Cho mặt S trong không gian 3 chiều được định hướng dương bởi vecto pháp tuyến n có biên C = ∂z được định hướng dương là hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu ta đứng tại điểm trên C hướng của n là hướng từ chân tới đầu. Cho P, Q, R : S → R là các hàm khả vi đến tận biên. Ta có vi phân:

R C

(P dx + Qdy + Rdz) =

RR

S

((Q

′ x −^ P^

′ y )dxdy^ + (R

′ y −^ Q

′ z )dydz^ + (P^

′ z −^ R

′ x)dzdx)

Ý nghĩa vật lý

· Công thức của định lý Stokes cho phép tính toán lưu lượng chất lưu (hoặc dòng điện, lực vàng, lực từ, v.v.) qua một mặt đóng bằng cách tính toán tích phân của xoắn của trường vector trên mặt đóng và tích phân của trường vector dọc theo đường viền của mặt đóng. Điều này là rất hữu ích trong vật lý, bởi vì nó cho phép tính toán các thông số chuyển động của các chất lưu và tương tác giữa chúng với các lực và trường điện từ, từ tính, lực vàng.

· Ví dụ, trong lý thuyết điện từ, công thức của định lý Stokes có thể được sử dụng để tính toán lưu lượng dòng điện qua một mặt đóng bằng cách tính toán xoắn của trường điện từ trên mặt đóng và tích phân của trường điện từ dọc theo đường viền của mặt đóng. Nó cũng có thể được sử dụng để tính toán lực từ giữa hai dòng điện đang chảy qua hai mặt đóng khác nhau.

· Ngoài ra, định lý Stokes còn có thể được sử dụng trong các ứng dụng khác trong vật lý như tính toán lưu lượng khí qua các bề mặt đóng trong các hệ thống cấp thoát khí.

3 Bài tập 38 phần 15.7, Calculus Early Transcendental, Howard

Anton, 10th edition.

Sự phân kỳ được cho là không phụ thuộc vào một hệ tọa độ bởi vì nó vẫn giữ nguyên bất kể sự lựa chọn tọa độ nào được sử dụng để mô tả trường vectơ. Tính chất này có thể được chứng minh bằng cách xem xét phép biến đổi của toán tử gradient và phân kỳ dưới sự thay đổi tọa độ. Giả sử chúng ta có hai hệ tọa độ khác nhau, được ký hiệu là (x, y, z) và (u, v, w) và một trường vectơ F được xác định trong cả hai hệ. Phép biến đổi giữa hai hệ tọa độ này có thể được biểu diễn dưới dạng một tập hợp các phương trình:

x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) Các thành phần của trường vectơ cũng biến đổi theo những quy luật nhất định và có thể biểu diễn như sau:

Fx = Fx(u, v, w), Fy = Fy (u, v, w), Fz = Fz (u, v, w) Bây giờ, nếu chúng ta xem xét toán tử gradient trong cả hai hệ tọa độ, chúng ta sẽ thấy rằng chúng có liên quan với nhau theo quy tắc chuỗi vi phân:

∇f = ∂f∂x ∗x⃗ + ∂f∂y ∗y⃗ + ∂f∂z ∗z⃗

trong đó f là một hàm vô hướng vàx,⃗⃗y vàz ⃗ lần lượt là các vectơ đơn vị theo các hướng x, y và z. Tương tự, toán tử gradient trong hệ tọa độ (u, v, w) có thể được biểu diễn như sau: ∇ ′ f = ∂f∂u ∗u⃗ + ∂f∂v ∗v⃗ + (^) ∂w∂f ∗w⃗

trong đóu,⃗⃗v vàw⃗ lần lượt là các vectơ đơn vị theo hướng u, v và w. Bây giờ, nếu chúng ta thay thế các phép biến đổi của x, y và z vào biểu thức của ∇

′ f và sử dụng quy tắc dây chuyền, chúng ta thu được:

∇ ′ f = ( ∂u∂x ∗ (^) ∂u∂ + ∂v∂x ∗ (^) ∂v∂ + ∂w∂x ∗ (^) ∂w∂ )f ∗u⃗ + ( ∂u∂y ∗ (^) ∂u∂ + ∂v∂y ∗ (^) ∂v∂ + ∂w∂y ∗ (^) ∂w∂ )f ∗v⃗ + ( ∂u∂z ∗ (^) ∂u∂ + ∂v ∂z ∗^

∂ ∂v +^

∂w ∂z ∗^

∂ ∂w )f^ ∗w⃗ Bằng cách so sánh các hệ số củau,⃗⃗v vàw⃗ với các hệ số củax,⃗⃗y vàz⃗ tương ứng, chúng ta thu được các quy tắc chuyển đổi cho toán tử gradient. Các quy tắc biến đổi này liên quan đến ma trận Jacobi của phép biến đổi tọa độ, đảm bảo rằng tích vô hướng giữa trường gradient và trường vectơ là bất biến khi thay đổi tọa độ.