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Instrucciones:
No se permite ning´un tipo de pregunta durante el transcurso del examen. La interpretaci´on que se haga de los enunciados
de los problemas es tambi´en materia de evaluaci´on.
No se permite usar ning´un tipo de calculadora durante el examen.
El uso de un tel´efono m´ovil durante la realizaci´on del examen conllevar´a la expulsi´on inmediata de la prueba.
Entregue la hoja de enunciados junto con las hojas de sus respuestas. No escriba sus respuestas en la hoja de enunciados.
Es muy conveniente que explique lo que va a hacer antes de hacerlo.
Enunciados:
1. Considere la estructura algebraica (R2,$,#,R), en la que $ es la suma convencional en este espacio, y la operaci´on
externa se define como: λ#v=v,∀λ∈R,∀v∈R2. Conteste razonadamente: ¿Es esta estructura un espacio
vectorial?[2 puntos]
2. Sea el espacio vectorial (C2,+,·,C) con las operaciones interna y externa convencionales, y sean los vectores de
este espacio u= (1 + i, 2i) y v= (1,1 + i). Conteste razonadamente: (a) ¿son uyvlinealmente independientes?;
(b) ¿y si uyvfueran elementos de (C2,+,·,R)?; (c) ¿cu´al es la dimensi´on del primero de los espacios?; (d) ¿y
la del segundo?[2 puntos]
3. Considere el espacio (R3,+,·,R) con las operaciones interna y externa convencionales. Sean los subespacios: W3,
formado por todos los elementos de R3con tercera componente nula y las otras dos iguales; W1, formado por
todos los elementos de R3con primera componente nula y las otras dos iguales; y W2= span(1,1,1). Conteste
razonadamente: ¿Puede obtenerse R3como la suma directa de los tres subespacios anteriores?[1.5 puntos]
4. Sea el espacio vectorial (M2(C),+,·,C) con las operaciones interna y externa convencionales. Se define una
transformaci´on entre M2(C) y el espacio M2(C)×M2(C) de la forma: T(A) = (A1, A2), con A1= (A+A∗)/2 y
A2= (A−A∗)/2. Conteste razonadamente: ¿Es Tlineal?[2 puntos]
5. Considere los espacios vectoriales (V, +,·,R) y (W, +,·,R), y sea Tuna transformaci´on lineal entre VyW. Se
sabe que, en las bases BV={v1, v2},BW={w1, w2, w3},Tposee la representaci´on matricial
1 0
1 1
−1 2
.
Obtenga razonadamente:
a) Ker(T) e Im(T).
b) La representaci´on matricial de Ten las bases B0
V={v0
1, v0
2}yB0
W={w0
1, w0
2, w0
3}, de las que lo ´unico que
se sabe es que v1=v0
1+v0
2,v2= 2v0
2,w1=w0
1+w0
2,w2= 2w0
2+w0
3,w3=w0
1/2.[2.5 puntos]
Prob RA-ALG-1 RA-ALG-2 RA-ALG-3 CALIFICACI ´
ON
P1 x
P2 x
P3 x
P4 x
P5 x
TOTALES
