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Faculdade de Ciˆencias & Tecnologia

Algebra Linear e Geometria Anal´^ ´ ıtica I

Cursos: Mat., EQB, EA, EE, EC, EM, EGI, EIC – 1º Ano

Determinante e sua aplica¸c˜ao

Praia, Novembro de 2021

Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre

1 Permuta¸c˜ao de n n´umeros naturais

Definic¸˜ao 1.1 (Permuta¸c˜ao). Seja n ∈ N_. Chama-se_ permuta¸c˜ao dos n´umeros 1 , 2 , 3 ,... , n a qualquer lista em que os mesmos sejam apresentados por uma ordem arbitr´aria.

N´umero de permutac¸˜oes de n elementos. Existem n! = n · ( n − 1) · ( n − 2) · · · · · 2 · 1 permuta¸c˜oes de 1 , 2 ,... , n , com n ∈ N. O conjunto de todas essas permuta¸c˜oes representa-se por S n.

Exemplo 1.1. Existem 6 (seis) permuta¸c˜oes de 1 , 2 , 3 , conforme o que se segue:

I = 1 , 2 , 3 γ = 2 , 1 , 3 ε = 3 , 1 , 2 α = 1 , 3 , 2 δ = 2 , 3 , 1 β = 3 , 2 , 1_._

Definic¸˜ao 1.2 (Invers˜ao). Seja i 1 , i 2 , i 3 ,... , in uma permuta¸c˜ao dos n´umeros naturais 1 , 2 , 3 ,... , n. Diz-se que um par de elementos ij , ik formam uma invers˜ao se j < k e ij > ik, ou seja, se ij e ik aparecem na permuta¸c˜ao por ordem decrescente.

Definic¸˜ao 1.3 (Paridade). Uma permuta¸c˜ao i 1 , i 2 , i 3 ,... , in dos n´umeros naturais 1 , 2 , 3 ,... , n diz-se par [ ´ımpar ] quando inclui um n´umero de invers˜oes par [´ımpar].

Exemplo 1.2. No Exemplo 1.1, as permuta¸c˜oes I , ε e δ s˜ao pares, e as restantes s˜ao ´ımpares.

Determinante de matrizes quadradas

Definic¸˜ao 1.4 (Determinante). Seja A = [ aij ] ∈ F n × n. Chama-se determinante de A ao n´umero

| A | =

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣

a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .

a 1 n a 2 n · · · ann

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣

∑

j 1 ,j 2 ,j 3 ,...,jn ∈S n

(−1) s^ a 1 j 1 a 2 j 2 a 3 j 3_... anjn ,_

onde

s =

{ 0 se j 1 , j 2 , j 3 ,... , jn ´e uma permuta¸c˜ao par 1 se j 1 , j 2 , j 3 ,... , jn ´e uma permuta¸c˜ao ´ımpar

Determinante das matrizes de ordem: 1 , 2 e 3. De acordo com a Defini¸c˜ao 1.4, tem-se:

(1) Como S 1 = { 1 }, ent˜ao: ∣∣ ∣ a 11

∣∣ ∣ =^ a 11_._

(2) Como S 2 =

  “1 ︸ ︷︷ ︸ ,^ 2” par

´ımpar

  , ent˜ao:

∣∣ ∣∣ ∣

a 11 a 12 a 21 a 22

∣∣ ∣∣ ∣ =^ a^11 a^22 −^ a^12 a^21_._

Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre

Ordem da matriz A n.º de parcelas em | A | 4 24 5 120 6 720 7 5040

Tabela 1: N´umero de parcelas no c´alculo de determinante

2.1 Teorema de Laplace no c´alculo de determinante

Definic¸˜ao 2.1 (Cofator). Seja A = [ aij ] ∈ F n × n. Chama-se cofator ou complemento alg´ebrico de uma entrada aij de A, ao n.º Aij = (−1) i + j^

∣∣ A ( i | j )

∣∣ ,

onde A ( i | j ) ´e a sub-matriz de A, que se obt´em eliminando a linha i e a coluna j.

Exemplo 2.1. Seja A =

 

  ∈ R 3 × (^3). Ent˜ao, o cofator da entrada a 21 de^ A^ ´e:

A 21 = (−1)2+^

∣∣ ∣ A (2|1)

∣∣ ∣

= −

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ =^ −^ (−^2 −^ 2) = 4_._

Com base na defini¸c˜ao anterior, apresenta-se o “Teorema de Laplace^2 ”, que se aplica no c´alculo de determinante de uma matriz quadrada, conforme se pode ver do Exemplo 2.2.

Teorema 2.1 (Teorema de Laplace). Seja A = [ aij ] ∈ F n × n. Ent˜ao:

(i) ∀ c ∈ { 1 , 2 , 3 ,... , n } , tem-se

| A | =

∑^ n

i =

aicAic. ( Desenvolvimento laplaceano ao longo da coluna c).

(ii) ∀ l ∈ { 1 , 2 , 3 ,... , n } , tem-se

| A | =

∑^ n

j =

alj Alj. ( Desenvolvimento laplaceano ao longo da linha l).

Exemplo 2.2. Seja A =

 

  ∈ R 3 × (^3). Determina-se | A | , aplicando o Teorema de Laplace.

(1) Aplicando o desenvolvimento laplaceano ao longo da 1ª coluna, tem-se:

| A | =

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣^2 1 2

∣∣ ∣∣ + 0 · A 21 − 1 · (−1)3+1^ ·

∣∣ ∣∣^ −^1 2 3

∣∣ ∣∣

(^2) Pierre de Laplace (1749 – 1827), matem´atico, astr´onomo e f´ısico francˆes

Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre

(2) Aplicando o desenvolvimento laplaceano ao longo da 2ª linha, tem-se:

| A | =

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

= 0 · A 21 + 2 · (−1)2+2^ ·

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ + 3^ ·^ (−1)

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣

= 2 · (2 + 2) − 3 · (1 − 1) = 8_._

Nota 2.1. O Teorema de Laplace estabelece que o determinante de uma matriz quadrada obt´em-se somando os produtos dos elementos de uma determinada linha [coluna] pelos respectivos complemen- tos alg´ebricos, e reduz o c´alculo de um determinante de uma matriz de ordem “n”, ao c´alculo de determinantes de matrizes de ordem “n − 1 ”.

Na aplica¸c˜ao do Teorema de Laplace, conv´em escolher a linha ou coluna da matriz com maior n´umero de “zeros”.

Teorema 2.2 (Consequˆencia do Teorema de Laplace). O Teorema de Laplace tem como consequˆencias imediatas, as propriedades que se seguem:

(1) Seja A uma matriz triangular; ent˜ao o determinante de A ´e igual ao produto dos seus elementos da diagonal principal.

(2) Se A ´e uma matriz quadrada com uma linha (ou coluna) nula, ent˜ao

∣∣ A

∣∣ = 0_._

Exemplo 2.3. Seja a matriz triangular superior, A =

  

a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a 24 0 0 a 33 a 34 0 0 0 a 44

  .

Determina-se | A | aplicando sucessivamente o desenvolvimento laplaceano sobre a 1ª coluna:

| A | =

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a 24 0 0 a 33 a 34 0 0 0 a 44

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

= a 11

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

a 22 a 23 a 24 0 a 33 a 34 0 0 a 44

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

= a 11 · a 22

∣∣ ∣∣ ∣

a 33 a 34 0 a 44

∣∣ ∣∣ ∣ =^ a^11 ·^ a^22 ·^ a^33 ·^ a^44 ,

ou seja, | A | ´e o produto dos seus elementos principais.

Exemplo 2.4. Seja a seguinte matriz triangular inferior, A =

   

a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a 31 a 32 a 33 0 a 41 a 42 a 43 a 44

   

Determina-se o determinante desta matriz, aplicando sucessivamente o desenvolvimento laplaceano sobre a 1ª linha:

| A | =

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a 31 a 32 a 33 0 a 41 a 42 a 43 a 44

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

= a 11 ·

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

a 22 0 0 a 32 a 33 0 a 42 a 43 a 44

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

= a 11 · a 22 ·

∣∣ ∣∣ ∣

a 33 0 a 43 a 44

∣∣ ∣∣ ∣ =^ a^11 ·^ a^22 ·^ a^33 ·^ a^44 ,

ou seja, | A | ´e o produto dos seus elementos principais.

Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre

Exemplo 2.6. Seja a matriz real A =

  

  . Ent˜ao:

| A | =

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

( L 3 ← L 3 − L 1 ) ( L 4 ← L 4 + L 1 )

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

( L 3 ← L 3 − L 2 ) ( L 4 ← L 4 − 3 L 2 )

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

( L 4 ← L 4 − 73 L 3 )

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

Teorema 2.4 (Propriedades do Determinante). O determinante de uma matriz quadrada, sobre um corpo F , goza das seguintes propriedades:

(1) Se A ´e uma matriz quadrada de ordem n, ent˜ao

∣∣ λA

∣∣ = λn

∣∣ A

∣∣ .

(2) Se A ´e uma matriz quadrada de ordem n, ent˜ao ∣∣ At

∣∣

∣∣ A

∣∣ .

(3) Se uma matriz A tem duas linhas [colunas] proporcionais, i. e.,

∃ Li, Lj [ Ci, Cj ] : Li = λLj [ Ci = λCj ] ,

onde Li, Lj , Ci, Cj s˜ao, respetivamente, duas linhas e duas colunas de A, e λ ´e um escalar arbitr´ario, ent˜ao | A | = 0_._

(4) Se uma linha [coluna] pode ser desdobrada na soma de duas linhas [colunas] quaisquer, o valor do determinante de A ´e igual `a soma dos valores dos determinantes de duas matrizes em que nessa linha [coluna] se usa uma parcela de cada vez, mantendo-se as restantes linhas [colunas].

(5)

∣∣ A · B

∣∣

∣∣ A

∣∣ ·

∣∣ B

∣∣ , para quaisquer A, B ∈ F n × n^ e n ∈ N_._

(6)

∣∣ A 1 · A 2 · · · · · Ak

∣∣

∣∣ A 1

∣∣ ·

∣∣ A 2

∣∣ · · · · ·

∣∣ Ak

∣∣ , onde k ∈ N , k ≥ 2 , Ai ∈ F n × n, i = 1 ,... , k.

(7)

∣∣ Ak

∣∣

∣∣ A

∣∣ k , para qualquer k ∈ N_._

3 Aplica¸c˜ao do c´alculo de determinante

Uma vez estudado o conceito de determinante, nesta sec¸c˜ao vamos aplicar o seu c´alculo, na defini¸c˜ao de mais um crit´erio de matrizes regulares, na constru¸c˜ao de matriz adjunta e, consequentemente, no c´alculo da inversa de uma matriz regular, e na resolu¸c˜ao do Sistema de Cramer.

Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre

3.1 Determinante como crit´erio de matrizes regulares

Seja uma matriz quadrada A ∈ F n × n , n ∈ N. Recorda-se que, pelo “Crit´erios de matrizes regulares” (Teorema 1.4, do apontamento “Matriz regular (ou invert´ıvel)”, Introdu¸c˜ao ao c´alculo de determi- nante), as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

C1 A ´e regular;

C2 c ( A ) = n ;

C3 A matriz escalonada reduzida, obtida a partir de A por aplica¸c˜ao sucessiva de opera¸c˜oes elemen- tares sobre linhas, ´e a matriz identidade, In ;

C4 O sistema de equa¸c˜oes lineares AX = B ´e poss´ıvel determinado, para toda matriz coluna B , de termos independentes, e AX = B ⇔ X = A −^1 B.

Acrescenta-se a estes crit´erios mais um outro:

Teorema 3.1 (Determinante e matriz regular). Seja uma matriz quadrada A ∈ F n × n, n ∈ N_. Ent˜ao, A ´e regular se, e somente se,_ | A |̸ = 0_. Neste caso,_

∣∣ A −^1

∣∣

∣∣ A

3.2 C´alculo da inversa de uma matriz regular via matriz adjunta

Definic¸˜ao 3.1 (Adjunta de uma matriz quadrada). Seja uma matriz quadrada A ∈ F n × n, n ∈ N_. Chama-se_ complementar da matriz A, a matriz C_ ( _A_ ) = [ _Aij_ ] _, onde Aij s˜ao os cofatores dos elementos aij da matriz A. Chama-se_ adjunta _da matriz A,a matriz Adj ( A ) = ( C ( A )) t.

Teorema 3.2. Seja uma matriz quadrada A ∈ F n × n, n ∈ N_. Ent˜ao:_

(1) A · Adj ( A ) = Adj ( A ) · A = | A | · In.

(2) Se A ´e invert´ıvel, ent˜ao

A −^1 =

| A |

· Adj ( A ).

Exemplo 3.1. Seja a matriz quadrada real A =

  

  . Assim:

(1) Determina-se a adjunta da matriz A.

A 11 =

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ = 5^ A^12 =^ −

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ =^ −^3 A^13 =

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ = 2

A 21 = −

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ = 6^ A^22 =

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ = 6^ A^23 =^ −

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ = 0

A 31 =

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ =^ −^7 A^32 =^ −

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ =^ −^3 A^33 =

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ = 2 Ent˜ao,

Adj ( A ) = ( C ( A )) t^ =

  

  

t

  

  .

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Teorema 3.3. Seja AX = B um sistema de Cramer com n inc´ognitas. Para cada i ∈ { 1 ,... , n } , seja Ai ( B ) , a matriz que se obt´em de A substituindo a coluna i pela coluna dos termos independentes B. Ent˜ao,

xi =

∣∣ Ai ( B )

∣∣

| A |

Exemplo 3.3. Seja o sistema de Cramer

AX = B ⇔

 

 

 

x 1 x 2 x 3

  =

 

 .

Ent˜ao:

x 1 =

∣∣ A 1 ( B )

∣∣

| A |

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣ 12

R. Sarrus

x 2 =

∣∣ A 2 ( B )

∣∣

| A |

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣ 12

R. Sarrus

x 3 =

∣∣ A 3 ( B )

∣∣

| A |

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣ 12

R. Sarrus

Ou seja, o sistema ´e poss´ıvel determinado com S =

{( −

)} .

Exerc´ıcios

1. O que pode ser dito acerca de | A |, onde A ´e uma matriz quadrada de ordem n. (a) A^2 = I. (b) A^2 = 5 A. (c) A = − At. (d) A^2 + I = 0.
2. Determine o valor de cada uma das express˜oes abaixo, sabendo que A , B e C s˜ao matrizes quadradas de ordem n , e que | A | = −2, | B | = 3 e | C | = −1. (a)

∣∣ ∣∣ A^3 · B −^1 · Ct^ · B^2 · A −^1

∣∣ ∣∣. (b)

∣∣ ∣∣ Bt^ · A −^1 · B −^1 · C · A^2 · ( C −^1 ) t

∣∣ ∣∣.

3. Sabendo que A ´e uma matriz quadrada de ordem 3 e que ∣∣ ∣^2 A −^1

∣∣ ∣ = 5 =

∣∣ ∣∣ A^2 ·

( Bt

)− 1 ∣∣ ∣∣ ,

detemine | A | e | B |.

4. Considere as matrizes reais A =

  

   e^ B^ =

  

  . Determine:

(a)

∣∣ ∣ 3 A

∣∣ ∣. (b)

∣∣ ∣ A^3 · B^2

∣∣ ∣. (c)

∣∣ ∣ A −^1 · Bt

∣∣ ∣.

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5. Resolva a equa¸c˜ao,

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

0 x − 2 0 0 x − 1 0 x 0 0 x 0 x − 2 0 0 x − 1 0

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

6. Sabendo que

a b c p q r x y z

= −1, determine o valor de

− 2 a − 2 b − 2 c 2 p + x 2 q + y 2 r + z 3 x 3 y 3 z

7. Prove as seguintes identidades sem calcular os determinantes:

a 1 b 1 a 1 + b 1 + c 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 + c 2 a 3 b 3 a 3 + b 3 + c 3

a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

a 1 + b 1 a 1 − b 1 c 1 a 2 + b 2 a 2 − b 2 c 2 a 3 + b 3 a 3 − b 3 c 3

a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

a 1 + b 1 t a 2 + b 2 t a 3 + b 3 t a 1 t + b 1 a 2 t + b 2 a 3 t + b 3 c 1 c 2 c 3

( 1 − t^2

) a^1 a^2 a^3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

8. Seja A =

 

− 2 μ + 3 − λ 1 0 λ 2 4 3 λ

 , com λ, μ ∈ R.

8.1. Utilizando as propriedades do determinante, transforme A numa matriz triangular e veri- fique que | A | = λ (1 − μ ). 8.2. Determine os valores λ e μ para os quais A ´e invert´ıvel. 8.3. Calcule o complemento alg´ebrico (cofator) do elemento na posi¸c˜ao (3 , 2) da matriz A.

9. Se

a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

= 7 determine, justificando, os determinantes das seguintes matrizes:

9.1. A =

  

a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 4 c 1 4 c 2 4 c 3

  .

9.2. B =

 

a 1 b 1 5 c 1 a 2 b 2 5 c 2 a 3 b 3 5 c 3

 .

9.3. C =

 

a 1 − 5 c 1 a 2 − 5 c 2 a 3 − 5 c 3 10 b 1 10 b 2 10 b 3 − 4 c 1 − 4 c 2 − 4 c 3

 .

9.4. D =

 

a 1 a 3 a 2 b 1 b 3 b 2 c 1 c 3 c 2

 .

10. Considere a matriz A =

  

  .

Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre

17. Em cada caso, determine o valor do parˆametro λ , de modo que a matriz real A tenha inversa.

(a) A =

 

1 λ 0 2 0 λ λ − 1 1

 . (b) A =

 

1 − λ λ 1 1 − 1 λ − c 1

 .

18. Considere os sistemas de equa¸c˜oes lineares que se seguem:

( A )

 



2 x − 5 y + 7 z = 9 − x + 4 y + 2 z = − 2 3 x + 3 y − 6 z = 5

( B )

 



3 x − 2 y + 4 z = 5 5 x + 3 y + z = 8 − 2 x + 6 y + 7 z = − 3

18.1. Determine o valor de y no sistema (A), aplicando a regra de Cramer. 18.2. Determine o valor de z no sistema (B), aplicando a regra de Cramer.

19. Mostre que, se A ´e uma matriz regular de ordem n , ent˜ao

| Adj ( A )| = | A | n −^1_._

20. Mostre que (^) ∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣

1 x 1 x 2 x 3 1 y 1 x 2 x 3 1 y 1 y 2 x 3 1 y 1 y 2 y 3

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

= ( y 1 − x 1 ) ( y 2 − x 2 ) ( y 3 − x 3 ).

Referˆencias

[1] NICHOLSON, W. K. (2006). Algebra Linear´. McGraw-Hill, 2ª ed., S˜ao Paulo.

[2] MONTEIRO, A.; PINTO, G.; MARQUES C. (1997). Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica – Problemas e Exerc´ıcios. McGraw-Hill de Portugal Lda., Lisboa.