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Matreria sobre matrizes desterminantes entre outro
Typology: Cheat Sheet
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Faculdade de Ciˆencias & Tecnologia
Cursos: Mat., EQB, EA, EE, EC, EM, EGI, EIC – 1º Ano
Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
1 Permuta¸c˜ao de n n´umeros naturais
Definic¸˜ao 1.1 (Permuta¸c˜ao). Seja n ∈ N_. Chama-se_ permuta¸c˜ao dos n´umeros 1 , 2 , 3 ,... , n a qualquer lista em que os mesmos sejam apresentados por uma ordem arbitr´aria.
N´umero de permutac¸˜oes de n elementos. Existem n! = n · ( n − 1) · ( n − 2) · · · · · 2 · 1 permuta¸c˜oes de 1 , 2 ,... , n , com n ∈ N. O conjunto de todas essas permuta¸c˜oes representa-se por S n.
Exemplo 1.1. Existem 6 (seis) permuta¸c˜oes de 1 , 2 , 3 , conforme o que se segue:
I = 1 , 2 , 3 γ = 2 , 1 , 3 ε = 3 , 1 , 2 α = 1 , 3 , 2 δ = 2 , 3 , 1 β = 3 , 2 , 1_._
Definic¸˜ao 1.2 (Invers˜ao). Seja i 1 , i 2 , i 3 ,... , in uma permuta¸c˜ao dos n´umeros naturais 1 , 2 , 3 ,... , n. Diz-se que um par de elementos ij , ik formam uma invers˜ao se j < k e ij > ik, ou seja, se ij e ik aparecem na permuta¸c˜ao por ordem decrescente.
Definic¸˜ao 1.3 (Paridade). Uma permuta¸c˜ao i 1 , i 2 , i 3 ,... , in dos n´umeros naturais 1 , 2 , 3 ,... , n diz-se par [ ´ımpar ] quando inclui um n´umero de invers˜oes par [´ımpar].
Exemplo 1.2. No Exemplo 1.1, as permuta¸c˜oes I , ε e δ s˜ao pares, e as restantes s˜ao ´ımpares.
Determinante de matrizes quadradas
Definic¸˜ao 1.4 (Determinante). Seja A = [ aij ] ∈ F n × n. Chama-se determinante de A ao n´umero
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .
a 1 n a 2 n · · · ann
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∑
j 1 ,j 2 ,j 3 ,...,jn ∈S n
(−1) s^ a 1 j 1 a 2 j 2 a 3 j 3_... anjn ,_
onde
s =
{ 0 se j 1 , j 2 , j 3 ,... , jn ´e uma permuta¸c˜ao par 1 se j 1 , j 2 , j 3 ,... , jn ´e uma permuta¸c˜ao ´ımpar
Determinante das matrizes de ordem: 1 , 2 e 3. De acordo com a Defini¸c˜ao 1.4, tem-se:
(1) Como S 1 = { 1 }, ent˜ao: ∣∣ ∣ a 11
∣∣ ∣ =^ a 11_._
(2) Como S 2 =
“1 ︸ ︷︷ ︸ ,^ 2” par
´ımpar
, ent˜ao:
∣∣ ∣∣ ∣
a 11 a 12 a 21 a 22
∣∣ ∣∣ ∣ =^ a^11 a^22 −^ a^12 a^21_._
Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
Ordem da matriz A n.º de parcelas em | A | 4 24 5 120 6 720 7 5040
Tabela 1: N´umero de parcelas no c´alculo de determinante
Definic¸˜ao 2.1 (Cofator). Seja A = [ aij ] ∈ F n × n. Chama-se cofator ou complemento alg´ebrico de uma entrada aij de A, ao n.º Aij = (−1) i + j^
∣∣ A ( i | j )
∣∣ ,
onde A ( i | j ) ´e a sub-matriz de A, que se obt´em eliminando a linha i e a coluna j.
Exemplo 2.1. Seja A =
∈ R 3 × (^3). Ent˜ao, o cofator da entrada a 21 de^ A^ ´e:
∣∣ ∣ A (2|1)
∣∣ ∣
= −
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ =^ −^ (−^2 −^ 2) = 4_._
Com base na defini¸c˜ao anterior, apresenta-se o “Teorema de Laplace^2 ”, que se aplica no c´alculo de determinante de uma matriz quadrada, conforme se pode ver do Exemplo 2.2.
Teorema 2.1 (Teorema de Laplace). Seja A = [ aij ] ∈ F n × n. Ent˜ao:
(i) ∀ c ∈ { 1 , 2 , 3 ,... , n } , tem-se
∑^ n
i =
aicAic. ( Desenvolvimento laplaceano ao longo da coluna c).
(ii) ∀ l ∈ { 1 , 2 , 3 ,... , n } , tem-se
∑^ n
j =
alj Alj. ( Desenvolvimento laplaceano ao longo da linha l).
Exemplo 2.2. Seja A =
∈ R 3 × (^3). Determina-se | A | , aplicando o Teorema de Laplace.
(1) Aplicando o desenvolvimento laplaceano ao longo da 1ª coluna, tem-se:
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣^2 1 2
∣∣ ∣∣ + 0 · A 21 − 1 · (−1)3+1^ ·
∣∣ ∣∣^ −^1 2 3
∣∣ ∣∣
(^2) Pierre de Laplace (1749 – 1827), matem´atico, astr´onomo e f´ısico francˆes
Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
(2) Aplicando o desenvolvimento laplaceano ao longo da 2ª linha, tem-se:
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ + 3^ ·^ (−1)
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣
= 2 · (2 + 2) − 3 · (1 − 1) = 8_._
Nota 2.1. O Teorema de Laplace estabelece que o determinante de uma matriz quadrada obt´em-se somando os produtos dos elementos de uma determinada linha [coluna] pelos respectivos complemen- tos alg´ebricos, e reduz o c´alculo de um determinante de uma matriz de ordem “n”, ao c´alculo de determinantes de matrizes de ordem “n − 1 ”.
Na aplica¸c˜ao do Teorema de Laplace, conv´em escolher a linha ou coluna da matriz com maior n´umero de “zeros”.
Teorema 2.2 (Consequˆencia do Teorema de Laplace). O Teorema de Laplace tem como consequˆencias imediatas, as propriedades que se seguem:
(1) Seja A uma matriz triangular; ent˜ao o determinante de A ´e igual ao produto dos seus elementos da diagonal principal.
(2) Se A ´e uma matriz quadrada com uma linha (ou coluna) nula, ent˜ao
∣∣ A
∣∣ = 0_._
Exemplo 2.3. Seja a matriz triangular superior, A =
a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a 24 0 0 a 33 a 34 0 0 0 a 44
.
Determina-se | A | aplicando sucessivamente o desenvolvimento laplaceano sobre a 1ª coluna:
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a 24 0 0 a 33 a 34 0 0 0 a 44
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
= a 11
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
a 22 a 23 a 24 0 a 33 a 34 0 0 a 44
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
= a 11 · a 22
∣∣ ∣∣ ∣
a 33 a 34 0 a 44
∣∣ ∣∣ ∣ =^ a^11 ·^ a^22 ·^ a^33 ·^ a^44 ,
ou seja, | A | ´e o produto dos seus elementos principais.
Exemplo 2.4. Seja a seguinte matriz triangular inferior, A =
a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a 31 a 32 a 33 0 a 41 a 42 a 43 a 44
Determina-se o determinante desta matriz, aplicando sucessivamente o desenvolvimento laplaceano sobre a 1ª linha:
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a 31 a 32 a 33 0 a 41 a 42 a 43 a 44
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
= a 11 ·
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
a 22 0 0 a 32 a 33 0 a 42 a 43 a 44
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
= a 11 · a 22 ·
∣∣ ∣∣ ∣
a 33 0 a 43 a 44
∣∣ ∣∣ ∣ =^ a^11 ·^ a^22 ·^ a^33 ·^ a^44 ,
ou seja, | A | ´e o produto dos seus elementos principais.
Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
Exemplo 2.6. Seja a matriz real A =
. Ent˜ao:
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
( L 3 ← L 3 − L 1 ) ( L 4 ← L 4 + L 1 )
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
( L 3 ← L 3 − L 2 ) ( L 4 ← L 4 − 3 L 2 )
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
( L 4 ← L 4 − 73 L 3 )
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
Teorema 2.4 (Propriedades do Determinante). O determinante de uma matriz quadrada, sobre um corpo F , goza das seguintes propriedades:
(1) Se A ´e uma matriz quadrada de ordem n, ent˜ao
∣∣ λA
∣∣ = λn
∣∣ A
∣∣ .
(2) Se A ´e uma matriz quadrada de ordem n, ent˜ao ∣∣ At
∣∣ A
∣∣ .
(3) Se uma matriz A tem duas linhas [colunas] proporcionais, i. e.,
∃ Li, Lj [ Ci, Cj ] : Li = λLj [ Ci = λCj ] ,
onde Li, Lj , Ci, Cj s˜ao, respetivamente, duas linhas e duas colunas de A, e λ ´e um escalar arbitr´ario, ent˜ao | A | = 0_._
(4) Se uma linha [coluna] pode ser desdobrada na soma de duas linhas [colunas] quaisquer, o valor do determinante de A ´e igual `a soma dos valores dos determinantes de duas matrizes em que nessa linha [coluna] se usa uma parcela de cada vez, mantendo-se as restantes linhas [colunas].
(5)
∣∣ A · B
∣∣ A
∣∣ ·
∣∣ B
∣∣ , para quaisquer A, B ∈ F n × n^ e n ∈ N_._
(6)
∣∣ A 1 · A 2 · · · · · Ak
∣∣ A 1
∣∣ ·
∣∣ A 2
∣∣ · · · · ·
∣∣ Ak
∣∣ , onde k ∈ N , k ≥ 2 , Ai ∈ F n × n, i = 1 ,... , k.
(7)
∣∣ Ak
∣∣ A
∣∣ k , para qualquer k ∈ N_._
3 Aplica¸c˜ao do c´alculo de determinante
Uma vez estudado o conceito de determinante, nesta sec¸c˜ao vamos aplicar o seu c´alculo, na defini¸c˜ao de mais um crit´erio de matrizes regulares, na constru¸c˜ao de matriz adjunta e, consequentemente, no c´alculo da inversa de uma matriz regular, e na resolu¸c˜ao do Sistema de Cramer.
Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
Seja uma matriz quadrada A ∈ F n × n , n ∈ N. Recorda-se que, pelo “Crit´erios de matrizes regulares” (Teorema 1.4, do apontamento “Matriz regular (ou invert´ıvel)”, Introdu¸c˜ao ao c´alculo de determi- nante), as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
C1 A ´e regular;
C2 c ( A ) = n ;
C3 A matriz escalonada reduzida, obtida a partir de A por aplica¸c˜ao sucessiva de opera¸c˜oes elemen- tares sobre linhas, ´e a matriz identidade, In ;
C4 O sistema de equa¸c˜oes lineares AX = B ´e poss´ıvel determinado, para toda matriz coluna B , de termos independentes, e AX = B ⇔ X = A −^1 B.
Acrescenta-se a estes crit´erios mais um outro:
Teorema 3.1 (Determinante e matriz regular). Seja uma matriz quadrada A ∈ F n × n, n ∈ N_. Ent˜ao, A ´e regular se, e somente se,_ | A |̸ = 0_. Neste caso,_
∣∣ A −^1
∣∣ A
Definic¸˜ao 3.1 (Adjunta de uma matriz quadrada). Seja uma matriz quadrada A ∈ F n × n, n ∈ N_. Chama-se_ complementar da matriz A, a matriz C_ ( _A_ ) = [ _Aij_ ] _, onde Aij s˜ao os cofatores dos elementos aij da matriz A. Chama-se_ adjunta _da matriz A,
a matriz Adj ( A ) = ( C ( A )) t.
Teorema 3.2. Seja uma matriz quadrada A ∈ F n × n, n ∈ N_. Ent˜ao:_
(1) A · Adj ( A ) = Adj ( A ) · A = | A | · In.
(2) Se A ´e invert´ıvel, ent˜ao
A −^1 =
· Adj ( A ).
Exemplo 3.1. Seja a matriz quadrada real A =
. Assim:
(1) Determina-se a adjunta da matriz A.
A 11 =
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ = 5^ A^12 =^ −
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ =^ −^3 A^13 =
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ = 2
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ = 6^ A^22 =
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ = 6^ A^23 =^ −
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ = 0
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ =^ −^7 A^32 =^ −
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ =^ −^3 A^33 =
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ = 2 Ent˜ao,
Adj ( A ) = ( C ( A )) t^ =
.
Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
Teorema 3.3. Seja AX = B um sistema de Cramer com n inc´ognitas. Para cada i ∈ { 1 ,... , n } , seja Ai ( B ) , a matriz que se obt´em de A substituindo a coluna i pela coluna dos termos independentes B. Ent˜ao,
xi =
∣∣ Ai ( B )
∣∣
| A |
Exemplo 3.3. Seja o sistema de Cramer
x 1 x 2 x 3
=
.
Ent˜ao:
x 1 =
∣∣ A 1 ( B )
∣∣
| A |
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣ 12
R. Sarrus
x 2 =
∣∣ A 2 ( B )
∣∣
| A |
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣ 12
R. Sarrus
x 3 =
∣∣ A 3 ( B )
∣∣
| A |
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣ 12
R. Sarrus
Ou seja, o sistema ´e poss´ıvel determinado com S =
{( −
)} .
Exerc´ıcios
∣∣ ∣∣ A^3 · B −^1 · Ct^ · B^2 · A −^1
∣∣ ∣∣. (b)
∣∣ ∣∣ Bt^ · A −^1 · B −^1 · C · A^2 · ( C −^1 ) t
∣∣ ∣∣.
∣∣ ∣ = 5 =
∣∣ ∣∣ A^2 ·
( Bt
)− 1 ∣∣ ∣∣ ,
detemine | A | e | B |.
e^ B^ =
. Determine:
(a)
∣∣ ∣ 3 A
∣∣ ∣. (b)
∣∣ ∣ A^3 · B^2
∣∣ ∣. (c)
∣∣ ∣ A −^1 · Bt
∣∣ ∣.
Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
0 x − 2 0 0 x − 1 0 x 0 0 x 0 x − 2 0 0 x − 1 0
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
a b c p q r x y z
= −1, determine o valor de
− 2 a − 2 b − 2 c 2 p + x 2 q + y 2 r + z 3 x 3 y 3 z
a 1 b 1 a 1 + b 1 + c 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 + c 2 a 3 b 3 a 3 + b 3 + c 3
a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3
a 1 + b 1 a 1 − b 1 c 1 a 2 + b 2 a 2 − b 2 c 2 a 3 + b 3 a 3 − b 3 c 3
a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3
a 1 + b 1 t a 2 + b 2 t a 3 + b 3 t a 1 t + b 1 a 2 t + b 2 a 3 t + b 3 c 1 c 2 c 3
( 1 − t^2
) a^1 a^2 a^3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3
− 2 μ + 3 − λ 1 0 λ 2 4 3 λ
, com λ, μ ∈ R.
8.1. Utilizando as propriedades do determinante, transforme A numa matriz triangular e veri- fique que | A | = λ (1 − μ ). 8.2. Determine os valores λ e μ para os quais A ´e invert´ıvel. 8.3. Calcule o complemento alg´ebrico (cofator) do elemento na posi¸c˜ao (3 , 2) da matriz A.
a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3
= 7 determine, justificando, os determinantes das seguintes matrizes:
a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 4 c 1 4 c 2 4 c 3
.
a 1 b 1 5 c 1 a 2 b 2 5 c 2 a 3 b 3 5 c 3
.
a 1 − 5 c 1 a 2 − 5 c 2 a 3 − 5 c 3 10 b 1 10 b 2 10 b 3 − 4 c 1 − 4 c 2 − 4 c 3
.
a 1 a 3 a 2 b 1 b 3 b 2 c 1 c 3 c 2
.
.
Ano: 1º Ano Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica I 1 º Semestre
(a) A =
1 λ 0 2 0 λ λ − 1 1
. (b) A =
1 − λ λ 1 1 − 1 λ − c 1
.
2 x − 5 y + 7 z = 9 − x + 4 y + 2 z = − 2 3 x + 3 y − 6 z = 5
3 x − 2 y + 4 z = 5 5 x + 3 y + z = 8 − 2 x + 6 y + 7 z = − 3
18.1. Determine o valor de y no sistema (A), aplicando a regra de Cramer. 18.2. Determine o valor de z no sistema (B), aplicando a regra de Cramer.
| Adj ( A )| = | A | n −^1_._
1 x 1 x 2 x 3 1 y 1 x 2 x 3 1 y 1 y 2 x 3 1 y 1 y 2 y 3
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
= ( y 1 − x 1 ) ( y 2 − x 2 ) ( y 3 − x 3 ).
Referˆencias
[1] NICHOLSON, W. K. (2006). Algebra Linear´. McGraw-Hill, 2ª ed., S˜ao Paulo.
[2] MONTEIRO, A.; PINTO, G.; MARQUES C. (1997). Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica – Problemas e Exerc´ıcios. McGraw-Hill de Portugal Lda., Lisboa.