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Università Politecnica delle Marche – Macchine e Sistemi Energetici – Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica – A.A. 2011- Similitudine applicata alle macchine idraulicheSi supponga di aver, con notevole impegno di carattere teorico-sperimentale, progettato e realizzato una macchina idraulica e verificato che questalavora con buoni rendimenti in determinate condizioni di installazione (H,Q,n),per poter sfruttare l’esperienza maturata:
sarebbe di grande interesse poter stabilire come la stessa macchina operi in condizioni diverse (H
1
,Q
1
,n
infatti:riferendoci ad una dato impianto in cui sia installata una motrice idraulica, pur non variando la velocità di rotazione, legata alla frequenzadella corrente elettrica prodotta, si devono poter prevedere inevitabili variazioni del salto motore a disposizione nonché della portata di acquadisponibile nell’arco dell’anno, riferendoci ad una macchina idraulica operatrice è poi facile intuire come la prevalenza e la portata ad essarichieste possano variare in funzione delle esigenze, variabili, degli utilizzatori.
sarebbe di grande interesse anche conoscere in quali condizioni (H
1
,Q
1
,n
) dovrebbe funzionare una macchina, costruita in scala alla data,
per poter mantenere lo stesso rendimento. Ciò consentirebbe di sfruttare, per diverse installazioni, le conoscenze acquisite realizzando un certo numero di macchine di dimensionidiverse, tutte in scala tra di loro, e di coprire così un ampio campo di richieste dei potenziali clienti senza dover progettare per ogniinstallazione una macchina ‘ad-hoc’.In più si potrebbe, attraverso la realizzazione di modelli in scala ridotta, procedere allo sviluppo teorico-sperimentale, in laboratorio, conmeno dispendio di energia e denaro e quindi estendere i risultati ottenuti alla macchina reale, sicuri che, se sono rispettate le condizioni disimilitudine, un guadagno di rendimento ottenuto nel modello si avrà anche nella macchina reale.
Per poter realizzare in pratica quanto auspicato si deve determinare se, e sotto quali condizioni, è possibile stabilire una ‘similitudinefluidodinamica’ tra due macchine idrauliche.In questa ottica, ricordiamo che in un sistema meccanico è possibile, una volta scelte tre grandezze fondamentali tra di loro dimensionalmenteindipendenti, derivare da esse tutte le altre.La scelta di tali grandezze è, tra l’altro, alla base della definizione dei sistemi di unità di misura. Per esempio, le grandezze fondamentali utilizzatenel sistema internazionale (SI) sono la lunghezza [L], la massa [M] ed il tempo [T] che danno luogo alle unità di misura fondamentali: metro [m],kilo-grammo [kg] e secondo [s], tutte le unità di misura delle altre grandezze meccaniche sono evidentemente derivabili da quelle fondamentali ().() nel sistema tecnico, in vigore in Italia prima di quello internazionale, si considerava, al posto della massa, il peso come grandezza fondamentalee quindi il kilo-grammo-forza [kg
f
] come unità di misura, l’unità di misura della massa era dunque derivata.
Università Politecnica delle Marche – Macchine e Sistemi Energetici – Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica – A.A. 2011-
Dal punto di vista idraulico si dice che due macchine operano in condizione di similitudine se:
è verificata la similitudine geometrica (tutte le dimensioni del modello sono in un rapporto
λ
con le omologhe dimensioni della macchina)
è verificata la similitudine cinematica (tutte le velocità del fluido nel modello sono in un rapporto
χ
con le velocità che il fluido ha in punti omologhi nella macchina)
è verificata la similitudine dinamica (tutte le forze agenti sul fluido nel modello sono in un rapporto
φ
con le omologhe forze nella macchina).
Si consideri, per esempio il caso di due Pelton tra di loro simili geometricamente , la similitudine cinematica ci assicura che esse realizzano anchetriangoli di velocità simili, in particolare in entrambe si realizzerà lo stesso rapporto tra la velocità del getto e quella periferica ove la mezzeria dellostesso raggiunge il coltello, ciò consente di affermare che il rendimento idraulico sarà lo stesso.D’altra parte se c’e similitudine dinamica il lavoro delle forze di attrito sarà nelle due macchine nello stesso rapporto con il lavoro che il fluidoesercita sulle pale. Le perdite, in altre parole, incideranno sulle prestazioni della macchina in maniera percentualmente identica.Data dunque una macchina installata in un impianto, per definire un caso simile al dato, si scelgono a piacere tre valori per i parametri di scala
λ, χ
e
φ
. Nel caso simile le lunghezze, le velocità e le forze saranno rispettivamente
λ, χ
e
φ
volte quelle della macchina.
Visto che, però, le velocità e le forze non sono, nel sistema internazionale delle unità di misura (SI), grandezze fondamentali ma grandezze derivate,(una velocità si misura in [ms
] ed una forza in [kg m s
]),
preferiamo utilizzare, in maniera del tutto equivalente, la seguente terna di fattori di scala (**):
λ
per definire i rapporti tra le lunghezze
(ogni lunghezza misurata nel modello è
λ
volte l’analoga lunghezza misurata nella macchina)
μ
per definire il rapporto tra le masse
(ogni massa di fluido pesata nel modello è
μ
volte l’analoga massa nella macchina)
τ
per definire il rapporto tra i tempi
(ogni tempo trascorso nel modello è
τ
volte l’analogo tempo valutato nella macchina)
La scelta della terna di grandezze è evidentemente a piacere, l’unica accortezza è che esse siano dimensionalmente indipendenti. A partire datali valori è possibile, una volta nota qualunque grandezza della macchina, valutare l’omologa grandezza del modello.Ad esempio, nota la velocità c del fluido in un punto della macchina e ricordando che, dimensionalmente, una velocità è il rapporto tra unalunghezza ed un tempo, c [LT
], la velocità che il fluido deve avere nel modello sarà c
1
= c (
λτ
−
c
χ.
Ricordando che una forza è esprimibile mediante il prodotto tra una massa ed una accelerazione, dato una generico valore di forza F [MLT
]
nella macchina, la forza corrispondente nel modello sarà F
1
= F (
μλτ
−
F
φ
. Una volta imposta la terna di fattori di scala
λ, μ
e
τ,
da essa
si può derivare qualunque altra terna dimensionalmente indipendente, per esempio la
λ, χ
e
φ.
Università Politecnica delle Marche – Macchine e Sistemi Energetici – Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica – A.A. 2011- Il rispetto contemporaneo dei tre vincoli imposti è possibile, dunque, solo se
λ = μ = τ = 1.
Volendo rispettare contemporaneamente i tre vincoli imposti la teorica triplice infinità di possibilità di mettere a frutto la similitudine si traduce inun nulla di fatto.Solo se si lascia decadere almeno uno dei vincoli è dunque possibile stabilire una similitudine che comunque sarà una ‘ similitudine approssimata ’.
Similitudine approssimata
A.
Riferendoci a quanto avviene all’interno della macchina possiamo, senza incorrere in eccessivi errori trascurare l’effetto del campogravitazionale e quindi far decadere il vincolo imposto dalla relazione III). Ciò equivale a considerare, all’interno della macchina, solo le variazioni di energia cinetica e quelle di energia elastica di pressione,trascurando quelle di energia potenziale gravitazionale.Ovviamente non potremo trascurare le variazioni di energia potenziale gravitazionale all’interno dell’impianto idraulico in cui la macchina èinserita.
B.
Considerato che, nei casi che ci interessano, il moto del fluido è turbolento e che dunque le forze di tipo viscoso sono trascurabili rispetto aquelle di tipo inerziale possiamo far decadere anche il legame imposto dalla II).
C.
Manteniamo il vincolo imposto dalla I).
Considerato che le grandezze dimensionalmente indipendenti sono tre e che tra di esse si impone un unico legame (utilizzo nel modello e nellamacchina di un fluido a stessa densità), è possibile stabilire una duplice infinità di casi simili.In altre parole si possono scegliere a piacimento due qualunque dei tre fattori di scala ed il terzo risulterà univocamente definito.
Università Politecnica delle Marche – Macchine e Sistemi Energetici – Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica – A.A. 2011- Per comodità si scelgono, a questo punto, i tre seguenti fattori di scala:
λ
Fattore di scala geometricaTutte le dimensioni della macchina sono ottenibili moltiplicando per
λ
le omologhe dimensioni del modello.
Ciò vale anche per l’impianto per le dimensioni non legate alla quota, per esempio il diametro delle tubazioni, le dimensioni di eventualivalvole etc..Scelta una lunghezza di riferimento nella macchina, per esempio un diametro D, se indichiamo con D
1
l’omologo diametro nel modello
sarà:
1
D
D
τ
Fattore di scala temporaleTutti i periodi temporali nel modello si possono ottenere moltiplicando per
τ
i corrispondenti periodi nella macchina.
Detto n è il numero di giri al secondo della girante della macchina ed n
1
quello della girante nel modello potremo esprimere il fattore di
scala temporale come:
n
n
1
α
Fattore di scala energeticaTutte le energie specifiche nella macchina possono essere ottenute moltiplicando per
α
i corrispondenti valori del modello.
Ricordando che l’energia potenziale, per unità di peso di fluido, è esprimibile come dislivello rispetto ad una quota di riferimento ilfattore di scala energetico potrà essere espresso attraverso il rapporto tra un dislivello di riferimento, H, relativo all’impianto reale el’analogo dislivello, H
1
, nel modello dell’impianto:
1
H
H
I gradi di libertà, come evidenziato, sono due, ciò significa che possiamo scegliere, per esempio, indipendentemente
λ
e
α
, potendo in tal modo
indagare sugli effetti di variazioni di scala geometrica della macchina senza per questo essere costretti a variare proporzionalmente il salto geodeticoa disposizione della stessa.Utilizzando la terna
λ, τ, α
possiamo a questo punto determinare i fattori di scala per ogni altra grandezza :
Rapporto tra velocità (fattore di scala cinematico):
1
c
c
Ricordando che una velocità è esprimibile mediante il rapporto di una lunghezza e di un tempo :
1
−
IV)
Università Politecnica delle Marche – Macchine e Sistemi Energetici – Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica – A.A. 2011- Numero di giri specifico.Ricaviamo
1
D
D
dalla relazioni 2) e sostituiamolo nella relazione 1)
2
1
2
2
/
1 1
2
/
1
1
D D
H H
Q
Q
2
/
1
2
/
1 1
1
2
1
2
H H
Q
Q
D D
4
/
3
4
/
3
1
2
/
1
1
2
/
1
1
2
/
1
2
/
1 1
1
H
H
Q
Q
D
D
H H
n n
4
/
3
4
/
3
1
2
/
1
1
2
/
1
1
H
H
Q
Q
n
n
Ponendo
Q
1
= 1 m
3
/s e H
1
= 1 m
otteniamo:
4
/
3
2
/
1
Q H
n
n
s
n [giri min
], Q[m
3
s
], H[m]
NUMERO DI GIRI SPECIFICO
Consideriamo una macchina idraulica funzionante con una velocità di rotazione pari ad n [giri min
], che elabora una portata Q [m
3
s
] sotto un
salto di H [m], una macchina costruita in scala ad essa, ma elaborante una portata unitaria (1 m
3
s
) e sottoposta ad un salto unitario (1 m), per poter
funzionare in similitudine fluidodinamica deve ruotare a ‘n
s
’ [giri min
].
Per esemplificare l’utilità del numero di giri specifico riferiamoci ad un sito in cui si sta valutando l’inserimento di una motrice idraulica;esso risulterà caratterizzabile attraverso un dislivello H ed una portata Q, ipotizzato l’accoppiamento diretto con un dato alternatore è possibile poideterminare tramite la
cp
f
n
il numero di giri al minuto a cui la macchina deve ruotare; (
f
[Hz] = frequenza corrente elettrica;
cp
=numero di
coppie polari dell’alternatore). La terna di valori trovata permette di valutare il numero di giri specifico.A questo punto per la scelta della macchina basterà verificare, in tabelle simili a quella riportata alla fine del presente testo, quale tipologia lavoracon numeri di giri specifici similari.Se si hanno a disposizione poi i dati costruttivi di una macchina che lavora con lo stesso numero di giri specifico basterà costruirne unageometricamente simile per ottenere, nell’ambito delle approssimazioni fatte, lo stesso rendimento.
Università Politecnica delle Marche – Macchine e Sistemi Energetici – Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica – A.A. 2011- Numero di giri caratteristicoRicaviamo il rapporto
1
D
D
dalla relazione 3) e sostituiamolo nella relazione 1)
2
/
3 1
2
/
3
2
1
2
1
H H
D D
P
P
12
1
12
4
/
3
4
/
3
1
1
P P
H
H
D D
2 1
1
12
4
/
5
4
/
5
1
1
2
/
1
2
/
1 1
1
P P
H
H
D
D
H H
n n
12
1
12
4
/
5
4
/
5
1
1
P P
H
H
n
n
Ponendo
P
1
= 1 kW e H
1
= 1 m
otteniamo:
4
/
5
2
/
1
]
[
H
P
n
n
kW
c
n [giri min
], P[kW], H[m]
NUMERO DI GIRI CARATTERISTICO
[kW]
Consideriamo una macchina idraulica funzionante ad un numero di giri al minuto ‘n’ che, sottoposta ad un salto di ‘H’ metri, eroga una potenza paria ‘P’ kiloWatt, una macchina costruita in scala ad essa e funzionare in similitudine fluidodinamica, se sottoposta ad un salto di 1 m per erogare lapotenza di 1 kW deve ruotare ad un numero di giri al minuto ‘n
c[kW]
Analogamente al numero di giri caratteristico definito utilizzando come unità di potenza il kW è stato definito anche un numero di giri caratteristicoriferendosi all’unità di potenza in CV con analogo significato.
4
/
5
2
/
1
]
[
H
P
n
n
CV
c
n [giri min
], P[CV], H[m]
NUMERO DI GIRI CARATTERISTICO
[CV]
